会宁北师大版教材七年级下册第四章《三角形》单元教学设计lv.docx
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会宁北师大版教材七年级下册第四章《三角形》单元教学设计lv
北师大版教材七年级下册第四章《三角形》
单元教学设计
三角形是最基本的几何图形,它不仅是研究其他图形的基础,在解决实际问题中也有着广泛的应用。
探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。
北京师范大学出版社《义务教育课程标准实验教科书》年级下册第四章“三角形”与传统的大纲版教材相比,在教学内容、教学要求上发生了很大的变化。
明确这些变化,对于本章的教学具有重要的作用.本文以北师大版教材为研究素材,结合数学课程标准,对三角形知识在各个学段的呈现方式和编排做细致分析并从以下几个方面做细致的单元教学设计:
一、单元教学要素分析
(一)数学分析:
三角学的起源、形成及发展
培根有句名言:
“读史使人明智”.列宁也曾说过:
“一门科学的历史是那门科学最宝贵的一部分,科学只能给我们知识,而历史却能给我们智慧.”[3]因此了解数学发展的历程,可以使我们更好地理解与运用数学.为了帮助同学们更好地理解三角函数的有关知识,本文将带领大家穿过时光隧道,去体验三角学的发展历程.
1.三角学的起源国外三角学的萌芽
三角学之英语名称Trigonometry,德国数学家皮蒂斯楚斯在1595年出版一本著作《三角学:
解三角学的简明处理》创造了这个新词。
它是由希腊文trigno(三角)和metrein(测量)两个词构成的,古希腊文里没有这个字,原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学,而是依附于天文学。
可以说,三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。
早期三角学不是一门独立的学科,而是依附于天文学,三角学为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要,古希腊人已研究球面三角形的边角关系,掌握了球面三角形两边之和大于第三边,球面三角形内角之和大于两个直角,等边对等角等定理。
印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进,但主要是应用在天文学方面。
总之是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的,其最初的目的是为了改善天文学中的计算。
我国的三角学起源
三角测量在中国也很早出现,公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明,例如它的首章记录“周公曰,大哉言数,请问用矩之道。
商高曰,平矩以正绳,偃矩以望高,复矩以测深,卧矩以知远。
”(商高说的矩就是今天工人用的两边互相垂直的曲尺,商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度)1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章。
2.三角学的形成——弦表的出现
公元前600年左右古希腊学者泰勒斯利用相似三角形的原理测出金字塔高,成为西方三角测量的肇始。
公元前2世纪希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要,作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”,他成为西方三角学的最早奠基者,这个成就也使他贏得了“三角学之父”的称谓。
公元2世纪,希腊天文学家数学家托勒密继承希帕霍斯的成就,著成《天文学大成》13卷,包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式,被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。
约同时代的梅内劳斯写了一本专门叙述球三角学的著作《球面学》,他的工作使希腊三角学达到全盛时期。
3.三角学的独立发展
如果说希腊以来,三角术仅是天文学的附属的话,那么这种情况在中世纪数学家纳西尔·丁那里发生了一些改变。
他的《论完全四边形》是一脱离天文学的系统的三角学专著,使三角学成为一门独立于天文学的纯粹数学分支。
所谓完全四边形,即指两两相交的平面上的四条直线或球面上的四条大圆弧所构成的图形。
该书系统阐述了平面三角学,明确给出正弦定理。
讨论球面完全四边形,对球面三角形进行分类,指出球面直角三角形的6种边角关系(c为直角):
cosc=cosacosb;cosc=ctgactgb;
cosa=cosasinb;cosa=tgbctgc;
sinb=sincsinb;sinb=tgactgb;
他还指出,由平面三角形的三个角,可以求得它的三个边,或由三边去求三个角。
这是平面三角与球面三角相区别的重要标志,至此三角学开始脱离天文学,走上独立发展的道路。
纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪的欧洲三角学传播与发展有着非常重要的作用。
4.现代三角学的定义
研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。
三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础,应用于测量为目的,同时也研究三角函数的性质及其
应用的一门学科。
以下重点分析平面三角学的某些概念。
具体的初中锐角三角函数的定义如下,角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的,所以在初中阶段求锐角的三角函数值,都是通过构造直角三角形来完成的,即把这个角放到某个直角三角形中:
锐角A正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),
余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦(sin)等于对边比斜边:
sinA=a/c
余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c
正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b从而得到特殊角的三角函数值如(表一)
三角函数
锐角α
正弦
sinα
余弦
cosα
正切
tanα
30°
45°
60°
从三角函数的定义可以看出,“比”的关系贯穿了锐角三角形的定义,因此,三角函数的本质应是:
“三角比”。
[4]这是高中三角函数知识的衔接点。
高中讨论的任意角的三角函数定义为在直角坐标系中,在角α终边上任取一点P,作PM⊥x轴于M,构造一个RtΔOMP,则∠MOP=α(锐角),设P(x,y)(x>0、y>0),a的临边OM=x、对边MP=y,斜边长|OP∣=r,根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角a的正弦、余弦、正切三个比值:
主要是以平面直角坐标系中的点位研究工具,因此,点的坐标并不是三角函数的定义中最本质的东西,最本质的是“比”的关系,平面直角坐标系只是研究任意三角函数的定义的工具,既然平面直角坐标系只是研究的工具,那么单位圆也只能算是研究的工具而已。
总之,三角学源于测量实践,其后经过了漫长时间的孕育和众多中外数学家的不懈努力,才逐渐丰富、演变、发展成为现代的三角学,它以三角函数及其应用为主要研究对象.三角函数是数形结合的桥梁,在解决代数与几何问题中都具有重要的作用,它是研究数学问题的基本工具之一.更为重要的是,它是刻画周期现象的重要数学模型,在现实问题中具有广泛的应用.对于等速圆周运动、温度的变化、生命节律、声波、潮汐等周期现象,我们都可以通过建立三角函数模型来加以研究。
5、小学、中学和高中数学教材中三角形内容的联系;
中小学平面几何是数学知识的一大核心部分,而三角形又是平面几何的基础,也是平面几何课程学习的一大重点。
早在小学,学生们就接触过三角形。
小学课本中三角形教学部分刚开始只是提到三角形,让学生从直观上来认识三角形,从日常生活的物体中感受形象的几何图形,并没有确切的三角形定义。
随后,通过感性的认识来接受和认可三角形的基本特征。
初中阶段着重于将图形量化,推理论证,并掌握基本的证明方法。
在高中阶段,教学中注重利用定理来解决一些测量和几何计算有关的实际问题。
三角形不仅是平面几何教学的基础,并且它也是平面几何证明所能提供的最好素材。
对于三角形的知识主要有几个方面:
三角形的概念与基本性质;三角形与三角形之间的关系;有关三角形的逻辑演绎推理;三角形与代数方面的运算;三角形在平面几何学习的应用。
(二)新课程标准中对《三角形》的目标定位分析
《数学课程标准》在空间观念上要求学生“能从复杂的图形中分解出基本的图形。
并能分析其中的基本元素及其关系”。
因此,在几何解题教学过程中,教师要引导学生主动识别、提炼问题的基本图形,其实质是把一个数学问题在剔除无关信息后展现本质结构的过程。
三角形的学习贯穿在整个中小学教学过程中。
仔细观察初中阶段的三角形教学,七年级再一次具体的学习到三角形有关的边,可以理解三角形图形的构成,通过非形式化演绎来得出一些简单的结论,比如两边之和大于第三边。
进一步,学生学习了三角形的内角和,此时学生可以应用定义和简单的结论进行证明。
八年级主要是学习全等三角形及等腰三角形的性质。
三角形的有关结论和定理都是通过非形式化演绎或形式化演绎推理论证得出。
九年级在圆的知识中介绍了三角形的内心和外心,并加以证明。
随后学习了三角形一部分重要内容“相似三角形”。
教材在介绍相似三角形的同时也提醒学生与全等三角形的关系。
依据全等三角形的条件,猜想相似三角形的条件,并一一证明,这培养了学生的演绎推理能力。
最后学习了有关三角形知识与函数联系起来的解直角三角形,进一步研究了直角三角形边与角的关系,并加以推理论证,来得出锐角三角函数。
从这一步一步的学习,不同层度阶段的理解掌握。
三角形的学习随着学生的数学思维水平增加而越难,同时,学生的数学思维水平随着三角形的不断学习而不断提升。
以下主要讨论特殊三角形在初中阶段的运用。
初中阶段学习的三角形主要是特殊三角形(等腰三角形,等边三角形,直角三角形,钝角三角形)。
这四种特殊三角形的定义,性质,判定知识主要有:
(1)等腰三角形
1.两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2.等边对等角;三线合一。
3.等角对等边。
(2)等边三角形
1.三边相等的三角形叫做等边三角形。
2.三个角相等且都是60度;三个三线合一。
3.三个角相等或都是60度;有一个角是60度的等腰三角形。
(3)直角三角形
1.两个锐角互余的三角形叫做直角三角形。
2.斜边上的中线等于斜边的一半;30度锐角所对的直角边等
于斜边的一半;勾股定理。
3.勾股定理的逆定理;直径所对的圆周角是直角。
(4)钝角三角形
由于钝角三角形的高有的在形内,有的在形外,在涉及三角形高的问题中,每个同学都会想到高在内部的情况而许多会忘记高在外部的情况,所以应引起重视,而有关面积的题目绝大多数会涉及到高。
有了前面特殊三角形的基础知识,同学们会在解几何题时有意识的寻找这些基本图形,在可能(有时要连辅助线)有三角形的题目中,首先观察是否有可以利用的特殊三角形,然后引导学生主动找出这些特殊三角形并且进行关注,把它们运用于解题的过程中,在熟练掌握其定义、性质、判定的前提下,对于有关三角形的几何题,不但可以提高解题速度,而且不会少解。
(三)教材比较分析
重点比较北师大版本、人教版、冀教版这三个版本的教材对于三角形不同的定位及设计。
人教版教材七年级下册第7章内容《三角形》共3课,分别是与三角形有关的线段、与三角形有关的角和多边形及其内角和;北师大版教材七年级下册第四章内容《三角形》共5课,分别是认识三角形、图形的全等、探索三角形全等的条件、用尺规作三角形、利用三角形全等测距离;冀教版教材七年级下册第9章内容《三角形》共3课,分别为三角形的边、三角形的内角和三角形的角平分线、中线、高线;
相比较而言,北师大版教材、人教版教材、冀教版教材在内容设置上有相近之处,都是将几何直观与简单推理相结合,体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力,能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式。
三个版本的教材都注重评价方式的多样化以及多种评价方法的运用,包括书面测验、口头测验、开放式问题、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等等。
在条件允许的地方,也可以采用网上交流的方式进行评价。
每种评价方式都具有各自的特点,教师应结合学习内容及学生学习的特点,选择适当的评价方式。
例如,可以通过课堂观察了解学生学习的过程与学习态度,从作业中了解学生基础知识与基本技能掌握的情况,从探究活动中了解学生独立思考的习惯和合作交流的意识,从成长记录中了解学生的发展变化。
北师大版七年级教材第四章《三角形》内容分析:
北师大版教材密切联系学生的现实生活,运用学生关注和感兴趣的实例作为认识的背景,题材丰富多彩,增强了可读性,给学生以“数学好玩”的感觉.如使用场景图、实物照片呈现问题情境,设计带有简单推理的数学游戏对三角形进行分类,运用“图案设计”展示丰富多彩的图形世界,体现了数学的美学价值.教科书还十分注重图形与文字相结合,计算与推理相结合,使教材图文并茂,富有启发性.
教科书除了专门设置利用三角形全等测距离的内容,生动地展现了三角形全等在生活中的应用外,在其他学习内容中也注意选取适当的现实问题,体现三角形的广泛应用,将数学知识的学习和应用紧密结合起来.教师在教学中,除了充分利用教科书中的素材外,还可以结合本地区的实际和学生的特点,创设更多学生感兴趣的情境,以增强学生对数学的兴趣,体会数学与现实的密切联系。
北师大版教材、人教版教材、冀教版教材在内容设置上又有很大的不同,北师大版教材在七年级上册课本中就设置了多边形的概念,角平分线的相关概念及几何语言描述,人教版教材在七年级下册才出现多边形的概念,冀教版教材在七年级下册课本中才出现角平分线的相关概念及几何语言描述。
(四)学生学情分析
学生的知识技能基础:
学生在小学已经学习了有关三角形的一些初步知识,能在生活中抽象出三角形的几何图形,并能给出三角形的简单概念及一些相关概念.但不够严密,教师要在教学中指出,并要相对严密地给出概念.学生在第二章对两直线平行的条件以及平行线的特征进行了探索,使学生具备了利用平行线的结论得出三角形内角和的结论的基本知识和基本技能.学生已经学习并认识了一些图形,大多是通过直观感知、操作确认得到的,此部分的学习让学生通过观察,对图形全等有一个感性的认识。
作为本章第二节课,教科书紧紧抓住学习内容与生活的联系,从学生熟悉的、感兴趣的国旗等这些实物图片与学生熟悉的几何图片的大小、形状切入课题来研究图形的全等,使学生对图形全等有一个感性的认识,知识容量、思维难度不是很大,同时以学生感兴趣的教学活动为主线,从而促进了知识和思维的发展。
学生的活动经验基础:
学生在以前的几何学习过程中,已对图形的概念、线段及角的表示法、线段的测量等有了一定的认识,为认识三角形概念、表示法的学习奠定了基础.在小学学习三角形的内角和的结论时是通过撕、拼的方法得到的,具备了直观操作的经验,同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.
学生在小学阶段结合生活中的实例对三角形已经有了感性的认识,但是对三角形的概念及相关的性质缺乏较为系统的、深刻的、抽象化的理解。
学生在第二章学习“相交线与平行线”的过程中,积累了一些初步的数学活动经验,空间观念、几何直观与推理能力得到了初步的培养,为三角形的学习提供了有利的条件。
但是七年级学生的抽象思维能力、演绎推理能力及使用数学语言、符号表达思维对象和思维结果的能力还未达到一定的水平,需要逐步地、渐进地、耐心地培养。
(五)重点难点分析
在北师大版教材七年级数学下册第四章《三角形》中,
本章的重点是:
1、经历探索、验证“三角形内角和等于180°”的活动过程,获得一定的推理活动经验;能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题;
2、能运用直角三角形两锐角互余的性质解决简单的问题;会按角的大小关系对三角形分类,让学生认识等腰三角形,会按边对三角形分类并掌握三边关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题
3、三角形中的三条重要线段——中线、角平分线和高线的定义以及特点和画法,
4、了解三角形的稳定性和经历探索三角形全等条件的过程,掌握三角形全等“边边边”、“边角边”、“角角边”、“角边角”的条件,并能应用这些条件解决一些实际的问题。
5、能利用所探求的三角形全等的条件“边边边”,“角边角”,“角角边”,“边角边”来测距离;在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,
6、能够利用尺规作出三角形,并能用自己的语言表述作图的过程。
学生在本学段完成后会书写“已知、求作和作法”。
能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性。
本章的难点是:
1、三角形内角和定理的证明;
2、三角形高线的定义及做法,尤其是钝角三角形三条边上高线的做法及特点;
3、三角形全等“边边边”、“边角边”、“角角边”、“角边角”的条件,并能应用这一条件解决一些实际的问题;
4、在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形,并能用自己的语言表述作图的过程。
(六)教学方式分析
重视学生的主体地位,爱护、信任、尊重学生,以平等、民主的态度对待学生,把课堂教学活动时间多交给学生,把课堂教学活动的内容多留些给学生处理解决,及时了解、承认并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需求。
教科书在为学生呈现生动有趣的问题情境的同时,设计了测量、拼图、折纸等多种形式的活动,提供了学生观察、操作、推理、交流的平台,给学生充分实践和探索的空间,目的是使学生通过自己的探索和与同伴的交流发现三角形的有关结论,解决一些实际问题,为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发展提供机会,同时,生动有趣的三角形应用的例子贯穿于整章内容中。
1、满足多样化的学习需要;学生在学习上的个体差异是客观存在的,主要表现为认知方式与思维策略的不同,以及认知水平和学习能力的差异.教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要.教材在保证基本要求的同时,也为有更多学习需求的学生提供了有效的途径.在教学内容的呈现上,注意设计开放性的问题或问题串,使每一位学生都能参与,不同的学生获得不同的发展.例如,在设计图案的过程中,提倡学生充分发挥自己的想像能力,按照自己的设计原则制作出既符合要求又具有个性的图案;在推理形式的表述上,并不苛求表达形式的统一,鼓励学生运用自己的语言表达理由.在习题的设置上分为两类,一类是面向全体学生的属于基本要求,另一类则仅仅面向有特殊学习需求的学生,属于较高层次的要求,不要求全体学生都去完成.教学中要鼓励并提倡解决问题策略的多样化,尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平.问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题的策略,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,丰富数学活动的经验,提高思维水平.
2、注重知识的形成过程;空间观念的发展需要学生亲自经历观察、操作、想象、推理与交流等数学活动.在本章内容的教学中,应充分利用教科书提供的素材和活动,鼓励学生经历必要的探索过程,运用多种方式探索三角形的有关性质.
案例:
已知两边及一角的判定方法.
提出问题:
如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢?
每种情况下得到的三角形全等吗?
引导思考:
在此之前已经研究了Sss、ASA、AAS,继续研究“两边及一角”问题是十分自然的.学生对于先画图、再比较,然后归纳的研究思路也是清楚的.
3、适度培养学生的推理能力;本章教材将直观操作与简单推理相结合,通过推理意识的建立和对推理过程的理解,注重运用自己的方式有条理地表达推理过程.这是第三学段“空间与图形”内容中发展推理和论证能力的第一阶段,对推理能力的要求不宜拔高.教学时应从以下两个方面培养学生的推理能力:
(1)在探索图形性质的过程中,培养学生提出问题的能力和解决问题的策略.引导学生经历操作、猜想、说理等数学活动,在活动中自觉地思考、提出问题,并尝试解决问题,把对推理能力的培养有机地融合在这样的过程之中.例如,在探索“三角形内角和为180°这个结论时,学生在小学已经通过操作获得了结论,此时应引导学生在操作中进行自觉地思考,看能否利用平行线的有关事实说明这个结论,寻求新的解决策略。
(2)在计算和说理的过程中,培养学生有条理地思考和有条理地表达的能力.引导学生理清思考过程中每一个判断的理由和依据,使得思考过程变得清晰而有条理,从而做到言之有理、落笔有据;在书写格式上不作统一要求,既可以用自然语言,也可以在图中进行标示说明,或者利用箭头等形式表示自己的思路,但必须要求能够说明问题.对于“说理”的学习,应循序渐进,注意控制难度.
在本章的学习中,观察、测量、动手操作等活动是重要的,它的重要性不仅仅在于发现三角形的有关性质,不仅在于探索到三角形全等的条件,更重要的是要通过这些活动发展学生的空间观念、几何直观,积累数学活动经验。
教学过程中不仅需要自主探索、亲身实践,通过共同探究、合作解决问题,学生可以更清楚地明确自己对空间的看法,并有机会分享各自的想法.
二、单元教学目标分析
本单元这一结构是一种专题式设计,把本主题单元设计成四个专题来组织教学.专题一:
认识三角形,认识与三角形有关的线段.要求学生会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.会画出任意三角形的高、中线、角平分线.了解三角形的稳定性及其应用;专题二:
图形的全等.重点掌握三角形全等的条件;会判断两个三角形全等,专题三:
利用三角形全等测距离.对三角形全等这一知识进一步的应用.这四个专题的确定是源于教材,且覆盖了教材的全部要求.
(一)本单元教学目标
1.在探索图形性质的过程中,经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,积累数学活动经验,进一步发展空间观念和推理能力。
2.理解三角形及其内角、中线、高线、角平分线等概念,探索并掌握三角形的内角和及三角形三边之间的关系,了解三角形的稳定性。
3.了解图形的全等,理解全等三角形的概念,经历探索三角形全等条件的过程,掌握两个三角形全等的条件,能应用三角形的全等解决一些实际问题。
4.在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形。
5.尝试用多种方式表达自己的想法,表述问题解决的理由,发展初步的演绎推理能力和有条理表达的能力。
6.感受数学与现实世界的密切联系。
(二)三维目标分析
知识与技能:
1.探索并证明三角形内角和定理。
证明三角形的任意两边之和大于第三边。
2.理解三角形及其内角、中线、高线、角平分线等概念,了解三角形重心的概念。
了解三角形的稳定性。
3.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。
4.探索三角形全等的条件,熟练判断两个三角形是否全等
5.学会用尺规作三角形
6.会利用三角形的全等测距离,解决实际问题。
过程与方法:
通过学习丰富了对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展了形象思维,初步建立数学化归的思想.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展推理能力和清晰地表达自己的想法.在解决问题的过程中,增强应用意识.
形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新意识.
情感态度与价值观:
在自主参与、合作交流的活动中,养成了反思质疑等学习习惯。
体验成功的喜悦,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.通过体验抽象的数学来源于生活,同时又服务于生活。
增强了学习数学的兴趣及对生活的热爱.
三、单元教学流程分析
(一)单元教学阶段规划
教科书安排了5节内容:
第一节“认识三角形”,介绍三角形的有关概念、符号表示、三角形的重要线段及三角形三边关系、内角和等基本关系。
第二节“图形的全等”、第三节“探索三角形全等的条件”,在认识全等图形的基础上,理解全等三角形的概念和性质,通过所设计的一系列的实践活动,探索三角形全等的条件。
第四节“用尺规作三角形”和第五节“利用三角形全等测距离”,安排用尺规作三角形和利用三角形全等测距离,体现全等三角形的应用。
在内容呈现方式上,综合考虑学生年龄状
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