《如何求二面角 综合法求二面角》.docx
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《如何求二面角综合法求二面角》
《如何求二面角综合法求二面角》
综合法求二面角
一、基本知识
1.二面角图形的识别与思考途径:
①找二面角的棱;②找二面角的两个半平面;③观察是否有直线⊥半平面;④观察是否有平面⊥半平面;⑤观察是否有直线⊥棱.2.立体几何中,几种常用的平面图形的计算:
①4:
2:
1矩形中的垂直;②rtΔ中,斜边上的高的计算;③rtΔ中,直角边上一点向斜边引垂线,垂线段的计算.
3.若∠poa=∠pob,则po在α内的射影是∠aob的平分线;
二、求直线与平面所成的角、求二面角的三种基本模式:
1.模式一:
夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面.
题1(09、湖北、理)如图,四棱锥s-abcd的底面是正方形,sd⊥平面abcd,sd=2a,ad=√2a,点e是sd上一点,且de=λa(0<λ≤2).
(1)求证:
对任意的λ∈(0,2],都有ac⊥be;
(2)设二面角c-ae-d的大小为θ,直线be与平面abcd所成的角为Φ.若tanθ·tanΦ=1,求λ的值.
解:
(1)ac⊥bd,ac⊥sd,所以ac⊥平面sbd,又be在平面sbd内,∴ac⊥be(图1);【二面角的识图:
①找二面角的棱;②找二面角的两个半平面;③找图形特征(二面角的三种模式特征)】
【斜线与平面所成的角的识图:
①找斜线;②找垂线;③找射影】
(2)图2:
【夹在二面角c-ae-d的直线cd⊥半平面ade】
作dh⊥ae于h,由三垂线定理知:
ch⊥ae,所以∠chd=θ,在rtΔade中,dh=
de·daae
λa2aλa+2a
2·λa
,tanθ=cd:
dh=2a:
2·λa
λa
2a
又∠ebd=Φ,则tanΦ=de:
bd==
.由tanθ·tan
Φ=1,有
解得:
λ=√2.
评注:
①本题把“平面的斜线与平面所成的角”、“二面
角”融合为一道题,结合08、湖北考题,可以估测湖北考
题方向及武汉市2、4月模拟考题方向;②解答这类问题,首先要认识图形,掌握“平面的斜线与平面所成的角”、“二面角”的识图方法;③本题的图形模式是最简单的,“平面的斜线与平面所成的角”中,有一条直线⊥平面;④“二面角”的图形中,夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面.
2.模式二:
夹在二面角内的一条直线垂直于棱.
题2(08、全国Ⅰ)四棱锥a-bcde中,底面bcde为矩形,侧面abc⊥底面bcde,bc=2,cd=√2,ab=ac.
(1)求证:
ad⊥ce;
(2)设侧面abc为等边三角形,求二面角c-ad-e的大小.
(1)证明:
作ah⊥bc于h,
则ah⊥底面bcde.所以:
dh是ad在底面bcde上的射影.易证:
ce⊥dh,由三垂线定理:
ad⊥ce.
(2)【①所求二面角c-ad-e的棱是ad;②两个半平面分别是cad、ead;③图形特征是:
夹在二面角c-ad-e内的一条直线ce⊥棱ad】
解作cf⊥ad于f,∵ad⊥ce,∴ad⊥面efc.所以:
ef⊥ad,cf⊥ad,∴∠efc是二面角c-ad-e的平面角【找、作、证→算】
①ah=dh=√3,得ad=√6,得ae=√6;②由此△acd为rt△,∴cf·ad=ac·dc;③sade=
de·a2=ad·ef.从而求出ef、cf.
④在△efc中,用余弦定理,求∠efc.
评注:
①夹在二面角e-ad-c内的一条直线ce垂直于棱,是作二面角的平面角的依托;②空间图形的分解,是基本功;
3.模式三:
夹在二面角内的一个平面⊥其中的一个半平面.题3(08、湖南、理17):
四棱锥p-abcd的底面是边长为1的菱形,∠bcd=600,e是cd的中点,pa⊥底面abcd,pa=2.(1
求证:
平面pbe⊥平面pab;
(2)求平面pad和平面pbe所成锐二面角的大小.
(1)证明:
【证明α经过β的一条垂线】
be⊥cd,cd∥ab,所以:
be⊥ab.又be⊥pa,所以:
be⊥面pab.又be在平面pbe内,∴平面pbe⊥平面pab;
(2)解【无棱二面角pad-pbe】
设be与ad交于f,
由
(1)知:
面pab⊥二面角a-pf-b的一个半平面pbf.
作ag⊥pb于g,则pf⊥ag.
作gh⊥pf于h,则pf⊥面ahg.∴∠ahg是二面角a-pf-b的平面角.在rt△agh中,ah=2,ag=
,所
以sin∠ahg=ag:
ah=.
评注:
①无棱二面角的棱的作法,有两条依据;②凭借“夹在二面角a-pf-b内的一个平面pab⊥其中的一个半平面pbf”,作出二面角的平面角;③如果在图形中,出现“三条直线两两垂直”,可考虑向量法.
高考试题巩固练习
1.(08、陕西、文19):
三棱锥被平行于底面abc的平面截得的几何体如图所示,截面为a1b1c1,∠bac=900,a1a⊥平面abc,a1a=√3,ab=ac=2a1c1=2,d为bc的中点.(1
)求
证:
平面a1ad⊥平面bcc1b1;
(1)证明:
bc⊥ad,bc⊥a1a,所以:
bc⊥面a1ad.又∵bc在平面bcc1b1内,所以:
平面a1ad⊥平面bcc1b1;
(2)求二面角a-cc1-b的大小。
【①找二面角a-cc1-b的棱;②找半平面;③找图形特点】
【存在一个半平面abc与二面角的半平面a-cc1-a1垂直】
解。
过a作ae⊥cc1于e,连be。
∵ba⊥面cc1a1a,cc1在平面cc1a1a內,∴ba⊥c1c。
又cc1⊥ae,∴cc1⊥be⇒∠aeb是二面角a-cc1-b的平面角。
在rtΔabe中,tan∠
aeb=
abae
所以:
二面角a-cc1-b的平面角为
2.(09、全国2)如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,ab⊥ac,de分别为aa1、b1c的中点,de⊥平面bcc1.
(1)求证:
ab=ac;
(2)设二面角a-bd-c为60°,求b1c与平面bcd所成的角的大小.
解:
(1)连结be,∵abc-a1b1c1为直三棱柱,∴∠b1bc=90.∵e为b1c的中点,∴be=ce(矩形的对角线相等).
又de⊥平面bcc1,∴bd=cd(射影相等的两条斜线段相等).而da⊥平面abc,
∴ab=ac(相等的斜线段的射影相等).
(2)求b1c与平面bcd所成的线面角,只需求点b1到面bcd的距离即可.
作ag⊥bd于g,连gc,则gc⊥bd,∠agc为二面角a-bd-c的平面角.∠agc=600.不妨设ac=23,则ag=2,gc=4.在rt△abd中,由ad·ab=bd·ag,易得ad=√6.
设点b1到面bdc的距离为h,b1c与平面bcd所成的角为α.由vd-b1bc=vb1-bdc,∴
s∆b1bc·de=s∆bdc·h,可求得
h
=bc=2√6,∴b1c=4√3.
所以:
sinα=h:
b1c
3.(09、重庆)如图,在四棱锥s-abcd中,ad∥bc且ad⊥cd;平面csd⊥平面abcd,cs⊥ds,cs=2ad=2;e为bs
的中点,
ce=
as=
(1)点a到平面bcs的距离;
解:
(1)【a点到平面bcs的距离=d点到平面bcs的距离=ds】
在rt∆
ads中,ds=
=∴点a到平面bcs的距离
。
【
(2)二面角e-cd-a的大小】
(2)过e作eg⊥cd,交cd于点g,又过g点作gh⊥cd,交ab于h,故∠
为
二面角e-cd-a的平面角,记为θ,过e点作ef//bc,交cs于点f,连结gf,因平面
abcd⊥平面csd,gh⊥cd,易知gh⊥gf,故θ=-∠egf.
由于e为bs边中点⇒f为cs的中点⇒ef=1。
cd=
effg
⇒gf=
在rt∆
feg中,tanegf=的大小为θ=
=可得∠egf=,故所求二面角
4(09、湖北、文)四棱锥p-abc的底面是正方形,pd⊥底面abcd,点e在棱pb上.
(1)求证:
平面aec⊥平面pdb;
(2)当pd=√2ab,且e为pb的中点时,求ae与平面pdb所成的角的大小.解:
(1)∵四边形abcd是正方形,∴ac⊥bd,∵pd⊥底面abcd,∴pd⊥ac,∴ac⊥平面pdb,∴平面aec⊥平面pdb;
(2)设ac∩bd=o,连接oe,由(Ⅰ)知ac⊥平面pdb于o,∴∠aeo为ae与平面pdb所的角。
∵o,e分别为db、pb的中点,∴oe//pd,oe=
pd。
1又∵pd⊥面abcd,∴oe⊥底面abcd,oe⊥ao,在rt△aoe中,oe=pd=
2ab
=ao,∴∠aoe=450
即ae与平面pdb所成的角的大小为450
5.(09、安徽)如图,四棱锥f-abcd的底面abcd是菱形,其对角线ac=2,
bd=
,ae、cf都与平面abcd垂直,ae=1,cf=2。
(1)求二面角b-af-d的大小;解:
(i)连接ac、bd交于菱形的中心o,过o作og⊥af,g为垂足.连接bg、dg.由bd⊥ac,bd⊥cf得bd⊥平面acf,故bd⊥af.
于是af⊥平面bgd,所以bg⊥af,dg⊥af,∠bgd为二面角b-af-d的平面角.由fc⊥ac,fc=ac=2,得∠fac=
,og=
由ob⊥og,ob=od=
,得∠bgd=2∠bgo=
【
(2)求四棱锥e-abcd与四棱锥f-abcd公共部分的体积.】
解:
连eb、ec、ed,设直线af与直线ce相交于点h,则四棱锥e-abcd与四棱锥f-abcd的公共部分为四棱锥h-abcd.过h作hp⊥平面abcd,p为垂足.因为ea⊥平面abcd,fc⊥平面abcd,,所以平面acfe⊥平面abcd,从而p∈ac,hp⊥ac.由
hpcf==apac
hpaehpcf
pcachp
,两式相加:
=apac
+pcac
ae23
得hp=.
ac⋅bd=
又因为s菱形abcd=
故四棱锥h-abcd
的体积v=
s菱形abcd⋅hp=
6.在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面abcd为等腰梯形,ab//cd,ab=4,bc=cd=2,aa1=2,e、e1、f分别是棱ad、aa1、ab的中点。
(1)证明:
直线ee1//平面fcc1;
解:
(1)在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中,取a1b1的中点f1,连接a1d,c1f1,cf1,因为ab=4,cd=2,且ab//cd,//
所以cd=a1f1,a1f1cd为平行四边形,所以cf1//a1d,
又因为e、e1分别是棱ad、aa1的中点,所以ee1//a1d,所以cf1//ee1,又因为ee1⊄平面fcc1,cf1⊂平面fcc1,所以直线ee1//平面fcc1.【
(2)求二面角b-fc1-c的余弦值】
(2)因为ab=4,bc=cd=2,f是棱ab的中点,所以bf=bc=cf,△bcf为正三角形。
取cf的中点o,则ob⊥cf,又因为直四棱柱abcd-a1b1c1d1中,cc1⊥平面abcd,所以cc1⊥bo,所以ob⊥平面cc1f,过o在平面cc1f内作op⊥c1f,垂足为p,连接bp,则∠opb为二面角b-fc1-c的一个平面角,在△bcf为正三角形中
,ob=
opcc1
ofc1f
在rt△cc1f中,△opf∽△cc1f,∵
∴op=
在rt△opf中
,bp==
,cos∠opb=
opbp
=,所以
二面角b-fc1-c
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