第四讲 约数与倍数.docx
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第四讲约数与倍数
约数与倍数
一、约数与倍数的基本概念:
1、约数和倍数的定义:
如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。
2、最大公约数的定义:
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。
例如:
(8,12)=4,(6,9,15)=3。
3、最小公倍数的定义:
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如:
[8,12]=24,[6,9,15]=90。
4、求两个数的最大公约数一般有三种方法:
①分解质约数法②短除法③辗转相除法。
5、最小公倍数一般有三种方法:
①分解质约数法②短除法③a×b=(a,b)×[a,b]。
其中辗转相处法的步骤如下:
辗转相除法:
用较小的数去除较大的数,如果整除,那么较小的数就是所求的最大公约数;如果有余数,则用余数去除刚才的除数,如果再有余数,再用余数去除新的除数。
以此类推,直到最后一次能整除为止。
这时,作为除数的数就是所求的最大公约数。
【定理1】两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。
即如果(a,b)=d,那么(a÷d,b÷d)=1。
【定理2】两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
用字母表示:
[a,b]·(a,b)=a·b
【定理3】两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
注意:
求一组分数的最大公约数与最小公倍数:
先将各个分数化为假分数;求出各个分数的分母的最小公倍数a;求出各个分数的分子的最大公约数b;
即为所求。
例如:
求一组分数的最小公倍数方法步骤:
先将各个分数化为假分数;求出各个分数分子的最小公倍数a;求出各个分数分母的最大公约数b;
即为所求。
例如:
〖经典例题〗
例1、把20个梨和25个苹果平均分给小朋友,分完后梨剩下2个,而苹果还缺2个,一共最多有多少个小朋友?
例2、现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?
例3、甲数是36,甲、乙两数最大公约数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少?
例4、已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。
〖方法总结〗
这几个题目是【定理1】和【定理2】的直接应用。
知道了最大公约数后,我们可以设出这几个数,然后再根据互质的关系确定出几组符合题意的解来。
别忘了最后要乘以最大公约数。
这两个定理应用非常广泛,一定要认真体会。
〖巩固练习〗
练习1:
甲数和乙数的最大公约数是6,最小公倍数是90,且小数不能整除大数,这两个数分别是多少?
练习2:
如果甲乙两数的最大公约数是6,最小公倍数是90,如果甲数是18,那么乙数是多少?
练习3:
小文和小佩计算甲、乙两个自然数乘积时,小文把甲数的个位数字看错了,得到结果是473;小佩把甲数十位数字看错了,得到结果407,那么甲、乙两个数分别是?
练习4:
一次考试,参加的学生中有
得优,
得良,
得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满50人,那么得差的学生有人。
分析:
7,2,3的最小公倍数为42(小于50人),所以参加的学生总数为42人。
答案为1人。
练习5:
动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒;如只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给第三群,则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得多少粒?
〖经典例题〗
例4、已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公约数的差为114,求这两个自然数。
例5、两个自然数的差是21,它们的最大公约数与最小公倍数的和是287,那么这两个数的和是多少?
例6、(★★★)设a和b为两个不相等的自然数,如果它们的最小公倍数是72.那么a和b之和可以又多少种不同的值?
〖方法总结〗
和上个例题不同的是,这两个题中不知道最大公约数,但是两个数的和与差,最小公倍数以及它和最大公约数的和与差都是最大公约数的倍数。
利用这个特点我们可以找出最大公约数的范围,但要注意:
我们此时求出的公约数d并不是题中这两个数的最大公约数,而是最大公约数的倍数,因此我们要分情况讨论。
〖巩固练习〗
练习1:
已知两个数的差为48,最小公倍数为60,求这两个数。
练习2:
两个自然数的和是60,它们的最小公倍数与最大公约数的和是84,则这两个数分别是多少?
练习3:
已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。
练习4:
三个连续自然数的最小公倍数是9828,那么这三个自然数的和等于多少?
练习5:
(★★★)已知m、n两个数都是只含质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知m有12个约数,n有10个约数,求数m与n的和。
二、约数个数以及约数的和:
1、约数的个数:
一个合数的约数的个数是在严格分解质约数之后,将每个质约数的指数(次数)加1后所得的乘积。
2、约数的和:
约数的和是在严格分解质约数后,将M的每个质约数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积。
3、约数的积:
(★★★)设M的约数个数为x个,那么M所有约数的积为
。
(如果是完全平方数,先开方求得值为A,再计算
的值,即为所求)。
如:
21分解质约数为3×7,所以有(1+1)×(1+1)=4个,所以21的所有约数的积为
=441。
又如:
9分解质约数为
,所以有(1+2)=3个约数,为完全平方数,9开方为3,所以9的所有约数的乘积为
=27。
〖经典例题〗
例1、按要求分别求出下列问题的解:
(1)2520的约数有多少个?
(2)在840的所有约数中,有多少个是三位数?
(3)
的约数有多少个?
例2、试求下列各数奇约数的个数。
(1)90;
(2)
〖方法总结〗
这两个例题中并不是简单的求一个数的约数的个数,要注意的是约数是“成对”出现的,这个思想我们以后也会经常用到。
当要求的是奇约数时,就要去掉含有2的约数。
所有的这些都建立在一个基础上,就是完全分解质因数。
〖巩固练习〗
练习1:
360的约数有多少个?
练习2:
求720所有三位的约数的个数。
练习3:
已知a(自然数)有两个约数,那么5a有多少个约数?
练习4:
求520和1224的奇约数的个数。
〖经典例题〗
例3、求:
(1)360的所有约数的和;
(2)360的所有3的倍数的约数的和。
〖方法总结〗
本题是利用约数求和的公式,这时我们要懂得约数求和公式的由来,只有这样,我们才能够遇到不同的题目灵活的运用求和公式,如本题中的第二小题,在学习工程中要大好基础。
〖巩固练习〗
练习1:
28的所有约数之和是多少?
练习2:
(1)520的约数中,有多少个是4的倍数。
(2)1224的约数中,有多少个是12的倍数。
〖经典例题〗
例4、请写出一个自然数,它的所有的约数的和恰好是78.
例5、一个合数恰有12个约数,满足这样条件的最小数是多少?
〖方法总结〗
这两个例题是我们前面学过的两个公式的逆用,我们要朝着公式的“模样”去分解质因数,要注意a、b、c都是质数,然后根据范围确定出结果。
〖巩固练习〗
练习1:
请写出一个自然数,它的所有约数的和恰好是28.
练习2:
含有6个约数的两位数有多少个?
练习3:
100以内有10个约数的最小数是几?
〖经典例题〗
例6、有6个自然数排成一排,他们的平均数是4.5,前四个平均数是4,后3个数的平均数是
,这6个数连乘积最小是多少?
例7、一张纸片,第一次将其撕成4小片,以后每次将其中的一片撕成更小的四小片,如此进行下去,试问:
(1)撕5次,8次,10次后各有多少张纸片?
(2)能否将纸片撕成1996片?
为什么?
例8、有三个连续的偶数,其中最小的自然数是15的倍数,最大的是19的倍数,另一个是17的倍数,且使这三个数和最小,那么满足条件的三个数是多少?
〖方法总结〗
这几个例题是约数与倍数的实际应用了,我们要根据题意确定出题目所说的本质是什么,千万别被题目“忽悠”了。
〖巩固练习〗
1、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳
米,黄鼠狼每次跳
米,它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔
米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
2、大雪后的一天,李佳和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和步行的方向完全相同,李佳每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两人的脚印有重合,所以各走完一圈后,雪地上留上了60个脚印,求圆形花圃的周长。
3、M,N是互为反序的两个三位数,且M〉N,如果M,N的最大公约数是7,M与M-N的最大公约数是多少?
如果M,N的最大公约数是21,求M。
4、有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后3人又可以相聚?
〖课后作业〗
1、分别求出上面的数有多少个正约数,并求72所有正约数的和。
2、
(1)把40、44、45、63、65、78、99、105这8个数平分成两组,使得每组四个数的积相等。
(2)二十几个小朋友围成一圈,从1开始按顺时针方向一圈一圈地连续报数,如果报6和2008的是同一个人,那么共有多少个小朋友?
(3)约数个数是8的两位数有哪些?
(4)一个自然数有12个约数,且它能被3和25整除,这个自然数最小是多少?
3、
(1)要使975×935×972×()这个乘积的最后四位数字都为“0”,则()内填入的最小值是多少?
(2)将1至100这100个自然数相乘,试求所得乘积尾部零的个数。
(3)1×2×3×……×99×100=
·M,其中M为自然数,n是使得等式成立的最大自然数。
求n的值,并说明M能否被2或3整除。
(4)若x、y、z、w是四个互不相等的自然数,且它们之积为1998,试求x+y+z+w的最大值。
4、从1、2、3、……、100这100个数中取出不同的两个数,要使取出的这两个数的和是3的倍数,共有n种取法,那么n的约数共有()个。
5、
(1)四个不同的非零自然数的和是1111,那么这四个数的最大公约数最大是多少?
(2)如图:
街道ACB在C处拐弯,AC=715米,CB=520米,在街道的一侧等距离的安装路灯,并且要求A、B、C处必须各安一盏灯,问这条街道最少装多少盏灯?
6、爷爷现在的年龄是明明现在年龄的7倍,再过若干年,爷爷的年龄分别是明明年龄的6倍、5倍、4倍、3倍。
那么爷爷现在多少岁?
7、
(1)两个整数A、B的最大公约数是C、最小公倍数是D,并且已知C不等于1,也不等于A,也不等于B。
C+D=187,则A+B=()。
(2)已知两数差是2,他们的最大公约数与最小公倍数之差是142,这两个数分别是多少?
8、一个数乘2是4的倍数,乘3是9的倍数,乘4是16的倍数,乘5是25的倍数,乘6是36的倍数,乘7是49的倍数,乘8是64的倍数,乘9是81的倍数.这个数最小是?
9、在一根长木棍上,有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种刻度线把木棍分成12等份,第三种刻度线把木棍分成15等份,如果沿每条刻度线把木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
10、甲、乙两个自然数的最大公约数是7,并且甲数除以乙数所得的商是l
.乙数是_____.
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