专题培优 八年级数学上册 轴对称与等腰三角形 培优专题含答案.docx
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专题培优八年级数学上册轴对称与等腰三角形培优专题含答案
2018年八年级数学上册轴对称与等腰三角形培优专题
如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M.
(1)若∠B=70°,则∠MNA的度数是 .
(2)连接NB,若AB=8cm,△NBC的周长是14cm.
①求BC的长;
②在直线MN上是否存在P,使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小?
若存在,标出点P的位置并求△PBC的周长最小值;若不存在,说明理由.
如图,△ABC是等边三角形,D、E分别是BC、AC上的点,BD=CE,求∠AFE的度数.
(1)如图1,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P,使C、D、P三点组成的三角形的周长最短,找出此点并说明理由.
(2)如图2,在∠AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点,并说明理由.
(3)如图3,在∠AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出E、F两点,并说明理由.
如图,直线a、b相交于点A,C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N是EC、DB的中点.
求证:
MN⊥BD.
如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B、C向过点A的直线作垂线,垂足分别为点E、F.
(1)如图
(1),过A的直线与斜边BC不相交时,求证:
①△ABE≌△CAF;②EF=BE+CF
(2)如图
(2),过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3,试求EF的长.
已知在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.
(1)直线BF垂直于CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:
AE=CG;
(2)直线AH垂直于CE,垂足为H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并说明理由.
如图,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线上,且有BD=CE,连DE交BC于F,过E作EG⊥BC于G,求证:
FG=BF+CG.
如图,在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG.求证:
(1)AD=AG;
(2)AD与AG的位置关系如何?
并证明你的结论.
如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,CH⊥AD于H点.
(1)求证:
AD=CE;
(2)求证:
CF=2FH.
如图,在△ABC中,AB=AC,AM平分∠BAC,交BC于点M,D为AC上一点,延长AB到点E,使CD=BE,连接DE,交BC于点F,过点D作DH∥AB,交BC于点H,G是CH的中点.
(1)求证:
DF=EF.
(2)试判断GH,HF,BC之间的数量关系,并说明理由.
数学课
上,李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论:
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AEDB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目:
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AEDB(填“>”,“<”或“=”).
理由如下:
如图2,过点E作EF//BC,交AC于点F.(请你接着完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为3,AE=1,则CD的长为(请你直接写出结果).
如图,在等边三角形ABC中,点M是BC边上的任意一点(不与端点重合),连接AM,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN.
(1)求∠ACN的度数.
(2)若点M在△ABC的边BC的延长线上,其他条件不变,则∠ACN的度数是否发生变化?
(直接写出结论即可)
已知点A、C、B在同一条直线上,△DAC、△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.
求证:
(1)AE=BD;
(2)△CMN为等边三角形
如图1,△ABC是边长为4cm的等边三角形,点P,Q分别
从顶点A,B同时出发,沿线段AB,BC运动,且它们的速度都为1cm/s.当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(2)连接AQ、CP,相交于点M,如图2,则点P,Q在运动的过程中,∠CMQ会变化吗?
若变化,则说明理由;若不变,请求出它的度数.
已知,如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=50°
(1)求证:
①AC=BD;②∠APB=50°;
(2)如图②,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系为,∠APB的大小为
【专题培优】2018年八年级数学上册轴对称与等腰三角形培优专题(含答案)答案解析
一、解答题
(1)50
(2)①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA,又∵△NBC的周长是14cm,∴AC+BC=14cm,∴BC=6cm.
②当点P与点N重合时,由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小,最小值是14cm.
【解答】解;△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°.
在△ABD和△BCE中,
,∴△ABD≌△BCE(SAS),∴∠BAD=∠CBE.
由三角形弯角的性质得∠AFE=∠BAF+∠ABF,∠AFE=∠CBE+∠ABF=60°.
解:
(1)如图1,作C关于直线AB的对称点C′,
连接C′D交AB于点P.则点P就是所要求作的点.
理由:
在l上取不同于P的点P′,连接CP′、DP′.
∵C和C′关于直线l对称,∴PC=PC′,P′C=P′C′,
而C′P+DP<C′P′+DP′,∴PC+DP<CP′+DP′
∴CD+CP+DP<CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长;
(2)如图2,作P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F,
则点E,F就是所要求作的点.
理由:
在OA,OB上取不同于E,F的点E′,F′,连接CE′、E′P′,
∵C和P关于直线OA对称,∴PE=CE,CE′=PE′,PF=DF,PF′=DF′,
∵PE+EF+PF=CE+EF+DF,PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′,
∴CE+EF+DF<CE′+E′F′+DF′,′∴PE+EF+PF<PE′+PF′+E′F′;
(3)如图3,作M关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F,
则点E,F就是所要求作的点.
理由:
在OA,OB上取不同于E,F的点E′,F′,连接CE′、E′P′,
∵C和P关于直线OA对称,∴PE=CE,CE′=PE′,PF=DF,PF′=DF′,
由
(2)得知MN+ME+EF+MF<ME′+E′F′+F′D.
证明:
∵BC⊥a,DE⊥b,点M是EC的中点,∴2DM=EC,2BM=EC,∴DM=BM,
∵点N是BD的中点,∴MN⊥BD.
【解答】
(1)证明:
①∵BE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEB=∠CFA=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠EAB+∠FAC=90°,∴∠EBA=∠FAC,
在△AEB与△CFA中
∴△ABE≌△CAF(AAS),
②∵△ABE≌△CAF,∴EA=FC,EB=FA,∴EF=AF+AE=BE+CF;
(2)解:
∵BE⊥AF,CF⊥AF∴∠AEB=∠CFA=90°∴∠EAB+∠EBA=90°
∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠FAC=90°∴∠EBA=∠FAC,
在△AEB与△CFA中
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴EA=FC,EB=FA,∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7.
(1)证明:
∵点D是AB的中点,AC=BC,∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,∠CAD=∠CBD=45°,∴∠CAE=∠BCG.
又BF⊥CE,∴∠CBG+∠BCF=90°,又∵∠ACE+∠BCF=90°,∴∠ACE=∠CBG,∴△AEC≌△CGB,∴AE=CG.
(2)解:
BE=CM.理由:
∵CH⊥HM,CD⊥ED,∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,∴∠CMA=∠BEC.又∵CA=BC,∠ACM=∠CBE=45°,∴△BCE≌△CAM,∴BE=CM.
解答:
证明:
在BC上截取GH=GC,连接EH,
∵EG⊥BC,GH=GC,∴EH=EC,∴∠EHC=∠C,
又AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠EHC=∠ABC,
∴EH∥AB,∴∠DBF=∠EHF,∠D=∠DEH,
又EH=EC=BD,
∴△BDF≌△HEF,∴BF=FH,
∴FG=FH+HG=BF+GC.
(1)证明:
∵BE⊥AC∴∠AEB=90∴∠ABE+∠BAC=90
∵CF⊥AB∴∠AFC=∠AFG=90
∴∠ACF+∠BAC=90,∠G+∠BAG=90∴∠ABE=∠ACF
∵BD=AC,CG=AB∴△ABD≌△GCA(SAS)∴AG=AD
2、AG⊥AD
证明:
∵△ABD≌△GCA∴∠BAD=∠G
∴∠GAD=∠BAD+∠BAG=∠G+∠BAG=90
∴AG⊥AD
略
解:
(1)=;
(2)=
在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,
∴AE=AF=EF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF,
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,
∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠FCE,
∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF,∴AE=BD.
(3)1或3.
证明:
(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形∴AC=DC,EC=BC,∠1=∠2=60°
∵∠ACE=∠1+∠3,∠DCB=∠2+∠3∴∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中,AC=DC,∠ACE=∠DCB,EC=BC
∴△ACE≌△DCB(SAS)∴AE=DB.
(2)由
(1)可知:
△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB即∠CAM=∠CDN
∵△DAC、△EBC均是等边三角形∴AC=DC,∠1=∠2=60°.
又∵点A、C、B在同一条直线上∴∠1+∠2+∠3=180°∴∠3=60°∴∠1=∠3
在△ACM和△DCN中,∠CAM=∠CDN,AC=DC,∠1=∠3
∴△ACM≌△DCN(ASA)∴CM=CN
∵∠3=60°∴△CMN为等边三角形
略
【解答】证明:
(1)∵∠AOB=∠COD=50°,∴∠AOC=∠BOD,
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB,∴∠APB=∠AOB=50°.
(2)解:
AC=BD,∠APB=α,理由是:
)∵∠AOB=∠COD=50°,∴∠AOC=∠BOD,
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,∠CAO=∠DBO,
根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB,∴∠APB=∠AOB=α,
故答案为:
AC=BD,α.
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