导数的概念导数公式与应用.docx
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导数的概念导数公式与应用
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导数的概念及运算
知识点一:
函数的平均变化率
(1)概念:
函数
中,如果自变量
在
处有增量
,那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),其比值
叫做函数
从
到
+△x的平均变化率,即
。
若
,
,则平均变化率可表示为
,称为函数
从
到
的平均变化率。
注意:
①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值; ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势,当
取值越小,越能准确体现函数的变化情况。
③
是自变量
在
处的改变量,
;而
是函数值的改变量,可以是0。
函数的平均变化率是0,并不一定说明函数
没有变化,应取
更小考虑。
(2)平均变化率的几何意义 函数
的平均变化率
的几何意义是表示连接函数
图像上两点割线的斜率。
如图所示,函数
的平均变化率
的几何意义是:
直线AB的斜率。
事实上,
。
作用:
根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二:
导数的概念:
1.导数的定义:
对函数
,在点
处给自变量x以增量
,函数y相应有增量
。
若极限
存在,则此极限称为
在点
处的导数,记作
或
,此时也称
在点
处可导。
即:
(或
) 注意:
①增量
可以是正数,也可以是负数; ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率。
2.导函数:
如果函数
在开区间
内的每点处都有导数,此时对于每一个
,都对应着一个确定的导数
,从而构成了一个新的函数
称这个函数
为函数
在开区间内的导函数,简称导数。
注意:
函数的导数与在点
处的导数不是同一概念,
是常数,是函数
在
处的函数值,反映函数
在
附近的变化情况。
3.导数几何意义:
(1)曲线的切线 曲线上一点P(x0,y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y),经过点P、Q作曲线的割线PQ,其倾斜角为
当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0,y0),即△x→0时,割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为
,则当△x→0时,割线PQ斜率的极限,就是切线的斜率。
即:
。
(2)导数的几何意义:
函数
在点x0的导数
是曲线
上点(
)处的切线的斜率。
注意:
①若曲线
在点
处的导数不存在,但有切线,则切线与
轴垂直。
②
,切线与
轴正向夹角为锐角;
,切线与
轴正向夹角为钝角;
切线与
轴平行。
(3)曲线的切线方程 如果
在点
可导,则曲线
在点(
)处的切线方程为:
。
4.瞬时速度:
物体运动的速度等于位移与时间的比,而非匀速直线运动中这个比值是变化的,如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度,我们采用瞬时速度这一概念。
如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式),那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物体t到t+△t这段时间内,当△t→0时平均速度的极限,即
。
如果把函数
看作是物体的位移公式),导数
表示运动物体在时刻
的瞬时速度。
规律方法指导1.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法:
①作差:
求出
和
②作商:
对所求得的差作商,即
。
注意:
(1)
,式子中
、
的值可正、可负,但
的值不能为零,
的值可以为零。
若函数
为常数函数时,
。
(2)在式子
中,
与
是相对应的“增量”,即在
时,
。
(3)在式子
中,当
取定值,
取不同的数值时,函数的平均变化率不同;当
取定值,
取不同的数值时,函数的平均变化率也不一样。
2.如何求函数在一点处的导数
(1)利用导数定义求函数在一点处的导数,通常用“三步法”。
①计算函数的增量:
; ②求平均变化率:
; ③取极限得导数:
。
(2)利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。
3.导数的几何意义 ①设函数
在点
的导数是
,则
表示曲线
在点(
)处的切线的斜率。
②设
是位移关于时间的函数,则
表示物体在
时刻的瞬时速度; ③设
是速度关于时间的函数,则
表示物体在
时刻的加速度;4.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 ①求出
在
处的导数
; ②利用直线方程的点斜式得切线方程为
。
类型一:
求函数的平均变化率
1、求
在
到
之间的平均变化率,并求
,
时平均变化率的值.思路点拨:
求函数的平均变化率,要紧扣定义式
进行操作.
举一反三:
【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2,2+
]内的平均变化率。
【变式2】已知函数
,分别计算
在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];
(2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001].
【变式3】自由落体运动的运动方程为
,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段内的平均速度(位移s的单位为m)。
【变式4】过曲线
上两点
和
作曲线的割线,求出当
时割线的斜率.
类型二:
利用定义求导数
2、用导数的定义,求函数
在x=1处的导数。
举一反三:
【变式1】已知函数
(1)求函数在x=4处的导数.
(2)求曲线
上一点
处的切线方程。
【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数:
(1)
;
(2)
; (3)
; (4)
。
3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 思路点拨:
从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值,再由导数的几何意义,得所求切线的斜率,将x=1代入函数可得切点坐标,从而建立切线方程.
举一反三:
【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:
(1)平行于直线y=4x―5;
(2)垂直于直线2x―6y+5=0; (3)与x轴成135°的倾斜角。
知识点三:
常见基本函数的导数公式
(1)
(C为常数),
(2)
(n为有理数),
(3)
,
(4)
,
(5)
,
(6)
,
(7)
,
(8)
,
知识点四:
函数四则运算求导法则 设
,
均可导
(1)和差的导数:
(2)积的导数:
(3)商的导数:
(
)知识点五:
复合函数的求导法则
或
即复合函数
对自变量
的导数
,等于已知函数
对中间变量
的导数
,乘以中间变量
对自变量
的导数
。
注意:
选择中间变量是复合函数求导的关键。
求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏。
求导后,要把中间变量转换成自变量的函数。
规律方法指导1.求复合函数的导数的一般步骤 ①适当选定中间变量,正确分解复合关系; ②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导); ③把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代,熟练以后,可以省略中间过程。
若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。
类型一:
利用公式及运算法则求导数
1、求下列函数的导数:
(1)
;
(2)
(3)
; (4)y=2x3―3x2+5x+4
举一反三:
【变式】求下列函数的导数:
(1)
;
(2)
(3)y=6x3―4x2+9x―6
2、求下列各函数的导函数
(1)
;
(2)y=x2sinx;
(3)y=
; (4)y=
举一反三:
【变式1】函数
在
处的导数等于() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】下列函数的导数
(1)
;
(2)
【变式3】求下列函数的导数.
(1)
;
(2)
;(3)
.
类型四:
复合函数的求导
3、求下列函数导数.
(1)
;
(2)
;
(3)
; (4)
.
举一反三:
【变式1】求下列函数的导数:
(1)
;
(2)
(3)y=ln(x+
); (4)
类型五:
求曲线的切线方程
4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
举一反三:
【变式1】求曲线
在点
处的切线的斜率,并写出切线方程.
【变式2】已知
,
是曲线
上的两点,则与直线
平行的曲线
的切线方程是________.
【变式3】已知曲线
.
(1)求曲线
上横坐标为1的点处的切线的方程;
(2)第
(1)小题中的切线与曲线
是否还有其他的公共点?
【变式4】如果曲线
的某一切线与直线
平行,求切点坐标与切线方程
5、已知直线
为曲线
在点(1,0)处的切线,
为该曲线的另一条切线,且
.
(1)求直线
的方程;
(2)求由直线
、
和
轴所围成的三角形的面积.
举一反三:
【变式1】曲线
在点(1,1)处的切线与
轴、直线
所围成的三角形的面积为________.
【变式2】曲线
在(0,1)处的切线与
的距离为
,求
的方程.
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.
NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.
Pourl'étudeetlarechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.
толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.
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