612还原问题题库学生版.docx
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612还原问题题库学生版
教学目标
本讲主要学习还原问题.通过本节课的学习,可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法,并会运用倒推法解决问题.
1.掌握用倒推法解单个变量的还原问题.
2.了解用倒推法解多个变量的还原问题.
3.培养学生“倒推”的思想.
知识点拨
知识点说明:
一、还原问题
已知一个数,经过某些运算之后,得到了一个新数,求原来的数是多少的应用问题,它的解法常常是以新数为基础,按运算顺序倒推回去,解出原数,这种方法叫做逆推法或还原法,这种问题就是还原问题.
还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理,根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算,逐步逆推.
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反:
一是运算次序与原来相反;二是运算方法与原来相反.
方法:
倒推法。
口诀:
加减互逆,乘除互逆,要求原数,逆推新数.
关键:
从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘.列式时还要注意运算顺序,正确使用括号.
例题精讲
板块一、单个变量的还原问题
【例1】某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问:
原数是多少?
【巩固】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数,如果用它加上
,然后乘以
,再减去
,最后除以
,所得的商还是
,那么这个数是。
【巩固】一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数.你知道这个数是几吗?
【巩固】少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数.把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一算,共采集了多少个树种子?
【巩固】(第七届《小数报》数学竞赛决赛填空题第6题)
在电脑里先输入一个数,它会按给定的指令进行如下运算:
如果输入的数是偶数,就把它除以2;如果输入的数是奇数,就把它加上3.同样的运算这样进行了3次,得出结果为27.原来输入的数可能是.
【例2】牛老师带着37名同学到野外春游.休息时,小强问:
“牛老师您今年多少岁啦?
”牛老师有趣地回答:
“我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数.”小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗?
【巩固】小智问小康:
“你今年几岁?
”小康回答说:
“用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4.请你算一算,我今年几岁?
”
【例3】学学做了这样一道题:
某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数.小朋友,你知道答案吗?
【巩固】学学做了这样一道题:
一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数.小朋友,你知道答案吗?
【例4】一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师:
“我得了多少分?
”老师说:
“你的得分减去
后,缩小
倍,再加上
后,扩大
倍,恰好是
分”.小刚这次竞赛得了多少分?
【例5】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:
小新爷爷今年多少岁数?
【巩固】学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙:
“你一定不到100岁吧!
”谁知这位神仙摇摇头说:
“你们算算吧!
把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁.”小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗?
【例6】哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢?
【巩固】小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的
看作
,十位上的
看作
,结果和是
,那么正确的结果应该是多少呢?
【巩固】淘气在做一道减法时,把减数个位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?
【巩固】小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123.正确的答案是多少?
【例7】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩9米,那么这根绳子原来有多少米呢?
【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米。
这捆电线原来有多少米?
【巩固】甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又10个,还剩下25个没有加工,问:
这批零件有多少个?
【例8】货场原有煤若干吨。
第一次运出原有煤的一半,第二次运进450吨,第三次又运出现有煤的一半又50吨,结果剩余煤的2倍是1200吨。
货场原有煤多少吨?
【例9】食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少
千克,第二天吃了余下的一半少
千克,最后剩下
千克.这批大米共有多少千克?
【巩固】山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问:
树上原来有多少个桃子?
【巩固】修建一条下水道,第一周修了全长的一半多
米,第二周修了剩下的一半少
米,第三周修了
米,最后还剩
米,这条下水道长多少米?
【例10】小丽用4元买了一本《童话大王》,又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》,买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元,最后还剩4元,问:
小丽原有多少钱?
【巩固】有一筐苹果,甲取出一半又1个;乙取出余下的一半又1个;丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果。
这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱?
【例11】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多
米,第二天修了余下的一半少
米,第三天修了
米,此时还剩下
米没有修,则这条小路长米。
【巩固】一个人沿着公园马路走了全长的一半后,又走了剩下路程的一班,还剩下1千米,问:
公园马路全长多少千米?
【例12】思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下8米,你知道这段五彩布原来长多少米吗?
【巩固】一群蚂蚁搬家,原存一堆食物.第一天运出总数的一半少12克.第二天运出剩下的一半少12克,结果窝里还剩下43克.问蚂蚁家原有食物多少克?
【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?
【巩固】修建一条下水道,第一周修了全长的一半多
米,第二周修了剩下的一半少
米,第三周修了
米,最后还剩
米,这条下水道长多少米?
【例13】桃园里来了第一群猴子,吃去桃子总数的一半又半个;第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个;第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃?
【巩固】山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问:
树上原来有多少个桃子?
【巩固】某水果店进一批水果,运进的是原来的水果的一半,原有的蔬菜卖出去一半以后,恰好与现在的水果同样多,已知原有的水果800千克,求原有的蔬菜多少千克?
【例14】刚打完篮球,冬冬觉得非常渴,就拿起一大瓶矿泉水狂喝.他第一口就喝了整瓶水的一半,第二口又喝了剩下的
,第三口则喝了剩下的
,第四口再喝剩下的
,第五口喝了剩下的
.此时瓶子里还剩0.5升矿泉水,那么最开始瓶子里有几升矿泉水?
【巩固】有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚.问:
原来至少有多少枚棋子?
【例15】从前,有一位樵夫,整天幻想着遇见神仙,求得一种不花气力就能发财的窍门.一天,有一位老人突然来到樵夫面前,对他说:
“你不是想见到神仙吗?
”樵夫苦苦哀求:
“我在山里砍了三天柴,累的要死要活,才卖的这么几个钱.您老人家神通广大,恳求您指点,使我可以不费力气就能得到钱吧!
”老人指着东边的一座石头桥说:
“好吧!
从现在开始,你只要从那座桥上每走一个来回,口袋里的钱都会增长一倍,但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬.”樵夫高兴的在桥上走了一个来回,他数一数口袋里的钱,果然增长了一倍.他拿出24个钱交给神仙,然后又向桥上走去,等到他第三次回来,把24个钱交给神仙后,摸一摸口袋,里面竟然一个钱都没有了.正当他焦急不安的时候,神仙按原数把钱留下飘然而去,并留下一句话:
“年轻人,不劳而获可不行啊!
”故事读完了,小朋友们,你能不能算出,樵夫原来有多少钱呢?
【例16】学学和思思见到一种神奇的虫子,它每小时就长一倍,1天能长到20厘米,聪明的小朋友,你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗?
【例17】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说:
“你只要走过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我32个铜板.”财迷算了算挺合算,就同意了.他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了老人32个铜板.这样走完第五个来回,身上的最后32个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下.问:
财迷身上原有多少个铜板?
【巩固】某人发现了一条魔道,下面有一个存钱的小箱子,当他从魔道走过去的时候,箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍,这人很高兴;当他从魔道走回来时,身上的钱会飞到箱子里,使箱子里的钱增加一倍;这人一连走了3个来回后,箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币,那么原来这人身上有多少元?
箱子里有多少元?
板块二、多个变量的还原问题
【例18】三人有不等的存款,只知如果甲给乙40元,乙再给丙30元,丙再给甲20元,给乙70元,这样三人各有240元,三人原来各有存款多少元?
【例19】小巧、小亚、小红共有
个玻璃球,小巧给小亚
个,小亚给小红
个,小红给小巧
个,他们的玻璃球个数正好相等.小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球?
【例20】三棵树上共有36只鸟,有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上,有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上,有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上,这时,三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟?
【例21】三棵树上共有27只鸟,从第一棵飞到第二棵2只,从第二棵飞到第三棵3只,从第三棵飞到第一棵4只,这时,三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟?
【例22】甲、乙两班各要种若干棵树,如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班,乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班,这时两班恰好都有28棵树,问甲、乙两班原来各有树多少棵?
【巩固】一班、二班、三班各有不同数目的图书.如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班,使这两个班的图书各增加一倍;然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班,使这两个班的图书各增加一倍;接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班,使这两个班的图书各增加一倍.这时,三个班的图书数目都是48本.求三个班原来各有图书多少本?
【例23】解放军某部参加抗震救灾,从第一队抽调一半人支援第二队,抽调35人支援第三队,又抽调剩下的一半支援第四队,后来又调进8人,这时第一队还有30人,求第一队原有多少人?
【例24】有一筐苹果,把它们三等分后还剩两个苹果,取出其中两份,将它们三等分后还剩
个;然后再取其中两份,将这两份三等分后还剩
个.问:
这筐苹果至少有几个?
【例25】3个探险家结伴去原始森林探险,路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌.第一局,甲输给了乙和丙,使他们每人的钱数都翻了一番.第二局,甲和乙一起赢了,这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍.第三局,甲和丙又赢了,这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍.结果,这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局,最后3人手中的钱是完全一样的.细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元.你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗?
【例26】3个笼子里共养了78只鹦鹉,如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里,再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里,那么3个笼子里的鹦鹉一样多.求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?
【巩固】甲、乙、丙3人共有192张邮票.从甲的邮票中取出乙那么多给乙后,再从乙的邮票中取出丙那么多给丙,最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲,这时甲、乙、丙3人邮票数相同,甲、乙、丙原来各有多少张?
【例27】一群小神仙玩扔沙袋游戏,他们分为甲、乙两个组,共有140只沙袋.如果甲组先给乙组5只,乙组又给甲组8只,这时两组沙袋数相等.两个组原来各有沙袋多少只?
【巩固】科学课上,老师说:
“土星直径比地球直径的9倍多4800千米,土星直径除以24等于水星直径,水星直径加上2000千米是火星直径,火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径,月亮直径是3000千米.”请你算一算,地球的直径是多少?
【例28】3个笼子里共养了36只兔子,如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里,再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里,那么3个笼子里的兔子一样多.求3个笼子里原来各养了多少只兔子?
【例29】张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本,为了广泛阅读,张给王13本,王给李18本,李给赵16本,赵给张2本.这时4个人的本数相等.他们原来各有多少本?
[巩固]甲、乙、丙3人共有192张邮票.从甲的邮票中取出乙那么多给乙后,再从乙的邮票中取出丙那么多给丙,最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲,这时甲、乙、丙3人邮票数相同,甲、乙、丙原来各有多少张?
【例30】
、
、
三个油桶各有油若干千克,第一次把
桶的一部分油倒入
、
两桶,使
、
两桶的油分别增加到原来的2倍;第二次把
桶的油倒一些到
、
两桶中,使
、
两桶油分别增加到第二次倒油时桶内油的2倍;第三次从
桶倒一些到
、
两个桶内,使
、
两桶内的油都增加到第三次倒油前桶内油的2倍,这时各桶内的油都是16千克.
、
、
三个油桶原来各有油多少千克?
【例31】有甲、乙两堆棋子,其中甲堆棋子多于乙堆.现在按如下方法移动棋子:
第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆;第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆;第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆.照此移法,移动三次后,甲、乙两堆棋子数恰好都是32个.问甲、乙两堆棋子原来各有多少个?
【例32】有一堆棋子,把它三等份后剩一枚,拿去两份和另一枚,将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚,再拿去两份和另一枚,最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚,问原来至少有多少枚棋子?
【巩固】有一筐苹果,把它们三等分后还剩两个苹果,取出其中两份,将它们三等分后还剩
个;然后再取其中两份,将这两份三等分后还剩
个.问:
这筐苹果至少有几个?
【例33】乙丙三人各有糖豆若干粒,甲从乙处取来一些,使自己的糖豆增加了一倍;接着乙从丙处取来一些,使自己的糖豆也增加了一倍;丙再从甲处取来一些,也使自己的糖豆增加了一倍.现在三人的糖豆一样多.如果开始时甲有51粒糖豆,那么乙最开始有多少粒糖豆?
【巩固】甲、乙、丙三人各有铜板若干枚,开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙,使乙、丙的铜板数各增加了1倍;乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙,使甲、丙的铜板数各增加了1倍;丙把自己的铜板拿出一部分给乙、甲,使乙、甲的铜板数各增加了1倍,这时三人铜板数都是8枚,原来每人各有几枚?
【例34】有18块砖,哥哥和弟弟争着去搬.弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶到了.哥哥看弟弟搬得太多,就抢过一半.弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半,这时爸爸走过来,他从哥哥那拿走一半少2块,从弟弟那儿拿走一半多2块,结果是爸爸比哥哥多搬了3块,哥哥比弟弟多搬了3块.问最初弟弟准备搬多少块?
【巩固】有砖26块,兄弟二人争着去挑.弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多,就抢过一半.弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服,弟弟只好给哥哥5块,这时哥哥比弟弟多挑2块.问最初弟弟准备挑多少块?
【例35】有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克.先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍;再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍;最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶.这时,各桶油都是16千克.问:
各桶原有油多少千克?
【巩固】兄弟三人分24个桔子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大,最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三,这时每人的桔子数恰好相同.问:
兄弟三人的年龄各多少岁?
【例36】一班、二班、三班各有不同数目的图书.如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班,使这两个班的图书各增加一倍;然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班,使这两个班的图书各增加一倍;接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班,使这两个班的图书各增加一倍.这时,三个班的图书数目都是48本.求三个班原来各有图书多少本?
【巩固】(第四届《小数报》数学竞赛决赛试题)A、B、C三个油桶各盛油若干千克.第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶,使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍;第二次从B桶把油倒入C、A两桶,使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍;第三次从C桶把油倒入A、B两桶,使A、B两桶内的油分别增加到第三次到之前桶内油的2倍,这样,各桶的油都为16千克.问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克?
【例37】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)
七个人都各有一些珠子。
从
开始依序进行以下操作,每次都分给其他六个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。
当
操作后,每个人手中都恰好各有
颗珠子,请问
原先有多少颗珠子?
【巩固】口渴的三个和尚分别捧着一个水罐.最初,老和尚的水最多,并且有一个和尚没水喝.于是,老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚;接着,大和尚又把自己的水全部平均分给了老、小两个和尚;然后,小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚.就这样,三人轮流谦让了一阵.结果太阳落山时,老和尚的水罐里有10升水,小和尚的水罐则装着20升水.请问:
最初大和尚的水罐里有多少升水?
【巩固】老师在黑板上写了三个不同的整数,小明每次先擦掉第一个数,然后在最后写上另两个数的平均数,如此做了7次,这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008,且所有写过的数都是整数.请问:
开始时老师在黑板上写的第一个数是多少?
【例38】某工厂有
、
、
、
、
五个车间,人数各不相等.由于工作需要,把
车间工人的
调入
车间,
车间工人的
调入
车间,
车间工人的
调入
车间,
车间工人的
调入
车间.现在五个车间都是30人.原来每个车间各有多少人?
【巩固】三个容器各放一些水,第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器,使得它们的水分别增加到原来的2倍与3倍,第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中,使它们的水分别增加到3倍与2倍,第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中,使它们的水都增加到2倍,这时三个容器中的水都为96毫升,原来三个容器中各有多少毫升水?
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