数学归纳法及其应用举例教学设计教案.docx

数学归纳法及其应用举例教学设计教案.docx

《数学归纳法及其应用举例教学设计教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法及其应用举例教学设计教案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学归纳法及其应用举例教学设计教案

　数学归纳法及其应用举例

课时安排

5课时

从容说课

在数学中常常是从已知条件或者定义、公理、定理出发,通过逻辑推理,从而使新的结果获得证明.常用的数学证明方法可以分为演绎法和数学归纳法两大类.演绎法有下面两种形式：

（1）直接证法.它的格式可以写成“因为……所以……于是……从而……这就证明了所需的结果”.

（2）间接证法.常用的是反证法.它的格式写成“假设所需要的结果不成立,则……于是……从而……这就导出矛盾,因此所需要的结果成立”.反证法有时要与穷举法结合起来运用,即将所需要的结果的反面的所有情况一一列出,然后分别导出矛盾.一般说来,凡能用直接证法证明的命题,一定可以用反法证来证明,反过来也对.

数学归纳法有两种——有限数学归纳法和超限数学归纳法.在现行高三数学选修教材中学生学习有限数学归纳法（即具体的k都是有限的正整数）,简称数学归纳法.

数学归纳法的原理是什么？

运用时要注意哪些问题？

这一点在教学中应值得广大教师高度重视.

数学归纳法的原理是裴雅诺（Peano,1858年~1932年,意大利数学家）公理,其中有一条公理叫做归纳公理：

“如果某一正整数的集合M含有1,而且只要M含有正整数k,就一定含有k后面紧挨着的那个正整数k+1,那么M就是正整数集本身.”

现设P（n）是一个与正整数n有关的命题,用M表示使P（n）成立的正整数的集合.由数学归纳法的第一个步骤可知命题P

（1）成立,所以M含有1.再由数学归纳法的第二个步骤知当假设了n=k时命题P（k）成立后,可以推出n=k+1时命题P（k+1）也成立；换句话说,只要M含有正整数k,就一定含有k后面紧接着的那个正整数k+1.因此,根据归纳公理,M就是正整数集本身,即命题P（n）对于所有正整数都成立.

数学归纳法的两个步骤缺一不可.根据实际问题确定使命题成立的第一个正整数可能是1,也可能是2、3等等.要确切理解命题P（n）中正整数n在各种实际问题中分别代表什么.在完成第二个步骤时,要运用命题P（k）成立到P（k+1）成立这一归纳假设去推导命题P（k+1）也成立.不能离开P（k）成立这一条件,用其他方法导出P（k+1）成立的结果,因为这样做,就看不出P（k）成立到P（k+1）成立这一递推关系了.有的学生在实施数学归纳法的第一步时,对只验证n取第一个值时命题成立觉得不够放心,又验证了n取下一个值时命题也成立（如证明了当n=1时命题成立后,又去证n=2,3等情况时命题也成立）,这是没有必要的.

在本节教学中要注重数学与文化的教学,让学生充分认识到数学中处处有人文精神,鼓励学生探索创造,充分体现课程改革的精神.

第一课时

课　　题

　数学归纳法

（一）

教学目标

一、教学知识点

1.理解数学归纳法原理及证明问题的步骤.

2.了解归纳法的分类：

不完全归纳法与完全归纳法.

3.数学归纳法中递推思想的理解.

二、能力训练要求

1.能区分不完全归纳法与完全归纳法；学会由特殊到一般的思维方式.

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

三、德育渗透目标

1.学习数学归纳法,不仅能证明有关问题,更重要的是可以开阔学生的眼界,还可以使他们受到推理论证的训练.

2.培养学生分析问题、解决问题的能力,同时,也让学生感受到数学文化的熏陶,培养学生的科学文化素质（包括数学素养）.

3.培养学生的辩证唯物主义观点,由感性认识上升到理性认识.

教学重点

数学归纳法原理及其简单的应用是本节课的教学重点,数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种非常重要的方法,它的地位和作用：

中学数学中的许多重要结论,用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的掌握深化一步.

教学难点

对数学归纳法原理的了解,关键是讲清数学归纳法的两步骤及其作用,数学归纳法的基本思想,即先验证使结论有意义的最小的正整数n0,如果当n=n0时,命题成立,再假设当n=k（k≥n0,k∈N*）时,命题成立（这时命题是否成立不是确定的）,根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,…,命题都成立,这是问题的重点和难点.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.数学归纳法的原理是很抽象的,但又与生活中的许多实例是相关的,可以列举大量的实例让学生感受或进行实验,即从做中学,从而上升到理性认识,这就需要抽象概括的能力.于是学生就主动建构了数学归纳法的原理和解决问题的两个步骤.这样课堂教学方法不仅突破了教学的难点,同时也解决了数学课堂枯燥无味的感觉,培养了学生观察社会、热爱生活,真正发挥数学的文化教育功能.

教具准备

1.实物投影仪（或幻灯片、幻灯机）、多媒体课件（游戏：

多米诺骨牌）

2.准备一袋红球（18个）

教学过程

Ⅰ.课题导入

最近,我们不少中学生在人民路与竹辉路的十字路口处记录着有关数据,经了解,他们是为该市整体改造、马路拓宽而统计车流量问题,然后交给有关部门,进行归纳提出科学研究方法.科学研究领域中,常用下列模式：

数学发展的长河中,古希腊数学家毕达哥拉斯有关“三角数”的问题.

（打出幻灯片,或多媒体课件）显示：

［师］a1,a2,a3,a4分别是多少？

［生］a1=1,a2=3,a3=6,a4=10.

［师］a8等于多少？

［生］让我算一下.a5=10+5=15,a6=15+6=21,a7=21+7=28,a8=28+8=36.

［师］a100=?

一般地an=?

［生］（嗯）这个……这个需要研究它们的规律,归纳出它的公式,有了,a1=1,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+2+3+4,…,an=1+2+3+…+n=

就是我们高一时学过的前n个正整数的和公式.

［师］刚才这位同学从几个特殊情况归纳出一般的情况,这种方法,就是我们今天学习的课题：

归纳法.（板书）

Ⅱ.讲授新课

［师］请看下面几个问题,并由此思考什么是归纳法,归纳法有什么特点？

（打出幻灯片或课件）

问题1：

这里有一袋球共18个,我们要判断这一袋球是红球,还是白球,请问怎么办？

［生］把它们倒出来看一看就可以了.

［师］方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.顺序操作怎么做？

［众生］（齐声回答）一个一个摸,摸出一个看一个.

［师］对.问题的结果是什么呢？

哪一位同学上来演示呢？

［生］（对于平时不爱思考,但好奇心又很强的学生,我们教师要保护他们的积极性）我来摸！

请同学们为我记录.第一个红球,第二个红球,第三个红球,…,第十七个红球（这时,他拿出第18只球不放开,让同学们去猜,逗同学们笑！

）第十八只也是红球,由此得到：

这一袋球都是红球.

［师］再看问题2：

已知函数

x1=1,xn=f（xn-1）（n≥2,n∈N*）,则x2,x3,x4的值分别为多少？

再推测通项xn的公式.（打出幻灯片）

［生］

由此得到

.

［师］同学们解决以上两个问题用的都是归纳法,你们能说说什么是归纳法,归纳法的特点是什么吗？

［生］归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点是由特殊→一般.（板书）

［师］很好！

其实在中学数学中,归纳法我们早就接触到了.例如,高一年级我们在学习数列时,经常遇到给出数列的前几项,求它的一个通项公式,我们用的方法就是归纳法,确定等差数列、等比数列的通项公式,用的也是归纳法,今后的学习中还会看到归纳法的运用.

在生活和生产实践中,归纳法也有着广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测、水文预报,用的就是归纳法.你们看上述两个问题区别在什么地方？

［生］问题1中,一共18个球,全看了,由此得到了结论.问题2,由于自然数有无数个,不可能一一去计算出,这要靠猜想,是依靠前4项体现的规律,进行推测.问题1是全部归纳,而问题2没有完全归纳.

［师］你能给这两种不同的归纳法命名吗？

［生］把研究对象一一都考查后而推出结论的归纳法称为完全归纳法.根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.（板书）

［师］由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,分为不完全归纳法和完全归纳法.

不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时,在考察了n=1,2,3,4几种特殊情形后得出的一般公式,就是作的一种不完全归纳.我们已经知道,不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立,所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到,不完全归纳法是研究数学的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中,为了寻求一般规律,往往先考察一些特例,通过对这些特例的不完全归纳形成猜想,然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索,对提高我们的数学能力十分重要.

完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同的是,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法.

我们来看问题3：

已知f（n）=-n2+5n-3,证明：

当n是不大于4的正整数时,均有f（n）＞0.（放幻灯片）

［生］由于不大于4的所有正整数是1,2,3,4,所以要证明命题在n为不大于4的正整数时均成立,只要证明命题在n=1,2,3,4时均成立即可.

算得f

（1）=-12+5×1-3=1,

f

（2）=-22+5×2-3=3,

f（3）=-32+5×3-3=3,

f（4）=-42+5×4-3=1.

由于以上4个函数值均是正数,所以我们就证明了当n是不大于4的正整数时,均有f（n）＞0.

［师］他是运用的是什么方法证明此命题的？

［生］他是利用完全归纳法证明的.

［师］你能举出以前学过的内容（包括初中内容）中,所涉及到的完全归纳法吗？

（给学生一点思考、讨论的空间）

［生］学习不等式性质定理5时,我们是用反证法,在反证法中又运用完全归纳法即对

与

这两种情况都进行了讨论,最后得出矛盾.

［生］我们在初中证明圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）时,是分成三种情况讨论的,由于分别证明了当圆心的位置在圆周角的外部、角的一条边上、角的内部时命题都成立,从而证明了圆心角处于任一位置时命题成立.

……

［师］很好！

我们看到,这些例子正是运用完全归纳法来证明命题成立.用不完全归纳法又可以推测命题,推测是要有点勇气的,请大家鼓足勇气研究问题4.（放出幻灯片）

比较2n与n2+2（n∈N*）的大小.

（给出一定的计算、思考时间,鼓励学生大胆猜想！

）

［生］经过计算,我的结论是：

对于任意n∈N*,2n＜n2+2.

［师］你计算了几个数而得到此结论的？

［生］4个.

［师］你算了n=1,n=2,n=3,n=4这4个数,而得到结论,是吧？

［生］对.

［师］有没有不同意见？

［生］我计算n=5,6,7,8时,又出现了2n＞n2+2,而不是2n＜n2+2.他的结论肯定不对.

［师］那你的结论是什么呢？

（动员大家思考,纠正）

［生］我的结论是：

当n=1,2,3,4时,2n＜n2+2；当n=5,6,7,8,…时,2n＞n2+2.

［生］我不是计算的,而是利用函数图象看出来的！

图2－1

结论同上面一样.

［师］你是怎样作出图象的呢？

［生］在坐标系内作出函数y=2x与y=x2+2的图象.（这时该生自己走到黑板前,拿起直尺画出了两个函数的图象）当x≥5时,函数y=2x的图象都在抛物线y=x2+2的上方.

于是当n≥5时,2n＞n2+2.

［师］好！

从图象上可以看出,当n依次取1,2,3,4,5,…变动时,相应的2n的值以一个是前一个的2倍的速度在增加,而n2+2相应值的增长速