北师大版高数必修三第3讲用样本估计总体学生版研究院李寒松.docx
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北师大版高数必修三第3讲用样本估计总体学生版研究院李寒松
用样本估计总体
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1.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.
2.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作出总体估计,认识到数学知识源于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系.
3.能利用频率分布直方图估计总体的众数、中位数、平均数;能用样本的众数、中位数、平均数估计总体的众数、中位数、平均数,并结合实际,对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法;初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法;通过对有关数据的搜集、整理、分析、判断,培养学生“实事求是”的科学态度和严谨的工作作风.
4.正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差;能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释;会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
1.分析数据的方法
(1)借助于图形.
用图将各个数据画出来,作图可以达到两个目的,一是从数据中__________;二是利用图形__________.
(2)借助于表格.
用紧凑的表格改变数据的______方式,为我们提供_____数据的新方式.
2.频率分布直方图
(1)绘制步骤:
①求______,即一组数据中的最大值与最小值的差.
②决定______与______.组距与组数的确定没有具体的标准,一般来说,数据分组的组数与样本容量有关,样本容量越大,所分组数越____.当样本容量不超过100时,按照数据的多少,常分为5~12组.
③将数据______.
④列出__________表.
⑤画出频率分布直方图.其中横轴表示_____,纵轴表示_____________的比.
(2)意义:
频率分布直方图中,每个小矩形的面积表示相应组的______,所有小矩形的面积的总和等于____.
(3)频率分布的估计:
频率分布是指各个小组数据在容量中所占______的大小,可以用______的频率分布估计总体的频率分布,频率分布表是反映样本的频率分布的表格.通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布.
3.频率分布直方图的特征:
直观、形象地反映了样本的分布规律;可以大致估计出总体的分布.但是从频率分布直方图中得不出原始的数据内容,把数据绘制成频率分布直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
4.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)类似于频数分布折线图,连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图.
一般地,当总体中的个体数较多时,抽样时样本容量就不能太小.例如,如果要抽样调查一个省乃至全国的居民的月均用水量,那么样本容量就应比调查一个城市的时候大.可以想像,随着样本容量的增加.作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
频率分布折线图反映了数据的变化趋势.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息.
(2)估计方法:
实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但是在实际应用中我们并不知道它的具体表达形式,需要用______来估计.由于样本是随机的,不同的样本得到的频率分布折线图______;即使对于同一个样本,不同的分组情况得到的频率分布折线图也不同.频率分布折线图是随__________和分组情况的变化而变化的,因此不能用样本的___________________得到准确的总体密度曲线.
5.茎叶图
(1)制作方法:
将所有两位数的十位数字作为_____,个位数字作为___,茎相同者共用一个茎,茎按从_________的顺序从上向下列出,共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出(也可以没有大小顺序).
(2)优缺点:
在样本数据_______时,用茎叶图表示数据的效果较好.它不但可以保留所有信息,而且可以随时______,这对数据的记录和表示都能带来方便.但是当样本数据______时,茎叶图就显得不太方便,因为每一个数据都要在图中占据一个空间,如果数据很多,枝叶就会很长.
6.茎叶图的特征:
统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.但是茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两位以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两位数记录那么直观、清晰.
7.规律总结
[总结1] 估计总体分布的步骤是:
(1)选择适当的抽样方法从总体中抽取样本,即收集数据.
(2)利用样本数据画出统计图或计算数字特征.
(3)结合统计图分析样本取值的分布规律.
(4)用样本取值的分布规律估计总体分布,由于是用科学抽样抽取的样本,那么样本与总体取值的分布规律近似,有时也可看成相同.
(5)利用总体分布解决有关问题.
[总结2] 频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图的比较
(1)四种图表的区别与联系
名称
区别
频率分布表
从数量上比较准确地反映样本的频率分布规律
频率分布直方图
反映样本的频率分布情况
频率分布折线图
直观地反映了数据的变化趋势
总体密度曲线
虽客观存在,但要准确画出难度较大,只能用样本频率分布估计.样本容量越大,估计越准确
这四种图表都是描述样本数据分布情况,估计总体频率分布规律的,其联系如下:
(2)四种图表的优缺比较
优点
缺点
频率分布表
表示数量较确切
分析数据分布的总体态势不方便
频率分
布直方图
表示数据分布情况非常直观
原有的具体数据信息被抹掉了
频率分布
折线图
能反映数据的变化趋势
不能显示原有数据信息
茎叶图
一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况
样本数据较多或数据位数较多时,不方便表示数据
8.众数
(1)定义:
一组数据中出现次数______的数称为这组数据的众数.
(2)特征:
一组数据中的众数可能______一个,也可能没有,反映了该组数据的____________.
[破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征.
9.中位数
(1)定义:
一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于______位置的数称为这组数据的中位数.
(2)特征:
一组数据中的中位数是______的,反映了该组数据的______________.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积______.
[破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.
10.平均数
(1)定义:
一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的平均数为
n=_________________.
(2)特征:
平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的_____________.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的______,但平均数受数据中_________的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.
11.标准差
(1)定义:
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,通常用以下公式来计算
s=__________________________.
可以用计算器或计算机计算标准差.
(2)特征:
标准差描述一组数据围绕______波动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较大,数据的离散程度较______;标准差较小,数据的离散程度较______.
12.方差
(1)定义:
标准差的平方,
即s2=________________________________________.
(2)特征:
与____________的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动程度的大小.
(3)取值范围:
___________.
数据组x1,x2,…,xn的平均数为
,方差为s2,标准差为s,则数据组ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b为常数)的平均数为a
+b,方差为a2s2,标准差为as.
6.用样本估计总体
现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的,因此,通常用样本的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计.这与用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.
用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类:
用样本平均数估计总体平均数;用样本标准差估计总体标准差,样本容量越大,估计就越精确.
类型一绘制频率分布直方图
例1:
抽查100袋洗衣粉,测量它们的净重如下(单位:
g):
494 498 493 505 496 492 485 483 508 511
495 494 483 485 511 493 505 488 501 491
493 509 509 512 484 509 510 495 497 498
504 498 483 510 503 497 502 511 497 500
493 509 510 493 491 497 515 503 515 518
510 514 509 499 493 499 509 492 505 489
494 501 509 498 502 500 508 491 509 509
499 495 493 509 496 509 505 499 486 491
492 496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 496 501 510 496 487 511 501 496
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画频率分布直方图及频率分布折线图;
(3)估计净重在494.5~506.5g之间的频率.
练习1:
为了解某中学高一年级男生的体重情况,抽取了同年级40名男生的体重,数据如下(单位:
千克):
62 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56
56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54
54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51
50 50 49 48
列出样本的频率分布表,绘出频率分布直方图,并估计体重在58千克以上的男生比例.
练习2:
在2014年第十六届亚运会中,各个国家和地区金牌获得情况的条形统计图,如图所示.
第十六届亚运会各个国家和地区金牌获得情况统计图
从图中可以看出中国是亚洲第一体育强国,中国所获得金牌数占全部金牌数的比例约是( )
A.41.7%B.59.8%C.67.3%D.34.4%
练习3:
频率分布直方图中,各小矩形面积的和等于( )
A.0B.
C.1D.不确定
练习4:
在画频率分布直方图时,某组的频数为10,样本容量为50,总体容量为600,则
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