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数学综合题
数学综合题
1、于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
2、已知:
如图,在直角坐标系中,以y轴上的点C为圆心,1为半径的圆与劣轴相切于原点O。
点P在x轴的负半轴上,PA切⊙C于点A,AB为⊙C的直径,PC交OA于点D。
(1)求证:
PC⊥OA;
(2)若点P的坐标为(–2,0),求直线AB的解析式;
(3)若点P在x轴的负半轴上运动,原题的其它条件不变,设点P的坐标为(x,0),四边形POCA的面积为S,求S与点P的横坐标x之间的函数关系式;
(4)在(3)的情况下,分析并判断是否存在这样的一点P,使。
若存在,直接写出点P的坐标(不写过程);若不存在,简要说明理由。
综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点.综合题是知识、方法、能力综合型试题,它具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点,新课改下的中考综合题更为突显创新能力.中考的区分度和选拔功能主要靠这类题型来完成预设目标.在近年的中考命题中,综合题的难度有所下降,形式与内容也有很大程度的创新.
一、中考数学综合题类型
1.综合方程、函数等有关知识解决数学问题.
2.综合平行线、三角形、四边形、圆等有关知识解决数学问题.
3.在直角坐标系内,综合运用点的坐标、距离、函数、方程等代数知识,并结合所学的几何知识解决数学问题.
4.在几何图形中综合运用有关几何知识,并结合所学的代数知识解决数学问题.
5.运用代数或几何的有关知识解决实际问题.
二、解综合题常用的思想与方法
1.转化思想、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、统计思想等.
2.配方法、换元法、待定系数法、综合法、分析法、面积法等.
三、解综合题的能力要求
1.阅读理解力、对条件的全面分析、转译和改造的能力.
2.化复杂为单一、折综合为基本,善于联想与转化的能力.
3.捕捉信息的敏感性,善于处理信息、加工信息的能力.
4.恰当地分离与重组是解综合题的重要手段和能力要求.
四、近年来中考综合题举例
(一)代数知识综合题
例1小明、小亮、小丽、小东四人共同探讨代数式
的值的情况.他们从不同侧面进行了研究,其探究的结论如下,其中错误的是()
(A)小明认为只有当x=2时,
的值为1
(B)小亮认为找不到实数x,使
的值为0
(C)小丽发现x2-4x+5的值随x的变化而变化,因此认为没有最小值
(D)小东发现当x取大于2的实数时,
的值随x的增大而增大,因此认为没有最大值
[解析]答案为C.选用直接法求解.
本题以同学间合作学习的面貌出现,考查学生代数式求值、一元二次方程、二次函数等相关知识以及配方法、数形结合思想的掌握状况,力图渗透合作学
习的新课程理念,反映学生学习过程的一个侧面.
例2如图,直线l1、l2相交于点A,根据图象解答下列问题:
(1)求出直线l2的函数关系式;
(2)当x在何范围时,两个函数的函数值都大于0?
[解析]
(1)
.
(2)由
解得
.
此题直接以图象形式呈现,同时结合图象提供的信息来确定函数的解析式,在此基础上进一步设置不等问题,把函数与不等式组等知识结合起来,重点考查一次函数、一元一次不等式组等相关知识,由函数图象获取信息的能力等。
上面两道试题虽然表现形式有些不同,但本质上都是考查函数、方程、不等式之间的关系.函数、方程、不等式之间的关系是“数与代数”中的重要内容,用函数的观点来看待方程与不等式的解,不仅形象直观,而且可以更深刻地把握它们之间的内在联系,这种着眼于研究不同内容之间的联系是一种重要的数学方法与学习方法.教学过程中,要让学生深刻地理解这一联系.
(二)几何知识综合题
例3操作示例:
对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH,按图1所示的方式摆放,再沿虚线BD,EG剪开后,可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED.
从拼接的过程容易得到结论:
①四边形BNED是正方形;
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED.
实践与探究:
(1)对于边长分别为a,b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH,按图2的方式摆放,连结DE,过点D作DM⊥DE,交AB于点M,过点M作MN⊥DM,过点E作EN⊥DE,MN与EN相交于点N.
①证明四边形MNED是正方形,并用含a,b的代数式表示正方形MNED的面积;
②在图2中,将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后,能够拼接为正方形MNED.请简略说明你的拼接方法(类比图1,用数字表示对应的图形).
(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接为一个正方形?
请简要说明你的理由.
双正方形图形在中考试题中出现频率较高,图形分割问题也是近几年的热点问题,此题的视角比较有新意.通过两次将两个正方形裁剪后拼成新的大正方形,并推广到一般情况的过程,构造出证明、拼法、推广的问题情景,体现不完全归纳推理的思想,以考查学生对正方形的性质、全等等知识和几何推理、空间想像、合情猜想的能力.本题以课题学习的形式展现了一个操作、推理、提出猜想并说明理由的过程,较好地考查了学生相关方面的能力,较好地体现了课程标准的思想,对教学带来积极的影响.这里,将操作与证明有机结合,由特殊到一般的猜想设计得较好.
有关图案设计、图形的割补问题,需要一定的、甚至较高的想像、创造力,它即涉及图形的性质也可以涉及一些数学思想方法,同时它又能有效地沟通数学与其它学科的联系,发展学生的空间观念与想像力,因此是新课程所倡导的、新教材所关注的一个方面.教学中,不要认为它与数学知识没有太多的关联而可以弃之不顾,而应当把它作为数学内容的一个有机组成部分予以重视.
(三)坐标系内代数与几何结合综合题
例4在直角坐标系中,△ABC的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC平移使得点A移至图中的点A′的位置.
(1)在直角坐标系中,画出平移后所得△A′B′C′(其中B′、C′分别是B、C的对应点).
(2)计算:
对应点的横坐标的差:
,
,
;
对应点的纵坐标的差:
,
,
.
(3)从
(2)的计算中,你发现了什么规律?
请你把发现的规律用文字表述出来.
(4)根据上述规律,若将△ABC平移使得点A移至A″(2,-2),那么相应的点B″、C″(其中B″、C″分别是B、C的对应点)的坐标分别是 、 .
本题
(1)、
(2)问取材于课本基础题,起点较低,为学生所熟悉,同时由于设计了第(3)、(4)问,较好地体现出不同的思维层次.设置的四个小问题一环扣一环,蕴涵了解决一个一般数学问题所需要处理的各个环节,在图形变化中寻找对应点坐标之差的规律:
先作图,再通过观察、计算等得出猜想,验证(一般应取特殊点进行验证),最后可将这一结论推广应用.(对于思维层次比较低的同学可通过画图来帮助完成计算)
整个题目从大方向上看考查了学生进行合情推理的能力,从具体问题看,考查了学生坐标表示、计算、归纳结论、文字表达、运用规律进行迁移等方面的能力.
例5如图,平面直角坐标系中,△ABC为等边三角形,其中点A、B、C的坐标分别为(-3,-1)、(-3,-3)、(
).现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形,得△A1B1C1,再以x轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形,得△A2B2C2.
(1)直接写出点C1、C2的坐标;
(2)能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置?
你若认为能,请作出肯定的回答,并直接写出所旋转的度数;你若认为不能,请作出否定的回答(不必说明理由);
(3)设当△ABC的位置发生变化时,△A2B2C2、△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变.①当△ABC向上平移多少个单位时,△A1B1C1与△A2B2C2完全重合?
并直接写出此时点C的坐标;②将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0≤α≤180),使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合,此时α的值为多少?
点C的坐标又是什么?
本题以图形与变换、图形与坐标、连续两次轴对称变换与中心对称的关系等有关知识以及空间想象能力作为考查对象,通过图形的运动将平移、旋转、坐标等知识有机地结合在一起,并进一步在运动变化中研究图形坐标的变化,设问层层递进,使得不同水平的学生都有机会表达自己对问题的理解.教学中可以运用几何画板软件对动态图形中规律性的东西进行总结,由直观到抽象给学生的印象深刻,但考试时不能借助工具,这类问题应怎样思考、能否进行操作要注意总结.
例6P为正比例函数y=
x图象上的一个动点,⊙P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).
(1)求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标;
(2)请直接写出⊙P与直线x=2相交,相离时x的取值范围.
此题是一个动点问题,将一次函数与直线和圆的位置关系结合考查,学生容易忽略的是考虑点P在直线x=2的左右两边的两种情况.
例7如图所示,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(4,0),
(4,3),动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点M作MP⊥OA,交AC于P,连结NP,已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为(_,_);(用含x的代数式表示)
(2)试求△NPC的面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的X值;
(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?
简要说明理由.
一个三角形是等腰三角形,它必须满足有两条边相等或两个角相等,而两条边相等并没有指明哪两条边,因而要对a=b或b=c或a=c三种情况讨论.
(四)图形中几何与代数结合综合题
例8“数缺形时少直观,形少数时难入微”.小明学习上爱动脑,在计算
的值时构造了这样一个图形:
如图,正△ABC面积为
,分别取AC、BC两边的中点D、E,再分别取CD、CE的中点,依次取下去…,能直观地求出它的值.也请你根据这个图形计算:
= .
本题所选用的命题素材和试题背景学生比较熟悉,以图形分割和数列求和结合的形式呈现,为有效考查学生在经历观察、分析、归纳的数学探究过程中发现其中的分割规律和其对应的面积比提供了必要的载体.此题力图考查学生观察、归纳等思维能力,对题目中给出的方法的理解运用的迁移能力,以及数形结合的思想方法.
(五)用代数知识解决实际问题
例9两人要去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序,两人采用了不同的乘车方案:
甲无论如何总是上开来的第一辆车,而乙则总是先观察后上车,当第一辆车开过来时,他不上车,而是仔细观察车的舒适状况.如果第二辆车的状况比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车不比第一辆好,他就上第三辆车.
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试解决下列问题:
(1)三辆车按出现的先后顺序共有几种不同的可能?
(2)你认为甲、乙两人采用的方案,哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大?
为什么?
本题立意新颖,以乘车问题创设问题情景,利用概率知识来解决决策问题,体现出两个重要价值:
(1)学习数学要养成一种理性思维的习惯,遇到一个问题,不能单单凭经验决策,也不能凭直觉决策,而应当增加理性的分析与计算,本题就蕴含了这一思想,将数学的理性精神通过中考试题对学生形成潜移默化的影响;
(2)本题的设计回避了对问题解决的思路作出任何暗示,需要学生根据实际问题的分析来发现其中所隐含的数学模型,这是一种做数学的要求,也是考查能力的有效做法.
(六)用几何知识解决实际问题
例10如图,公路MN和PQ在点P处交汇,∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由;如果受影响,已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒?
[解析]AB=80米<100米,显然受影响.
设点C处距点A100米,则CB=60米,所以CD=120米,所以受影响时间t=120米÷18千米/小时=(1/150)小时=24秒.
例11如图,一牧童在A处牧马,牧童家在B处,A,B处距河岸的距离AC,BD分别为500m和700m,且CD=500m,天黑前牧童从A处将马赶到河边去饮水后再回家,那么牧童
最少要走__________m.
例12 现有一块直径为2m的圆形铁片,若它做成一个有盖的油桶,并尽可能的用好这块铁片,工人师傅在圆形铁片上截取两个圆(即两底)和一个矩形(侧面),如图.
(1)若把BC作为油桶的高时,则油桶的底面半径R1等于多少?
(2)当把AB作为油桶的高时,油桶的底面半径R2与
(1)中的R1相等吗?
若相等,请说明理由;若不相等,请求出R2.
五、学生解综合题困难分析
1.理解困难、题意不清.
2.方法选择困难.
3.计算困难.
六、强化综合题解题策略训练
1.认真审题,对条件全面分析、转译和改造.
2.化复杂为单一,折综合为基本,善于联想与转化.
3.恰当地分离与重组是解综合题的重要手段.
4.先分专题进行复习和训练.
5.进行综合题实战演练.
6.及时反馈和反思形成能力.
七、了解命题者的设计思想和考查时对学生的能力要求
(一)命题设计思想
1.立足基础性.考试内容上不追求面面俱到,重点内容重点考.除立足基础知识、基本技能的考查外,注重数学思想和方法的考查,突出体现学科的主要知识.
2.注重能力性.强调对知识本质的把握和理解,重视对运用所学的基础知识和基本技能分析问题、解决问题能力的考查,重点考查运算能力、阅读理解能力、思维能力及空间想象能力.
3.体验过程性.考试过程也是学习过程,关注对获取数学信息能力、数学交流能力和运用新知识的能力的考查,实践新课标.
4.强调应用性.注重数学与现实联系的考查,学以致用,注重在具体情境中运用所学知识建模能力、分析和解决问题的能力以及“用数学”、“做数学”的意识.
5.渗透探究性.通过开放性、探究性试题,拓宽考生的思维空间,有助于创造性的发挥.
6.关注创新性.通过一些全新试题考查学生的创新意识、创新能力.
7.重视综合性.注意学科的内在联系和知识的综合性,引导考学生关注对所学知识适当的重组与整合;突出对所学知识综合运用能力的考查.
8.感受时代性.关注社会热点问题,具有时代气息.
9.体现人文性.关注学生的感受,设计上尽量减轻学生的心理压力.
(二)能力要求
1.运算能力:
准确运用计算法则与算律计算;正确运用估算方法计算.
2.表述能力:
正确表达解题过程,注意解题语言运用的规范.
3.简单推理能力:
因果关系清楚,逻辑关系正确,表达准确.在证明的过程中,从添加辅助线开始,就要严格按要求表述,不要求写根据,但是关系必须清楚、明确.
4.解读题意的能力:
理解指令语言;分解题目条件;寻求相应知识;理解与沟通知识之间关系;确定相应方法.
5.恒等变形能力:
根据题目条件与要求选择相应方法进行代数式的变形.不要跳步,要写明变形过程.
6.图形变换能力:
图形的分解与组合;根据图形需要确定相应的移动方法,并确定结果.移动图形必须写明移动的过程.
7.知识应用能力:
确定相应知识,运用知识,合理解决问题.
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