六大基本初等函数图像及其性质.docx
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六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质
、常值函数(也称常数函数)y二C(其中C为常数);
常数函数(yC)
C0
C0
yJ
yC
1x
y,
yo
O
O
平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
,x是自变量,是常数;1
yx;
>
/
//
■jfJ
r
2.幕函数的性质;
性质函数7、
yx
2
yx
3
yx
1
2
yx2
1
yx
定义域
R
R
R
[0,+g)
{x|x工0}
值域
R
[0,+g)
R
[0,+g)
{y|y丰0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
[0,+g)增
增
增
(0,+g)减
(-g,0]减
(-g,0)减
公共点
(1,1)
1)当a为正整数时,函数的定义域为区间为
),他们的图形都经过原点,并当a
>1时
2)当a为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数;
3)当a为正有理数m时,n为偶数时函数的定义域为(0,+8),n为奇数时函数的定义域为(
n
8,+m),函数的图形均经过原点和(1,1);
4)如果m>n图形于x轴相切,如果m 均为奇数时,跟原点对称; n为奇数时,定义域为去 5)当a为负有理数时,n为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数; 除x=0以外的一切实数。 [无界函数] 1•指数函数的图象: 7、性质函数 yaX(a1) yaX(0a1) 定义域 R 值域 (0,+8) 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(0,1),即X0时,y1 单调性 在(,)是增函数 在(,)是减函数 当a1时函数为单调增,当0a1时函数为单调减;不论x为何值,y总是正的,图形在x轴上方; 当X0时,y1,所以它的图形通过(0,1)点。 * 3. f(x) (选,补充)指数函数值的大小比较aN a•底数互为倒数的两个指数函数 f(x)ax,f(x) a 的函数图像关于y轴对称 .当a1时,a值越大, 的图像越靠近y轴; x .当0a1时,a值越大,ya 的图像越远离y轴。 x x 4•指数的运算法则(公式); ; (2)当n为奇数时, (1) ma na mna m n mn ⑵ a a a m n nmnm ⑶ a aa ⑷ ab n anbn a.整数指数幕的运算性质(a0,m,nQ); b.根式的性质; 四、对数函数ylogaX(a是常数且a 当n为偶数时, c.分数指数幕; m (1)an Vma (a 1 nm a a(a a(a 0) 0) 0,m,n (a 0,a1),定义域x 1) 0,m,n Z,n1) (0, )[无界] 1.对数的概念: 如果a(a>0,1)的b次幕等于N,就是abN,那么数b叫做以a为底N的对数, 记作logaNb,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式。 对数函数ylOgaX与指数函数yax互为反函数,所以ylOgaX的图象与yax的图象关于直线yx对称。 2.常用对数: logioN的对数叫做常用对数,为了简便,N的常用对数记作lgN。 3•自然对数: 使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简 记作lnN。 4.对数函数的图象: yIx1y1x1 ylogax(ai)「 5.对数函数的性质; 性质 ylogax ylogax 函数\\ (a1) (0a1) 定义域 (0,+x) 值域 R 奇偶性 非奇非偶 公共点 过点(1,0),即x 1时,y0 单调性 在(0,+8)上是增函数 在(0,+8)上是减函数 1)对数函数的图形为于y轴的右方,并过点(1,0); 2)当a1时,在区间(0,1),y的值为负,图形位于x的下方;在区间(1,+),y值为正,图形位于x * 6.(选,补充)对数函数值的大小比较aN 轴上方,在定义域是单调增函数。 a1在实际中很少用到。 a.底数互为倒数的两个对数函数 ylogax,ylog^x a logaMNlogaMlogaN logaMlogaMlogaNN logaMnnlogaM b.对数恒等式: alogaNN(a0且a1,N0) (1)logbNlogaN(a0,a1,一般常常 logab 换为e或10为底的对数,即logbN logbN lgN lgb (2)由公式和运算性质推倒的结论: lnN lnb 的函数图像关于x轴对称。 d.对数运算性质 (1)1的对数是零,即loga10;同理ln10或lg10 ⑵底数的对数等于1,即logaa1;同理lne1或lg101 五、三角函数 1.正弦函数ysinx,有界函数,定义域x(,),值域y[1,1] 3 图象: 五点作图法: 0,—,,—,2 22 3 图象: 五点作图法: 0,—,,—,2 22 1 ] 严<? 西石可€R J产、「产「 \^匸丿"2魅、J丿 Oy2k\^jc丿4«j -] 3.正、余弦函数的性质; 性质 函数 y sinx(k Z) y cosx(kZ) 定义域 R 值域 卜1,1] [-1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 T2 T2 对称中心 (k,0) (k—,0) 2 对称轴 xk 2 (k-,0) 2 在x 2k —,2k 22 上是增函数 在x 2k 2k上是增函数 单调性 在x 2k 2k3 22 上疋减函数 在x 2k 2k上是减函数 x2k T时, /max1 x 2k时,ymax1 最值 2 x2k 一时,y 2 min1 x 2k 时,ymin1 ytanx的图像 5.余切函数ycotx,无界函数,定义域x|xk,kZ,y(,)yi ycotx的图像 6.正、余切函数的性质; .性质函数" ytanx(kZ) ycotx(kZ) 定义域 xk— 2 xk 值域 R R 奇偶性 奇函数 奇函数 周期性 T T 单调性 在(k,? k)上都是增函数 在(k,(k1))上都是减函数 对称中心 kc、 (2° k (2° 零点 (k,0) (k-,0) 2 7.正割函数ysecx,无界函数,定义域x|xk—,(kZ),值域|sec*1y42 ysecx的图像 9.正、余割函数的性质; ycscx的图像 、、、、性质 函数'、、 ysecx(kZ) ycscx(kZ) 定义域 xx—k 2 *Xk 值域 (,1][1,) (,1][1,) 奇偶性 偶函数 奇函数 周期性 T2 T2 单调性 3 (2k-,2k)(2k,2k—) 减 (2k,2k-)(2k-,2k)增 3亠 (2k,2k三)(2k—,2k2)减 (2k2,2k)(2k,2k青) 增 续表: 性质函数、、 ysecx(kZ) ycscx(kZ) 对称中心 (k2,0) (k,0) 对称轴 xk x—k 2 渐近线 x—k 2 xk 六、反三角函数 a.反正弦函数的概念: 正弦函数ysinx在区间,上的反函数称为反正弦函数,记为 22 yarcsinx 2•反余弦弦函数yarccosx,无界函数,定义域[-1,1],值域[0,] 3•反正、余弦函数的性质; 性质 函数 yarcsinx yarccosx 定义域 [-1,1] [-1,1] 值域 [0,] [0,] 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性 增函数 减函数 c反正切函数的概念: 正切函数ytanx在区间 上的反函数称为反正切函数,记为 22 4•反正切函数yarctanx,有界函数,定义域x(,),值域一,一 22 yarctanx D.反余切函数的概念: 余切函数ycotx在区间0, 上的反函数称为反余切函数,记为 5•反余切函数yarccotx,有界函数,定义域x(,),值域0, yarccotx yarctanx的图像 yarccotx的图像 6•反正、余弦函数的性质; 函数性质、、 yarctanx yarccotx 定义域 R 值域 2,2 0, 奇偶性 奇函数 非奇非偶 单调性 增函数 减函数 三角函数公式汇总 一、任意角的三角函数 在角的终边上任取一点P(x,y),记: rx2y2 正弦: sin y r 余弦: cos xr 正切: tan y 余切: cot x x y 正割: sec r 余割: csc r xy 、同角三角函数的基本关系式 倒数关系: sin csc 1,cos sec 1,tancot1 商数关系: tan sin ,cot cos cos sin 平方关系: sin2 cos2 1,1 tan2 222 sec,1cotcsc 三、诱导公式 x轴上的角,口诀: 函数名不变,符号看象限;y轴上的角,口诀: 函数名改变,符号看象限。 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin tan( ) tan tan sin( ) sin cos cos sin 1 tan tan cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 五、二倍角公式 sin22sincos丄o2tan tan2 1tan 2222 cos2cossin2cos112sin 二倍角的余弦公式常用变形: (规律: 降幕扩角,升幕缩角) 六、三倍角公式 sin3 3sin 4sin3 4sin sin(— 3 )sin(-) cos3 4cos 33cos 4cos cos(— 3 )cos(? ) tan3 3tan tan3 tan tan(3 )tan(§) 1 3tan2 七、和差化积公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 八、辅助角公式 /22 asinxbcosxvabsin(x) 其中: 角的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同, sin b 』cos 、、a2b2' a \a2b2 tan 九、 三角函数的周期公式 函数yAsin(x xR及函数y Acos(x), xR(A,,,为常数, 0,0) 周期: T2 周期: T ab sinAsinB c sinC 2R(R为ABC外接圆半径) 十、正弦定理 1^一、余弦定理 a2b2c22bccosA 222 bac2accosB 222cab2abcosC
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- 六大 基本 初等 函数 图像 及其 性质
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