数值分析第一次作业及参考答案.docx
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数值分析第一次作业及参考答案
数值计算方法第一次作业及参考答案
1.已测得函数yf(x)的三对数据:
(0,1),(-1,5),(2,-1),
实际演算中可列一张差商表:
xi
yi
一阶差商
二阶差商
0
1
-1
5
-4
2
-1
-2
1
3)用对角线上的数据写出插值多项式
P2(x)1(4)(x0)1*(x0)(x1)x23x1
2.在4x4上给出f(x)ex的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使
截断误差不超过106,问使用函数表的步长h应取多少解:
f(x)ex,f(k)(x)exe4,x[4,4],考察点x0h,x0,x0h及xx0th,t1.
解:
作辅助函数g(x)
的关于g(xi)的函数表。
f(x)1,则问题转化为x为多少时,g(x)0.此时可作新
由f(x)单调连续知g(x)也单调连续,因此可对g(x)的数值进行反插。
的牛顿型插值多项式为
xg1(y)0.110.097345(y2.23)0.451565(y2.23)(y1.10)
0.255894(y2.23)(y1.10)(y0.17)
故xg1(0)1.321497.
求一个次数不高
5.设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法
误差估计式。
6.设函数yf(x)在节点x0,1,2,3的函数值均为零,试分别求满足下列边界条件下的三次样条插值函数S(x):
(1)f'(0)1,f'(3)0
(2)f''(0)1,f''(3)0
解:
(1)取xi处的一阶导数mi作为参数,i1,2。
由于
1
1i2,gi3(if[xi1,xi]
以及由三转角方程imi12miimi1gi,i1,2
x(x1)(1511x)/15,
x
[0,1]
故
S(x)(x1)(x2)(73x)/15,
x
[1,2]
2
(x3)2(x2)/15,
x
[2,3]
2)取x
i处的二阶导数Mi作为参数,i1,2。
由于
解之可得m14/15,m21/15
hi11
hi1hi2
i
2,di6f[xi1,xi,xi1]0
以及由三弯矩方程
11
M02M1M20
iMi12MiiMi1dii1,2
22
11
M12M2M30
21223
x(1x)(19x26)/90,x[0,1]故S(x)(x1)(x2)(5x12)/90,x[1,2]
(3x)(x2)(x4)/90,x[2,3]
7.编程实现题:
略。
8、试求f(x)sinx,x[0,]最佳一次一致逼近多项式。
2
解:
因为f''(x)sinx在[0,/2]内不变号,故最佳一次一致逼近多项式为
P1*(x)[f(0)f(x1)]/2a1(xx1/2)
式中a1
f(/2)f(0)20.63661977a1
/201
f'(x1)cosx1
x10.88068924
从而
P1*(x)
(sinx1)/2a1(xx1/2)0.105256830.63661977x
9、给定f(x)x4x31,试利用最小零偏差定理,即切比雪夫多项式的最小零偏差性质,
在[0,1]上求f(x)的三次最佳一致逼近多项式。
(T2(x)2x21,T3(x)4x33x,T4(x)8x48x21)
解:
令t2x1
f(x)f(t21)(t21)43(t21)3
1.
设P3*(x)为f(x)在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式,
由于f(t1)的首项系
1
数为214,故
t1
16[f(t12
P3*(t1
P3*(x)
3x3
10、设1span1,x,
x2C[0,1]的最佳平方逼近,
解:
(1)设1*
a0
a1x
因(0,
0)
112dx
0
(1,
1)
x2dx
0
(f,
0)
12
x
0
1dx
a0
1*
12a*0
122f
1*
2a1
1*
13a1*
1
2
2
1
3
1
4
ak*(f,
*t1
)P3*(t1
)(
(x4
1
2
t21)3
1
168
2)]41T4(t)
t21)4(
11
168
42
(8t48t21)
3x31)
1
x
4128
129
100101
spanx,x
并比较其结果。
1,(0,
1,
3,
1
3
a0
k)
a1
[8(2x
x[0,1]
,分别在
1)
0)
(f,1)
0.00556
1)48(2x1)21]
1、
2上求一函数,使其为
1
xdx
0
1,
2,
12
x
1,
2,
xdx
1(x)
1,
4,
(2)设*2(x)b0*x100
b1*x101
1
11002
0(x100)2dx
1
1012(x)dx0
1
201
1*b0*2020
b0
2(x)
22
22f22
1b1*
2021
1*b1*2031
1,(,),(0,1)201
1
(f,0)
203
1
103
1
b0
b1*
(1,0)
1
102
xdx0
1
1100
x
0
1,
103,
375.24253
375.14825
1011
xdx,
202
1
x
0
(f,1)
103dx
104
104
375.24253x100
1
bk*(f,k)
k0
375.14825x101
14
x
0
dx[375.24253
103
375.14825
1014]
0.16406
由结果知
(1)比
(2)好。
误差。
xi
19
25
31
38
44
yi
解:
44
因
0(x)
1,1(x)x2.有(0,
0)
02(xi)125
i
0i0
4
4
(
0,1)
(1
0)0(xi)
1(xi)
2
xi25327,
i0
i0
4
4
(
1,1)
1(xi)1(xi)
xi47277699,
i0
i0
4
4
(
0,y)
0(xi)yiyi
271.4,
i0
i0
4
4
(
1,y)
1(xi)yixi2yi
369321.5,
i0
i0
5a
5327b271.4
a0.9726045
5327a7277699b369321.5b0.0500351
2
y0.97260450.0500351x2.
22y22a(0,y)b(1,y)0.016954.
0.130207526.
逼近多项式。
(参考讲义与参考书)
解:
构造正交多项式
13、求f(x)ex在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。
(参考讲义与参考书,利用
Legendre正交多项式)
解先计算(f,Pk)(k0,1,2,3)。
1x1
(f,P0)1exdxe2.3504;
1e
(f,P1)xexdx2e10.7358;
均方误差
14、A、B、C三点连成一条直线,
x26.1米,为控制丈量的准确性,
AB长为x1,BC长为x2,某人测量的结果为x115.5米,
又测量ACx1x220.9米,试合理地决定x1和x2的
长度。
(小数点后取四位有效数字)
解:
令x1*为AB的所求值,x*2为BC的所求值,则x115.5x1*1,x26.1x2*2
x1x220.9x1*x*23.故1
15.5x1*,2
6.1x*2,320.9(x1*x2*)
22
2
在最小二
乘意义下,要f1222
3达到极小,
即求f
*2*2
(x1*15.5)2(x*26.1)2
**2
(x1*x2*20.9)2
的极小点。
令
*
**
f*
**
2(x115.5)2(x1x220.9)0,
2(x26.1)2(x1x220.9)0,
解的x1*15.2667,x*25.8667。
故应取x115.2667,x25.8667。
15、求函数f(x)ex在区间[-1,1]上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法选一种方法解本题,并估计误差。
(参考讲义与参考书)解:
三种方法,见参考讲义。
(1)截断切比雪夫级数
由富利叶级数系数公式得
Ck*2ecoscoskd,
0
它可用数值积分方法计算,得到
C0*2.5321317,6C1*1.1303182,1C2*0.2714953,4C3*0.0443368,5
exL3(x)0.00666.
P6(x)1x1x2
13
x
14
x
15
x
16
x
2
6
24
120
720
3)台劳级数项数的节约
x
应用e的台劳展开,取n6,得
6x
T6(x)
32
34x
2
92
x
16
15
x
32
116T5(x)
535
xx,
416
则
P6(x)M
6,4(x)
1
1T5(x)
1
312T6
(x),
120
165
720
326
其中
M6,4(x)
1.0000434
0.9973958x
2
0.4996094x
3
0.1770833x
0.043750
4x.
用M6,4(x)做e
x的逼近多项式,其误
差为
max
1x1
exM6,4(x)
0.0005393
1
1
1920
23040
若再用x
1
T4(x)
2x
1
1代入M
6,4(x)可求出
88
M6,3(x)0.9945750.997396x0.542969x20.177083x3,
x
maxexM6,3(x)0.00651.
1x16,3
16.编出用正交多项式(格拉姆-施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。
(参考讲义与参考书)
略。
17.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
2h
1)2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);
A1
A1
A0
A1
4h
2
1,x,x,
hA1
hA1
0
2
2
16
(
h2)A
1
h2A1
3
3
8h
3
4
3
8h
3
x3dx
(
h)3
h
03
(h)3
3
3
3
4
64
5
8h
44
4
x4dx
h
h(
h)
h04
5
3
3
8h
4h
8h
f(x)dx
f(
h)
f(0)
f(x)
0
1
2h
2h
2h
2h
2h
Q
2h
h3
8h(h)4
3
A0
A1
8
h
3
4h
3
8
h
3
16h5
3
f(h)具有三次代数精度
有两个参数,令f(x)
x,x2精确成立
2x13x2
1
x1
0.68990
x1
0.28990
或
2x123x22
1
x2
0.12660
x2
0.52660
而
13
x3dx
1
1
13[
1
33
2x133x23]
故
1
1f(x)dx
[f(
1)
2f(0.68990)
3f(
0.12660)]/3
与
1
1f(x)dx
[f(
1)
2f(0.28990)
3f(0.52660)]/3
(2)当f(x)1时,f(x)dx
均具有2次代数精度.
1
13[f
(1)2f(x1)3f(x2)].
11
18、已知x014,x112,x3
3,
4,
1)推导以这三个点为求积节点在[
2)求上述求积公式的代数精确度。
0,1]上的插值型求积公式。
12
3)用上述公式计算x2dx。
0
113
解:
(1)过x0,x1,x3三点的二次插值为
041234
L2(x)
(1x121))((x1433))f(41)
42)(44)
1311
(x14)(x43)1(x14)(x21)3
114143f(12)341321f(43)
(1214)(2143)2(4341)(4321)4
故有
0f(x)dx
1
0L2(x)dx
2
Akf(xk)
k0
AA
中
其
故求积公式为
1
(
)
1
3
(
)
1
x3
x
1)
x
1)(
dx
343
dx
))
121
1
0f(x)dx
1
(
)
1
A
x
1)(
111
31[2f(14)f(21)
12f(34)]
Q[f]
2)因为上述由二次插值推出,故至少具有二次代数精度,将f(x)x3,x4代入有
b
19、如果要用复化梯形公式计算积分
I[f]f(x)dx,试问应将积分区间[a,b]分成多
a
少份,才能保证误差不超过。
解:
已知将[a,b]分成n份的复化梯形公式的余项为
记Mmaxf''(x),则按要求应满足axb
(ba)3
12n2
2f(x2)
的求积系数和节点,并利用此公式写出I
点为
x0
15
150.7745967,x10,
5
x0
15
5
0.7745967.
则所求的高斯求积公式为
1
1f(x)dx
0f(
155)1f(0)
5
因三点的高斯求积公式具有
5次代数精确度,
令上述高斯求积公式对f(x)
2
1,x,x2均精确
成立,
12
1
dx2
1
15
5
3
5
15
5
1
xdx0
1
x2dx
1
所以三点的高斯-勒让德求积公式为
2
89f(0)
1
1f(x)dx
5
9
对I
21
exdx,作变换x
1
1(t3),把积分区间[1,2]化为区间[-
2
1,
1],即
21exdx
11
e
21
2
t3dt.用三点的高斯-勒让德求积公式计算,有
21、
解:
5
e
18
2
0.77459673
4e23
9
52
5e0.77459673
18
建立高斯型求积公式
1
f(x)dxA0f(x0)A1f(x1)。
(参考讲稿与参考书)
37371
x0x1A0A
x
6
2
dxx
10
A1
2
A
3x
A
3x
1
试确定三点的高斯—勒让德(G—L)求积公式f(x)dx0f(x0)1f(x1)
1
21
exdx的计算式(无需计算结果)。
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