十字相乘法简1.docx
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十字相乘法简1.docx
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十字相乘法简1
十字相乘法简介
十字相乘法是一种适用于二次三项式类型题目的简便方法,它可以用来分解因式和解一元二次方程,且运算速度较快,节约时间,不容易出错,常用于6y²+19y+15等这类第一项为几次方,第二项为1次方,第三项为自然数的因式。
也可以用于9-12t+4t²和其它多次方的三项式,但多数都是用于带有2次方的三项式,不建议用在多次方的三项式上,因为那可能使试题复杂化。
概念
十字相乘法的方法简单来讲就是:
十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘的和等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。
对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)(a不等于零)的整
十字相乘法式来说,方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b,那么可以直接写成结果:
ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。
当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。
基本式子:
x²+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)。
通俗方法
例:
(²代表平方)
a²x²+ax-42
首先,我们看看第一个数,是a²x²,代表是两个ax相乘得到的,则推断出(ax+?
)×(ax+?
)
然后我们再看第二项,+a这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42,-42是-6×7或者6×-7也可以分解成-21×2或者21×-2
首先,21和2无论正负,合并后都不可能是1只可能是-19或者19,所以排除后者。
然后,在确定是-7×6还是7×-6.
(a×-7))×(a×+6)=a²x²-ax-42(计算过程省略),
得到结果与原来结果不相符,原式+a变成了-a.
再算:
(a×+7)×(a×+(-6))=ax²+ax²-42
正确,所以a²x²+ax-42就被分解成为(ax+7)×(ax-6),这就是通俗的十字相乘法分解因式。
例题解析例1
把2x²-7x+3分解因式.
分析:
先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同!
)
十字相乘法
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
11
╳
23
13
╳
21
1×1+2×3=7≠-7
1-1
╳
2-3
1×(-3)+2×(-1)=-5≠-7
1-3
╳
2-1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
一般地,对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1c1
╳
a2c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
例2
把6x²-7x-5分解因式.
分析:
按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种
21
╳
3-5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:
通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x²+2x-15分解因式,十字相乘法是
1-3
╳
15
1×5+1×(-3)=2
所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x²+6xy-8y²分解因式.
分析:
这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y²看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
12
╳
5-4
1×(-4)+5×2=6
解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出:
原式分解为两个关于x,y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:
这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问:
以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:
第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1-2
╳
21
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:
把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例5
x²+2x-15
分析:
常数项(-15)<0,可分解成异号两数的积,可分解为(-1)(15),或
(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5),其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
=(x-3)(x+5)
总结:
①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:
二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx²+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么
kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)
ab
╳
cd
例6
某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%,其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年(2006)毕业的本科生有多少人?
解:
去年毕业生一共7500人,7650÷(1+2%)=7500人。
本科生:
-2%………8%
…………………2%
研究生:
10%………-4%
本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。
去年的本科生:
7500×2/3=5000
今年的本科生:
5000×0.98=4900
答:
这所高校今年毕业的本科生有4900人。
例7
鸡兔同笼问题:
今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
解:
假设全为鸡脚则有70只脚,假设全为兔脚则有140只脚
鸡:
70…………46
……………………94
兔:
140…………24
鸡:
兔=46:
24=23:
12
答:
鸡有23只,兔有12只。
例8
解一元二次方程:
把2x²-7x+3分解因式。
分析:
先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。
分解二次项系数(只取正因数):
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
11
╳
23
1×3+2×1=5
13
╳
21
1×1+2×3=7
1-1
╳
2-3
1×(-3)+2×(-1)=-5
1-3
╳
2-1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解:
2x²-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地,对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0),
如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,
即a=a1a2,
常数项c可以分解成两个因数之积,
即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,
排列如下:
a1c1
╳
a2c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,
若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,
即a1c2+a2c1=b,
那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,
即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
例2
把6x²-7x-5分解因式.
分析:
按照例1的方法,
分解二次项系数6及常数项-5,
把它们分别排列,
可有8种不相同的排列方法,
其中的一种21╳3-52×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解6x²-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:
通过例1和例2可以看到,
运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,
往往要经过多次观察,
才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式,
也可以用十字相乘法分解因式,
这时只需考虑如何把常数项分解因数.
例如把x²+2x-15分解因式,
十字相乘法是1-3╳151×5+1×(-3)=2
所以x²+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x²+6xy-8y²分解因式.
分析:
这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,
把-8y²看作常数项,
在分解二次项及常数项系数时,
只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,
经过观察,选取合适的一组,
即12╳5-41×(-4)+5×2=6
解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出:
原式分解为两个关于x,y的一次式.
例9
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:
这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,
只有先进行多项式的乘法运算,
把变形后的多项式再因式分解.
问:
两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:
第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1-2╳21
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:
把(x-y)看作一个整体进行因式分解,
这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x²+2x-15
分析:
常数项(-15)<0,可分解成异号两数的积,
可分解为(-1)(15),或
(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5),
其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
=(x-3)(x+5)
总结:
①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:
二次项的系数是1;
常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.
因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx²+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,
那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)ab╳cd
(1)(x+3)(x-6)=-8
(2)2x²+3x=0
(3)6x²+5x-50=0
(4)x²-2(+)x+4=0
(1)解:
(x+3)(x-6)=-8化简整理得
x²-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:
2x²+3x=0
x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解。
注意:
有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:
6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=5/2,x2=-10/3是原方程的解。
(4)解:
x²-2(+)x+4=0(∵4可分解为2·2,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2)=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
例题x²-x-2=0
解:
(x+1)(x-2)=0
∴x+1=0或x-2=0
∴x1=-1,x2=2
(附:
^是数学符号,例:
3²=3×3=9)
教学重点
重点:
正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式;
教学难点
难点:
灵活运用十字相乘法分解因式。
让学生灵活掌握。
理解十字相乘公式并灵活计算。
原理
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设总量为S,A所占的数量为M,B为S-M。
则:
[A*M+B*(S-M)]/S=C
A*M/S+B*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此:
M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为:
A………C-B
……C
B………A-C
这就是所谓的十字相乘法。
X增加,平均数C向A偏,A-C(每个A给B的值)变小,C-B(每个B获得的值)变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值。
即比例,以十字相乘法形式展现更加清晰。
注意事项
第一点:
用来解决两者之间的比例问题。
第二点:
得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点:
总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上。
具体应用
双十字相乘法是一种因式分解方法。
对于型如Ax²;+Bxy+Cy²;+Dx+Ey+F的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。
这种方法运算过程较繁。
对于这问题,若采用“双十字相乘法”(主元法),就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例:
3x²;+5xy-2y²;+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因为3=1×3,-2=2×(-1),-4=(-1)×4,
而1×(-1)+3×2=5,2×4+(-1)(-1)=9,1×4+3×(-1)=1
要诀:
把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
十字相乘法
十字相乘法
例:
ab+b²+a-b-2
=0×1×a²+ab+b²+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
提示:
设x²=y,用拆项法把cx²拆成mx²与ny之和。
例:
2x^4+13x^3+20x²+11x+2
=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.也是俗称的“主元法”
用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²,得到一个十字相乘图(有两列);
⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x²-3x+2,g(x)=x^5+x²+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f⑴=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根.
怎样进行分解因式
例7x+(-8x)=-x
解:
原式=(x+7)(x-8)
例2
-2x+(-8x)=-10x
解:
原式=(x-2)(x-8)
例3、
分析:
该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字相乘法进行因式分解。
因为
9y+10y=19y
解:
原式=(2y+3)(3y+5)
例4、因式分解。
分析:
因为
21x+(-18x)=3x
解:
原式=(2x+3)(7x-9)
例5、因式分解。
分析:
该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解。
因为
-25(x+2)+[-4(x+2)]=-29(x+2)
解:
原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例6、因式分解。
分析:
该题可以先将()看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘。
因为
-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+(-4a)=-a
解:
原式=[-2][-12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
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