新疆维吾尔自治区高中数学学业水平考试知识点汇总.docx
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新疆维吾尔自治区高中数学学业水平考试知识点汇总
2018年新疆维吾尔自治区高中数学学业水平测试知识点汇总
【必修一】
一、集合与函数概念
并集:
由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合,如果遇到重复的只取一次。
记作:
A∪B
交集:
由集合A和集合B的公共元素所组成的集合,如果遇到重复的只取一次记作:
A∩B
补集:
就是作差。
1、集合a1,a2,...,an的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个;非空的真子有2n–2个.
2、求yf(x)的反函数:
解出xf1(y),x,y互换,写出yf1(x)的定义域;函数图象关于y=x对称。
3、
(1)函数定义域:
①分母不为0;②开偶次方被开方数0;③指数的真数属于R、对数的真数0.
4、
2),
函数的单调性:
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 那么就说f(x)在区间D上是增(减)函数,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质。 5、奇函数: 是f(-x)=-f(x),函数图象关于原点对称(若x0在其定义域内,则f(0)0); 偶函数: 是f(-x)=f(x),函数图象关于y轴对称。 6、指数幂的含义及其运算性质: 1)函数yax(a0且a1)叫做指数函数。 2)指数函数yax(a0,a1)当0a1为减函数,当a1为增函数; ①arasars;②(ar)sars;③(ab)rarbr(a0,b0,r,sQ)。 3)指数函数的图象和性质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0, 1),即x=0时,y=1 性 (4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数 质 (5)x0,ax1; (5)x0,0ax1; x x0,0a1 x x0,a1 7、对数函数的含义及其运算性质: (1)函数ylogax(a0,a1)叫对数函数。 (2)对数函数ylogax(a0,a1)当0a1为减函数,当a1为增函数; ①负数和零没有对数;②1的对数等于0: loga10;③底真相同的对数等于1: logaa1, (3)对数的运算性质: 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么: ①logaMNlogaMlogaN;②logalogaMlogaN;③logaMnnlogaM(nR)。 aNaa (4)换底公式: logabogc(a0且a1,c0且c1,b0) logca (1)定义域: (0,+∞) (2)值域: R 3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)在( 0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 (5)x 1,logax0; (5)x1,logax0; 0 x1,logax0 0x1,logax0 1 8、幂函数: 函数yx叫做幂函数(只考虑1,2,3,1,的图象)。 9、方程的根与函数的零点: 如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0, 那么,函数yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0这个c就是方程f(x)0的根。 【必修二】 一、直线平面简单的几何体 1、长方体的对角线长l2a2b2c2;正方体的对角线长l3a 2、球的体积公式: v4R3;球的表面积公式: S4R2 3 3、柱体、锥体、台体的体积公式: 1 V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);V锥体=Sh(S为底面积,h为柱体高) 3 V台体=1(S’+S'S+S)h(S’,S分别为上、下底面积,h为台体高) 3 4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理: (1)四公理三推论: 公理1: 若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理2: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 公理3: 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推论一: 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二: 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三: 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理4: 平行于同一条直线的两条直线平行. (2)空间线线,线面,面面的位置关系: 空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。 相交直线和平行直线也称为共面直线。 空间直线和平面的位置关系: (1)直线在平面内(无数个公共点); (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点); (3)直线和平面平行(没有公共点)它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为a,aA,a//。 空间平面和平面的位置关系: (1)两个平面平行——没有公共点; (2)两个平面相交——有一条公共直线。 5、直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该直线与这个平面平行。 a符号表示: ba//。 图形表示: a//b 6、两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 ab 符号表示: abP// a//b// 7、.直线与平面平行的性质定理: 这条直线平行。 a//符号表示: aa//b。 b 8、两个平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线的平行。 符号表示: //,a,ba//b 9、直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这条直线垂直于这个平面。 符号表示: a,b,abP,la,lbl 10、.两个平面垂直的判定定理: 一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 符号表示: l,l 11、直线与平面垂直的性质: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 符号表示: aa//b。 b 12、平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 符号表示: l,m,lml. 13、异面直线所成角: 平移到一起求平移后的夹角。 直线与平面所成角: 直线和它在平面内的射影所成的角。 (如右图) 14、异面直线所成角的取值范围是0,90; 直线与平面所成角的取值范围是0,90; 二面角的取值范围是0,180; 两个向量所成角的取值范围是0,180 二、直线和圆的方程 y2y1 1、斜率: ktan,k(,);直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则斜率为k 2、直线的五种方程: x2x1 (1)点斜式yy1k(xx1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k). (2)斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距). yy1xx1 (3)两点式((P1(x1,y1)、P2(x2,y2);(x1x2)、(y1y2)). y2y1x2x1 (4)截距式xy1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0) ab (5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0). 3、两条直线的平行、重合和垂直: (1)若l1: yk1xb1,l2: yk2xb2 1l1‖l2k1k2且b1≠b2; 2l1与l2重合时k1k2且bb2; 3l1l2k1k21. (2)若l1: A1xB1yC10,l2: A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2111;②l1l2A1A2B1B20 A2B2C2 4、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式│P1P2│=(x2x1)2(y2y1)2 5、两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中点坐标公式M(x1x2,y1y2) 22 6、点P(x0,y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0的距离公式d=Ax0By0C A2B2 7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=C2C1 A2B2 222 8、圆的方程: 标准方程xaybr2,圆心a,b,半径为r; 22 一般方程x2y2DxEyF0,(配方: (x)2(y)2) 224 D2E24F0时,表示一个以(D,E)为圆心,半径为1D2E24F的圆; 222 9、点与圆的位置关系: 点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种: 若d(ax0)2(by0)2,则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 10、直线与圆的位置关系: 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种 dr相离0;dr相切0; 11、弦长公式: A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则由 ax2+bx+c=0(a≠0) =1k2x1x2=(1k2)(x1x2)24x1x2 13、空间直角坐标系,两点之间的距离公式: ⑴xoy平面上的点的坐标的特征A(x,y,0): 竖坐标z=0 xoz平面上的点的坐标的特征B(x,0,z): 纵坐标y=0 yoz平面上的点的坐标的特征C(0,y,z): 横坐标x=0 x轴上的点的坐标的特征D(x,0,0): 纵、竖坐标y=z=0 y轴上的点的坐标的特征E(0,y,0): 横、竖坐标x=z=0 z轴上的点的坐标的特征E(0,0,z): 横、纵坐标x=y=0 ⑵│P1P2│=(x2-x1)2(y2-y1)2(z2-z1)2 【必修三】 图形符号 名称 功能 终端框(起止框) 表示一个算法的起始和结束 输入、输出框 表示一个算法输入输出的信息 处理框(执行框) 赋值、计算(语句、结果的传送) 算法初步与统计: 判断框 判断某一条件是否成立时,在出口处 标明“是”或“Y”,不成立时标明 “否”或“N” 流程线 连接程序框(流程进行的方向) 连接点 连接程序框图的两部分 注释框 帮助注解流程图 循环框 程序做重复运算 (1)顺序结构 (2)条件结构(3)循环结构 二、算法基本语句: 1、输入语句: 输入语句的格式: INPUT“提示内容”;变量。 2、输出语句: 输出语句的一般格式: PRINT“提示内容”;表达式。 3、赋值语句: 赋值语句的一般格式: 变量=表达式。 4、条件语句 (1)“IF—THEN—ELSE” 语句。 5、循环语句: 直到型循环结构“DO—LOOPUNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEN”D。 三.三种常用抽样方法: 1、简单随机抽样;2.系统抽样;3.分层抽样。 4.统计图表: 包括条形图,折线图,饼图,茎叶图。 四、频率分布直方图: 具体做法如下: (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差); (2)决定组距与组数; (3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布直方图。 注: 频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。 2、频率分布直方图: 频率=小矩形面积(注意: 不是小矩形的高度) 频数频率 计算公式: 频率=频数=样本容量频率频率=小矩形面积=组距 样本容量组距 各组频数之和=样本容量,各组频率之和=1 3、茎叶图: 茎表示高位,叶表示低位。 折线图: 连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。 4、刻画一组数据集中趋势的统计量: 平均数,中位数,众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数; 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组 数据的中位数; 5、刻画一组数据离散程度的统计量: 极差,极准差,方差。 (1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。 (2)方差,标准差越大,离散程度越大。 方差,标准差越小,离散程度越小,聚集于平均数的程度越高。 (3)计算公式: 标准差: sn1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] 方差: s2n1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] 直线回归方程的斜率为b? ,截距为a? ,即回归方程为y? =b? x+a? (此直线必过点(x,y))。 6、频率分布直方图: 在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,方长方形的高与频数成正比, 各组频数之和等于样本容量,频率之和等于1。 五、随机事件: 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 一般用大写字母A,B,C⋯表示. 随机事件的概率: 在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把 这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。 由定义可知0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率 是0。 1、事件间的关系: (1)互斥事件: 不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件: 不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含: 事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A); (4)对立一定互斥,互斥不一定对立。 2、概率的加法公式: (1)当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥) (2)若事件A与B为对 立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B). 3、古典概型: 4、 2)每个基本事件出现的可能 1)正确理解古典概型的两大特点: 1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; 5、几何概型: (1)几何概率模型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率 模型为几何概率模型。 (2)几何概型的特点: 1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相 3、特殊角的三角函数值: 的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 的弧度 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 — 3 1 3 3 0 — 0 sintan cos 7、辅助角公式 asinxbcosxa2b2asinxbcosx a2b2a2b2 a2b2(sinxcoscosxsin)a2b2sin(x) 2222 C2: cos2cossin12sin2cos1 121cos21121cos211 sincossin2sincos2coscos2 2222222 9、在ysin,ycos,ytan,ycot四个三角函数中只有ycos是偶函数,其它三个是寄函数。 (指数 函数、对数函数是非寄非偶函数) 10、在三角函数中求最值(最大值、最小值);求最小正周期;求单调性(单调第增区间、单调第减区间);求对称轴; 求对称中心点都要将原函数化成标准型; yAsin(x)b yAcot(x)b 11、三角函数的图象与性质: ysinx ysinx 法二: 先伸缩后平移 (0)或向右(0) 平移||个单位 (0)或向右(0) 平移||个单位 y y sin(x)横坐标变为原来的1倍 ,ysin(x) 纵坐标不变ysnx 纵坐标变为原来的A倍 iyAsin(x) sin(x)横坐标不变 2tan T2: tan22 1tan 2)、降次公式: (多用于研究性质) y y Acos(x)b 再求解。 Atan(x)b sinx ysinx y 横坐标变为原来1倍的纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 yAsin(x)横坐标不变 (0)或向右(0) ()()ysin(x) 平移||个单位 8、二倍角公式: (1)、S2: sin22sincos 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R {x|xk,kZ} 2 值域 [1,1] [1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 2 2 单调性 在[2k,2k](kZ)增 22 3 在[2k,2k](kZ)减 22 在[2k,2k](kZ)增 在[2k,2k](kZ)减 在(kZ)增 最值 当x2k,kZ时,ymax1 2 当x2k,kZ时,ymin1 2 当x2k,kZ时,ymax1 当x(2k1),kZ时,ymin1 无 对称性 对称中心(k,0),kZ 对称轴: xk(kZ) 2 对称中心(k,0),kZ 2 对称轴: xk(kZ) 对称中心(k,0),kZ 对称轴: 无 12.函数yAsinx的图象: (1)用“图象变换法”作图 由函数ysinx的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一: 先平移后伸缩 当函数yAsin(x)(A>0,0,x[0,))表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡 2位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T,它叫做振动的周期;单位时 间内往复振动的次数f12,它叫做振动的频率;x叫做相位,叫做初相(即当x=0时的相位)。 T 二、平面向量 1、平面向量的概念: 2在平面内,具有大小和方向的量称为平面向量. 3向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向. 4向量的大小称为向量的模(或长度),记作. 5模(或长度)为0的向量称为零向量;模为1的向量称为单位向量. 6与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量,记作a. 7方向相同且模相等的向量称为相等向量. 2、实数与向量的积的运算律: 设λ、μ为实数,那么 (1)结合律: λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律: (λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律: λ(ab)=λa+λb. 3、向量的数量积的运算律: (1)a·b=b·a(交换律); (2)(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b);(3)(ab)·c=a·c+b·c. 4、平面向量基本定理: 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得 a=λ1e1+λ2e2. 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5、坐标运算: (1)设ax1,y1,bx2,y2,则abx1x2,y1y2 数与向量的积: λax1,y1x1,y1,数量积: abx1x2y1y2 (2)、设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则ABx2x1,y2y1.(终点减起点) 6、平面两点间的距离公式: (1)dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2 (2)向量a的模|a|: |a|2aax2y2; (3)、平面向量的数量积: ababcos,注意: 0a0,0a0,a(a)0 cosx1x2y1y2 (4)、向量ax1,y1,bx2,y2的夹角,则,x12y12x22y22 7、重要结论: (1)、两个向量平行: a//bab(R),a//bx1y2x2y10 (2)、两个非零向量垂直abx1x2y1y20 (3)、P分有向线段P1P2的: 设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1PPP2, xxx1
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