版高三数学理一轮复习易错知识清单理.docx

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版高三数学理一轮复习易错知识清单理

一、集合与常用逻辑用语

1.集合的概念与运算

（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.

（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.

（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.

（4）解题时注意区分两大关系：

一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系.（5）Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.

2.命题及其关系、充分条件与必要条件

（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.

（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式.

（3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题

（1）p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可;p∧q为真命题，必须p、q同时为真.

（2）p或q的否定：

非p且非q;p且q的否定:

非p或非q.

（3）命题的否定与否命题：

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

二、函数与导数

1.分段函数

在求分段函数的值

时，要先判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

2.函数的单调性与最值

（1）区分两个概念：

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.

（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.

（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y=

在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.

（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f（x）在区间（-1，0）上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在（-1，0）∪（0，1）上却不一定是减函数，如函数

.

3.函数的奇偶性与周期性

（1）f（0）=0既不是函数f（x）是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可以利用图象进行判断.

4.二次函数与幂函数

（1）对于函数

，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件未说明a≠0时，就要讨论a=0和a≠0两种情况.

（2）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

5.指数与指数函数

（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1和0

（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.

（3）对可化为

或

（≤0）形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.

6.对数与对数函数

（1）在运用性质

（a>0，且a≠1）时，要特别注意条件M>0，在无M>0的条件下应为

|（α为偶数）.

（2）指数函数

（a>0，且a≠1）与对数函数

（a>0，且a≠1）互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.

（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：

①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.

7.函数的图象

（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从f（-2x）的图象到f（-2x+1）的图象是向右平移

个单位，即把x变成x-

.

（2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.

8.函数与方程

（1）函数f（x）的零点是一个实数，是方程f（x）=0的根，也是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标.

（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

9.函数模型及其应用

（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.

（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.

（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

10.导数的概念及运算

（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.

（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个.

11.导数与函数的单调性、极值、最值

（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.

（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好f′（x）=0时的情况;区分极值点和导数为0的点.

12.导数的综合应用

（1）若函数f（x）在某个区间内单调递增，则f′（x）≥0，而不是f′（x）>0（f′（x）=0在有限个点处取到）.

（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.

13.定积分

（1）被积函数若含有绝对值符号，应先去绝对值符号，再分段积分.

（2）若定积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量.

（3）定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.

（4）定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负.

（5）将要求面积的图形进行科学而准确地划分，可使面积的求解变得简捷.

三、数列

1.数列的概念及简单表示法

（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列

）和函数

的单调性是不同的.

（2）数列的通项公式不一定唯一.

2.等差数列及其前n项和

（1）当公差d≠0时，

是n的一次函数，当公差d=0时，

为常数.

（2）公差不为0的等差数列的前n项和

是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和Sn是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.

3.等比数列及其前n项和

（1）注意等比数列中的分类讨论.

（2）由

（q≠0），并不能判断数列｛

｝是等比数列，还要验证

是否为0.

4.数列求和

（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为1进行分类讨论.

（2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an+1的式子要合并.

（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.

四、三角函数

1.任意角的三角函数

（1）注意易混概念的区别：

象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.

（2）角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

2.同角三角函数的基本关系与诱导公式

（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：

去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.

（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

3.三角函数的图象与性质

（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

（2）要注意求函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况.

（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.

4.函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用

（1）由函数y=sinx的图象经过变换得到y=Asin（ωx+φ）的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来.

（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.

（3）求函数y=Asin（ωx+φ）在x∈[m，n]上的最值，可先求t=ωx+φ的范围，再结合图象得出y=Asint的值域，即得原函数的最值.

5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）运用公式时注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.

（2）在（0，π）范围内，sin（α+β）=

所对应的角α+β不是唯一的.

（3）在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.

6.简单的三角恒等变换

（1）利用辅助角公式asinx+bcosx进行转化时，一定要严格对照和、差公式，防止弄错辅助角.

（2）计算形如y=sin（ωx+φ），x∈[a，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和x的范围混淆.

7.正弦定理、余弦定理

（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的情况，所以要进行分类讨论.

（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.

8.三角形的实际应用

在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易弄错.

五、不等式

1.不等关系与不等式

（1）a>b

ac>bc或a

ac

（2）a>b

<

或a

>

，当ab≤0时不成立.

（3）a>b

an>bn，对于正数a、b才成立.

（4）

>1

a>b，对于正数a、b才成立.

（5）注意不等式性质中“

”与“

”的区别，如a>b，b>ca>c，反过来a>c，不能推出a>b，b>c.

（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.

（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.

2.不等式的解法及应用

（1）对于不等式ax2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论a=0时的情况.

（2）当Δ<0时，要注意区分ax2+bx+c>0（a≠0）的解集为R还是空集.

（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.

（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式

>a（a≠0）的一般思路——移项通分.

（5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：

求解完之后要写上“综上，原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.

提醒：

①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示;

②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.

3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.

（2）通过求直线的截距

的最值间接的求z的最值时，要注意：

当b>0时，若截距b取最大值，则z也取最大值，若截距

取最小值，则z也取最小值；当b<0时，若截距

取最大值，则z取最小值，若截距

取最小值，则z取最大值.

4.基本不等式及其应用

（1）利用基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.

（2）连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.

（3）对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘.一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的取值范围，然后利用基本不等式求最值.

六、平面向量

1.平面向量的概念及线性运算

（1）求解向量的概念问题时要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

（2）在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，导致错误.

（3）两个向量共线有方向相同、相反两种情况，要考虑全面.

2.平面向量的基本定理及坐标表示

（1）要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息.

（2）若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a∥b的充要条件不能表示成

=

，因为x2,y2有可能等于0，所以应该表示为x1y2-x2y1=0.

（3）使用平面向量基本定理时一定要注意两个基底向量不共线.

3.平面向量的数量积

（1）对数量积的运算律要准确理解、应用.例如,a·b=a·c（a≠0）不能得出b=c,因为两边不能同时约去向量a.

（2）若两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立.

4.平面向量应用举例

（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.

（2）注意向量共线和两直线平行的关系.

（3）利用向量求解解析几何中的平行与垂直问题，可有效避免因斜率不存在使问题漏解的情况.

七、立体几何

1.三视图与直观图

（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.

（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.

（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

（4）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．

2.空间几何体的表面积

（1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．

（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.

3.空间点、线、面位置关系

（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在一个平面内”．

（2）不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．

（3）两条异面直线所成角的范围是（0°，90°].

4.直线、平面平行的判定与性质

（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

（2）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序则恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

（3）解题中注意符号语言的规范应用.

5.直线、平面垂直的判定与性质

（1）在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化．

（2）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.

6.空间向量及其应用

（1）求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.

（2）用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.

（3）利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

（4）求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．

（5）求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.

八、解析几何

1.直线方程

（1）明确直线方程各种形式的适用条件:

点斜式、斜截式方程适用于与x轴不垂直的直线；两点式方程不能表示垂直于x轴、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．

（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负可为零，在求解与截距有关的问题时，要注意讨论截距是否为零．

（3）求直线方程时，若不能判断直线是否存在斜率，则应分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.

（4）当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为

，而不是不存在；当直线与y轴垂直时，直线的倾斜角为0，而不是π.

2.两直线位置关系

（1）在判断两条直线的位置关系时，首先分析直线的斜率是否存在.若两条直线的斜率都存在，则可根据判定定理判断两条直线的位置关系，若任一条直线的斜率不存在，则要单独考虑.

（2）在运用两平行直线间的距离公式d=

时，一定要注意将两方程中x,y的系数化为相同的形式.

3.圆的方程

（1）圆的标准方程和圆的一般方程都含有三个独立的参数，因此，确定一个圆的方程需要三个独立的条件．

（2）过圆外一定点求圆的切线，必有两条.若只求出一条，除了考虑运算过程是否正确外，还应该考虑切线斜率不存在的情况.

4.圆锥曲线的方程和性质

（1）区分椭圆两种标准方程的方法是比较标准方程中x2与y2的分母大小．

（2）注意椭圆的范围，若设椭圆

（a>b>0）点的坐标为P（x,y），则｜x｜≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

（3）区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.

（4）双曲线的离心率e∈（1，＋∞），而椭圆的离心率e∈（0,1）．

（5）双曲线

＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝±

x，

＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝

.

（6）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出p值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．

（7）注意应用抛物线的定义解决问题．

（8）求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：

一是方程的变形是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．

（9）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求.求点的轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明点的轨迹的形状、位置、大小等．

5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系

（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：

当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.

（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．

（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．

九、计数原理

1.两个计数原理

（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．

（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

（3）确定题目中是否有特殊条件限制．

2.排列与组合

（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，然后利用两个计数原理做最后处理．

（2）解受条件限制的组合题时，通常用直接法（合理分类）和间接法（排除法）来解决.分类标准应统一，避免出现重复或遗漏现象．

（3）对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同等价形式.处理选择题可采用排除法，错误的答案会有重复或遗漏现象.

3.二项式定理

（1）项的系数与n和a，b的值有关，二项式系数只与n有关，且大于0（n为项数）.

（2）求二项式系数的和，可采用“赋值法”．

（3）关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种不同算法．

（4）展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数一般是不相同的.在具体求各项的系数时，一般先确定符号，再确定数值；确定符号时对根式和指数的运算要细心，以防出错.

十、概率与统计

1.随机事件的概率

（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：

对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.

2.古典概型

（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．

（2）概率的一般加法公式：

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）．

提示：

①公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝时，A、B互斥，此时P（A∩B）＝0，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；②要计算P（A∪B），需要求P（A）、P（B），更重要的是确定事件A∩B，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一.

3.几何概型

（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.

（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

4.二项分布

（1）运用公式P（AB）=P（A）P（B）时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立.

（2）独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.

5.离散型随机变量的均值与方差、正态分布

（1）会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．

（2）对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．

（3）解决正态分布问题有三个关键点:

①对称轴x=μ;②标准差σ;③分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

6.随机抽样

（1）系统抽样的特点：

适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

（2）进行分层抽样时应注意以下几点：



①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.

②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的