高中数学导数典型例题精讲详细版.docx
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高中数学导数典型例题精讲详细版
导数经典例题精讲
导数知识点
导数是一种特殊的极限
几个常用极限:
(1)
,
(
);
(2)
,
.
两个重要的极限:
(1)
;
(2)
(e=2.718281845…).
函数极限的四则运算法则:
若
,
,则
(1)
;
(2)
;(3)
.
数列极限的四则运算法则:
若
,则
(1)
;
(2)
(3)
(4)
(c是常数)
在
处的导数(或变化率或微商)
.
.瞬时速度:
.
瞬时加速度:
.
在
的导数:
.
函数
在点
处的导数的几何意义
函数
在点
处的导数是曲线
在
处的切线的斜率
,相应的切线方程是
.
几种常见函数的导数
(1)
(C为常数).
(2)
.(3)
.
(4)
;
.(5)
;
.
导数的运算法则
(1)
.
(2)
.(3)
.
复合函数的求导法则
设函数
在点
处有导数
,函数
在点
处的对应点U处有导数
,则复合函数
在点
处有导数,且
,或写作
.
【例题解析】
考点1导数的概念
对概念的要求:
了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.
是
的导函数,则
的值是.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2.设函数
集合M=
P=
若M
P,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得M
P时,
考点2曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.已知函数
在区间
,
内各有一个极值点.
(I)求
的最大值;
(II)当
时,设函数
在点
处的切线为
,若
在点
处穿过函数
的图象(即动点在点
附近沿曲线
运动,经过点
时,从
的一侧进入另一侧),求函数
的表达式.
思路启迪:
用求导来求得切线斜率.
解答过程:
(I)因为函数
在区间
,
内分别有一个极值点,所以
在
,
内分别有一个实根,
设两实根为
(
),则
,且
.于是
,
,且当
,即
,
时等号成立.故
的最大值是16.
(II)解法一:
由
知
在点
处的切线
的方程是
,即
,
因为切线
在点
处空过
的图象,
所以
在
两边附近的函数值异号,则
不是
的极值点.
而
,且
.
若
,则
和
都是
的极值点.
所以
,即
,又由
,得
,故
.
解法二:
同解法一得
.
因为切线
在点
处穿过
的图象,所以
在
两边附近的函数值异号,于是存在
(
).
当
时,
,当
时,
;
或当
时,
,当
时,
.
设
,则
当
时,
,当
时,
;
或当
时,
,当
时,
.
由
知
是
的一个极值点,则
,
所以
,又由
,得
,故
.
例4.若曲线
的一条切线
与直线
垂直,则
的方程为()
A.
B.
C.
D.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线
垂直的直线
为
,即
在某一点的导数为4,而
,所以
在(1,1)处导数为4,此点的切线为
.
故选A.
例5.过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+
=0相切的直线的方程为()
A.y=-3x或y=
xB.y=-3x或y=-
xC.y=-3x或y=-
xD.y=3x或y=
x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:
设切线的方程为
又
故选A.
解法2:
由解法1知切点坐标为
由
故选A.
例6.已知两抛物线
取何值时
,
有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:
先对
求导数.
解答过程:
函数
的导数为
,曲线
在点P(
)处的切线方程为
,即
①
曲线
在点Q
的切线方程是
即
②
若直线
是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是
的方程,故得
,消去
得方程,
若△=
,即
时,解得
,此时点P、Q重合.
∴当时
,
和
有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为
.
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值(最值);5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.函数
的定义域为开区间
,导函数
在
内的图象如图所示,则函数
在开区间
内有极小值点( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间
内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8.设函数
在
及
时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的
,都有
成立,求c的取值范围.
思路启迪:
利用函数
在
及
时取得极值构造方程组求a、b的值.
解答过程:
(Ⅰ)
,
因为函数
在
及
取得极值,则有
,
.
即
解得
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
,
.
当
时,
;
当
时,
;
当
时,
.
所以,当
时,
取得极大值
,又
,
.
则当
时,
的最大值为
.
因为对于任意的
,有
恒成立,
所以
,
解得
或
,
因此
的取值范围为
.
例9.函数
的值域是_____________.
思路启迪:
求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
解答过程:
由
得,
,即函数的定义域为
.
,
又
,
当
时,
,
函数
在
上是增函数,而
,
的值域是
.
例10.已知函数
,其中
为参数,且
.
(1)当时
,判断函数
是否有极值;
(2)要使函数
的极小值大于零,求参数
的取值范围;
(3)若对
(2)中所求的取值范围内的任意参数
,函数
在区间
内都是增函数,求实数
的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当
时,
,则
在
内是增函数,故无极值.
(Ⅱ)
,令
,得
.
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当
时,随x的变化
的符号及
的变化情况如下表:
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此,函数
在
处取得极小值
,且
.
要使
,必有
,可得
.
由于
,故
.
当时
,随x的变化,
的符号及
的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此,函数
处取得极小值
,且
若
,则
.矛盾.所以当
时,
的极小值不会大于零.
综上,要使函数
在
内的极小值大于零,参数
的取值范围为
.
(
)解:
由(
)知,函数
在区间
与
内都是增函数。
由题设,函数
内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(
),参数时
时,
.要使不等式
关于参数
恒成立,必有
,即
.
综上,解得
或
.
所以
的取值范围是
.
例11.设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a
-1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数
的定义域为
,且
(1)当
时,
函数
在
上单调递减,
(2)当
时,由
解得
、
随
的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当
时,
函数
在
上单调递减.
当
时,
函数
在
上单调递增.
综上所述:
当
时,函数
在
上单调递减.
当
时,函数
在
上单调递减,函数
在
上单调递增.
例12.已知函数
在点
处取得极大值
,其导函数
的图象经过点
,
,如图所示.求:
(Ⅰ)
的值;
(Ⅱ)
的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:
(Ⅰ)由图像可知,在
上
,在
上
,在
上
故
在
上递增,在
上递减,
因此
在
处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由
即
得
所以
例13.设
是函数
的一个极值点.
(Ⅰ)求
与
的关系式(用
表示
),并求
的单调区间;
(Ⅱ)设
,
.若存在
使得
成立,求
的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f`(x)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,
由f`(3)=0,得-[32+(a-2)3+b-a]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则f`(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f`(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f`(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f`(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f`(x)<0,f(x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f`(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f`(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f`(
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