第5讲教师角平分线北师大版.docx
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第5讲教师角平分线北师大版
第5讲角平分线
学习目标:
能够证明角平分线的性质定理、判定定理。
能够利用尺规作已知角的平分线。
能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
重点:
角平分线的性质定理、判定定理。
难点:
利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
学习过程
知识精讲
.知识点
角的平分线:
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
1、点到直线的距离:
这点向直线引垂线,这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
2.角平分线的性质及判定
(1)角平分线的性质:
文字表达:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表达:
∵OP平分∠MON(∠1=∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,(已知)
∴PA=PB.(角平分线的性质)
思考:
这一性质定理的根据是什么?
(2)角平分线的判定:
文字表达:
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何表达:
∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB(已知)
∴∠1=∠2(OP平分∠MON)(角平分线的判定)
思考:
这一判定定理的根据是什么?
3、三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
4、点P是△ABC的三条角平分线的交点,且PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,PD⊥AB于D,则有。
二、典型例题
例1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,AB=10求△BDE的周长
例2、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:
AE是∠DAB的平分线.
过点E作EH⊥AB于点H,反向延长EH交DC的延长线于点G,过点E作EF⊥AD于点F,
∵AB∥CD,EH⊥AB,
∴EG⊥DC,
∵点E是BC的中点,
∴CE=BE,
在△CGE与△BHE中,
∠GCE=∠B
CE=EB
∠CEG=∠BEH
∴△CGE≌△BHE,
∴GE=EH,
∵DE平分∠ADC,
∴GE=EF,
∴GE=EH,
∴EF=EH,
∴AE是∠DAB的平分线.
例3、如图所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分∠BAC?
请说明理由.由此题你能得到一个什么结论?
思考:
画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交;两个外角的平分线相交,观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系.
例4、如图4,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE平分∠ACB,D是AC上一点,若∠CBD=20°,求∠ADE的度数.
图4
分析:
由于CE平分∠ACB,可过点E作∠ACB的两边的垂线,通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.
解:
作EN⊥CA,EM⊥BD,EP⊥CB,垂足分别是N、M、P.
因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°,∠PBA=180°-100°=80°,
所以∠PBA=∠ABD,
因为EM⊥BD于M,EP⊥CB于P,所以EP=EM,
又CE平分∠ACB,EN⊥CA,EP⊥CB,所以EN=EP,
所以EN=EM,
所以ED平分∠ADB,
所以∠ADE=
∠ADB=
×40°=20°.
需要添加辅助线构造全等三角形的题目,较为常用的构造法有:
(1)作平行线.
(2)作垂线.
(3)延长特殊线段构造相等线段.
(4)连接图形中的特殊点.
(5)求作特殊图形的对角线.
二探究
1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且∠1=∠2。
求证:
OB=OC。
2、如图,AB=AC,DE为△ABC的AB边的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E。
求证:
BE+EC=AB。
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE
∵AE+EC=AC
∴BE+EC=AC
又∵AB=AC
∴BE+EC=AB
3、如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E。
(1)已知CD=1cm,求AC的长;
(2)求证:
AB=AC+CD。
(1)解:
∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=CD=1,
∵AC=BC,∠C=90°,
∴∠B=45°,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴BD=
DE=
,
∴AC=BC=CD+BD=
+1
(2)证明:
在△ACD和△AED中,
AD=AD
DE=CD
∴△ACD≌△AED(HL),
∴AC=AE,
∵△BDE是等腰直角三角形,
∴BE=DE=CD,
∵AB=AE+BE,
∴AB=AC+CD.
4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。
5、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等。
6、
(1)利用角平分线的性质,找到△ABC内部距三边距离相等的点。
(2)在右图△ABC所在平面中,找到距三边所在直线距离相等的点。
三提升
1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且OB=OC。
求证:
∠1=∠2。
2、如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD。
求证:
AD平分∠BAC。
证明:
∵BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,
∴∠BFD=∠DEC=90°,
在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(AAS),
∴DE=DF,
又∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴AD平分∠BAC。
3、填空:
(1)如图1,点P为△ABC三条角平分线交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD__________PE__________PF.
(2)如图2,P是∠AOB平分线上任意一点,且PD=2cm,若使PE=2cm,则PE与OB的关系是__________.
(3)如图3,CD为Rt△ABC斜边上的高,∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F,FG⊥AB,垂足为G,则CF__________FG,∠1+∠3=__________度,∠2+∠4=__________度,∠3__________∠4,CE__________CF.
图1图2图3
4、已知:
如图在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求:
D到AB边的距离.
过点D作DE⊥AB,则DE是点D到AB的距离
∵BD:
CD=9:
7,
∴CD=BC×7/16=32×7/16=14,
∵AD平分∠CAB,
∴DE=CD=14.
分析:
画图分析(如下图),由题意可得:
由角平分线性质可得:
.故点
到
边的距离为14.故填14.
练习
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,若BC=10,BD∶CD=3∶2,则点D到AB的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.到三角形三边距离相等的点是( )
A.三条高的交点 B.三条中线的交
C.三条角平分线的交点 D.不能确定
3.如图所示,三条公路两两相交,交点分别为A、B、C,现计划修一个油库,要求到三条公路的距离相等,可供选择的地址有( )
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等,
∴△ABC内角平分线的交点满足条件;
如图:
点P是△ABC两条外角平分线的交点,
过点P作PE⊥AB,PD⊥BC,PF⊥AC,
∴PE=PF,PF=PD,
∴PE=PF=PD,
∴点P到△ABC的三边的距离相等,
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等,满足这条件的点有3个;
综上,到三条公路的距离相等的点有4个.
∴可供选择的地址有4个.
故选D.
4.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD距离都相等,则∠P=
∵点P到AB、BC、CD距离都相等,
∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线,
∴∠CBP=
∠ABC,∠BCP=
∠BCD,
∴∠CBP+∠BCP=
(∠ABC+∠BCD),
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠CBP+∠BCP=
×180°=90°,
∴∠P=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-90°=90°.
故答案为:
90°.
5、如图,已知AB∥CD,0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点.OE⊥AC,且OE=2,则两平行线AB、CD间的距离等于
过O做MN⊥CD交AB于M,交CD于N
∵AB∥CD
∴MN⊥AB
即OM⊥AB,ON⊥CD
∵OA平分∠BAC
OE⊥AC,OM⊥AB
∴OM=OE=2
∵OC平分∠ACD
OE⊥AC,ON⊥CD
∴OE=ON
∴MN=OM+ON=4
作业
1、填空
(1)、如图,若点P在∠AOB的角平分线上,PE⊥OA,PD⊥OB。
则有。
(2)、如图,若PE⊥OA,PD⊥OB,且PD=PE,则点P在上。
2、如图,E是线段AC上的一点,AB⊥EB于B,AD⊥ED于D,且∠1=∠2,CB=CD。
求证:
∠3=∠4。
3、如图,在△ABC中,BE⊥AC,AD⊥BC,AD、BE相交于点P,AE=BD。
求证:
P在∠ACB的角平分线上。
证明:
连结PC.
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠AEB=∠BDA=90°.
在Rt△ADB和Rt△BEA中
AB=AB
BD=AE
∴∠BAD=∠ABE,∠ABD=∠BAE,
∴AP=BP,AC=BC.
在△APC和△BPC中
AP=BP
AC=BC
PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS),
∴∠ACP=∠BCP,
∴点P在∠ACB的角平分线上.
角平分线作法:
在角AOB中,画角平分线
方法一:
1.以点O为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交角AOB两边于点M,N。
2.分别以点M,N为圆心,以大于1/2MN的长度为半径画弧,两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然,角平分线的作法有很多种。
下面再提供一种尺规作图的方法供参考。
方法二:
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB,且使得OM=ON,OA=OB;
2.连接AN与BM,他们相交于点P;
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
1.已知:
如图,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,交AB于G,交CA延长线于E,∠1=∠2
求证:
AD平分∠BAC,填写分析和证明中的空白.
分析:
要证明AD平分∠BAC,只要证明______=______,
而已知∠1=∠2,所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系,由已知BC的两条垂线可推出______∥______,这时再观察这两对角的关系已不难得到结论.
证明:
∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴______∥______(______)
∴______=______(两直线平行,内错角相等),
______=______(两直线平行,同位角相等)
∵______(已知)
∴______,即AD平分∠BAC(______)
证明:
∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴EF∥AD(在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行)
∴∠1=∠BAD(两直线平行,内错角相等)
∠2=∠CAD(两直线平行,同位角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠BAD=∠CAD,
即AD平分∠BAC(角平分线的定义)
2.如图,已知D是BC的中点,过点D作BC的垂线交∠A的平分线于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G。
求证BF=CG
分析:
本题需先连接EC、EB,根据AE是∠CAB的平分线,得出EG=EF,再根据ED垂直平分BC,得出Rt△CGE≌△BFE,从而证出BF=CG。
证明:
连接EC、EB.
∵AE是∠CAB的平分线,
EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,
∴EG=EF,
又∵ED垂直平分BC,
∴EC=EB
∴Rt△CGE≌Rt△BFE,
∴BF=CG。
3.已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为点E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.
(1)求证:
AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
(1)证明:
∵AF平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAB=
∠BAC.
∵点D与点A关于点E对称∴E为AD中点.BC⊥AD,
∴BC为AD的中垂线,
∴AC=CD
∵在Rt△ACE和Rt△ABE中,∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=
.∠CAD=∠DAB.
∴∠ACE=∠ABE,
∴AC=AB,
∴AB=CD.
(2)∵∠BAC=2∠MPC,
又∵∠BAC=2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD.
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠MPC=∠CDA.
∴∠MPF=∠CDM,
∵AC=AB,AE⊥BC,
∴CE=BE,
∴AM为BC的中垂线,
∴CM=BM
∵EM⊥BC,
∴EM平分∠CMB,(等腰三角形三线合一)
∴∠CME=∠BME.
∴∠BME=∠PMF,∠PMF=∠CME,
∴∠MCD=∠F(三角形内角和).
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