高二上学期理科数学第五次调研试题和答案河北衡水中学.docx
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高二上学期理科数学第五次调研试题和答案河北衡水中学
衡水中学2013—2014学年度第一学期高二年级五调考试
数学试卷(理科)
第I卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意.)
1.当
时,复数
在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知
,
,
,…,若
(a,b
),则()
A、a=5,b=24B、a=6,b=24C、a=6,b=35D、a=5,b=35
3.某人进行了如下的“三段论”推理:
如果
,则
是函数
的极值点,因为函数
在
处的导数值
,所以
是函数
的极值点。
你认为以上推理的()
A.小前提错误B.大前提错误C.推理形式错误D.结论正确
4.设
是定义在正整数集上的函数,且
满足:
“当
成立时,总可推出
成立”,那么,下列命题总成立的是
A.若
成立,则
成立
B.若
成立,则当
时,均有
成立
C.若
成立,则
成立
D.若
成立,则当
时,均有
成立
5.已知结论:
“在正
中,
中点为
,若
内一点
到各边的距离都相等,则
”.若把该结论推广到空间,则有结论:
“在棱长都相等的四面体
中,若
的中心为
,四面体内部一点
到四面体各面的距离都相等,则
()
A.1B.2C.3D.4
6.设定点
,
,动点
满足条件
>
,则动点
的轨迹是( ).
A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段或不存在
7.下列说法:
①命题“存在
”的否定是“对任意的
”;
②关于
的不等式
恒成立,则
的取值范围是
;
③函数
为奇函数的充要条件是
;
其中正确的个数是()
A.3B.2C.1D.0
8.函数
,
为f(x)的导函数,令a=-
,b=log32,则下列关系正确的是( )
A.f(a)>f(b)B.f(a) C.f(a)=f(b)D.f(|a|) 9.已知定义在R上的奇函数f(x),设其导函数为f′(x),当x∈(-∞,0]时,恒有xf′(x) A.(-2,1)B. C. D.(-1,2) 10.设a>0,b>0.() A.若 则a>bB.若 则a C.若 则a>bD.若 则a 11.已知椭圆 的左、右焦点分别是 、 ,点P在椭圆上.若P、 、 是一个直角三角形的三个顶点,则点P到 轴的距离为() A. B. C. D. 或 12.已知 为定义在 上的可导函数,且 对于 恒成立,则() A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题(共90分) 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 13.若复数 是纯虚数,则m=. 14.过抛物线 的焦点F作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧),则 = 15.计算 = 16.椭圆中有如下结论: 椭圆 上斜率为1的弦的中点在直线 上,类比上述结论得到正确的结论为: 双曲线 上斜率为1的弦的中点在直线上 17.将正整数排成下表: ………………………….则数表中的2008出现在第行. 18.对于三次函数 给出定义: 设 是函数 的导数, 是函数 的导数, 若方程 有实数解 ,则称点 为函数 的“拐点”,某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。 给定函数 ,请你根据上面探究结果,计算 =. 三、解答题(共5个小题,每题12分,共60分) 19.用数学归纳法证明等式: … = 对于一切 都成立. 20.如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 平面 , , , 是线段 上的点, 是线段 上的点,且 (Ⅰ)当 时,证明 平面 ; (Ⅱ)是否存在实数 ,使异面直线 与 所成的角为 ? 若存在,试求出 的值;若不存在,请说明理由. 21.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围. 22.已知曲线 都过点A(0,-1),且曲线所在的圆锥曲线的离心率为 . (Ⅰ)求曲线和曲线 的方程; (Ⅱ)设点B,C分别在曲线 ,上, 分别为直线AB,AC的斜率,当 时,问直线BC是否过定点? 若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 23.已知函数 . (1)判断函数f(x)在(0, 上单调性; (2)若 恒成立,求整数 的最大值; (3)求证: . 2013-2014高二第一学期五调试题答案: DCBDCDBADACA 13.2 14. 15.-1 16. 17.因为每行的最后一个数分别为1,4,9,16,…,所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2. 因为442=1936,452=2025,所以2008出现在第45行上. 故答案为: 45. 18.2012 19.用数学归纳法证明等式: … = 对于一切 都成立. 【答案】利用数学归纳法。 【解析】 试题分析: (1)当n=1时,左边= ,右边= ,等式成立。 (2)假设n=k时,等式成立,即 … = , 那么n=k+1时, …… = 20 21.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围. (1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- <x< . ∴函数f(x)的单调递增区间是(- , ). (2)∵函数f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0对x∈(-1,1)都成立. ∵f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex =[-x2+(a-2)x+a]ex, ∴[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈(-1,1)都成立. ∵ex>0, ∴-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)都成立. 即a≥ = =x+1- 对x∈(-1,1)都成立. 令y=x+1- ,则y′=1+ >0, ∴y=x+1- 在(-1,1)上单调递增, ∴y<1+1- = ,∴a≥ . 22.(Ⅰ)由已知得 , , .……2分 所以曲线 的方程为 ( ).……3分 所以 .……8分 12分 11分 10分 23.已知函数 . (2)若 恒成立,求整数 的最大值; (3)求证: . 解: (1) 上是减函数4分 (2) 即h(x)的最小值大于k. 则 上单调递增, 又 存在唯一实根a,且满足 当 ∴ 故正整数k的最大值是3----9分 (3)由(Ⅱ)知 ∴ 令 则 ∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)] ∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3
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