高中数学构造正方体解题.docx
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高中数学构造正方体解题
高中数学:
构造正方体解题
一、将正四面体补成正方体
例1 如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥P—DCE的外接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
根据题意折叠后的三棱锥P—DCE为正四面体,且棱长为1。
以此正四面体来构造正方体,使正四面体的各棱分别是正方体各面的对角线,如图2。
则正方体的棱长为
,正方体的对角线也即正方体外接球的直径的长为
。
又正方体的外接球也为正四面体的外接球,所以外接球的半径为
。
所以,
故选C。
二、将三棱锥补成正方体
例2 如图3,l1、l2是相互垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段。
点A、B在l1上,AM=MB=MN。
(I)证明AC⊥NB;
(II)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值。
解析:
(I)证明略。
(II)由(I)及∠ACB=60°,可知NA、NB、NC两两垂直且相等,故可将三棱锥C—ABN补成正方体NASB—CQPR,如图4所示。
连结PN,由RN⊥BC,知PN⊥BC。
同理,PN⊥AC。
所以PN⊥平面ABC。
设垂足为O,则∠OBN就是NB与平面ABC所成角。
设正方体棱长为1,则
由sin∠OBN
,得cos∠OBN=
三、将三棱柱补成正方体
例3 如图5,在直三棱柱
中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点。
(I)证明:
ED为异面直线BB1与AC1的公垂线;
(II)设AA1=AC=
,求二面角A1—AD—C1的大小。
解析:
(1)证明略。
(2)由题设AA1=AC=
,可知
为正方形,∠ABC=90°。
将棱柱补成正方体,如图6所示。
易知所求二面角
恰是二面角
的一半。
作正方体的截面
。
由图知
,
,所以
。
同理,
。
于是∠
是二面角
的平面角的补角。
而△
是正三角形,∠
=60°,故二面角
为120°,从而二面角
是60°。
四、由共点且两两垂直的三条相等线段构造正方体
例4 如图7,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90o,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
。
(I)求四棱锥S—ABCD的体积;
(II)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
解析:
延长AD到E,使DE=AD,以AE、AB、AS为棱构造正方体,如图8所示。
则有:
图8
(I)
(II)延长CD、BA相交于F,连结SF,易知SF//AB'。
又可知AB'⊥面CBS,所以SF⊥面SBC,故∠BSC为面SCD与面SBA所成的角。
在直角△SBC中,SB=
从而tan∠BSC=
五、由共边且互相垂直的两个正方形面构造正方体
例5 如图9,正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。
(I)求MN的长;
(II)当a为何值时,MN的长最小;
(III)当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小。
解析:
(I)与(II)略。
(III)以正方形ABCD、ABEF为相邻面构造正方体如图10所示,面MNA与面MNB所成的角,即面ACE与面CF'E所成的角的补角(因为面MNB//面CF'E)。
在正四面体ACEF'中,易求相邻面所成的二面角的余弦为
。
所以二面角A—MN—B的平面角为
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