指数函数和对数函数复习有详细知识点和模拟题详解.docx
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指数函数和对数函数复习有详细知识点和模拟题详解
指数函数与对数函数总结与练习
一、指数的性质
(一)整数指数幂
1.整数指数幂概念:
2.整数指数幂的运算性质:
(1)
(2)
(3)
其中
,
.
3.
的
次方根的概念
一般地,如果一个数的
次方等于
,那么这个数叫做
的
次方根,
即:
若
,则
叫做
的
次方根,
说明:
①若
是奇数,则
的
次方根记作
;若
则
,若
则
;
②若
是偶数,且
则
的正的
次方根记作
,
的负的
次方根,记作:
;(例如:
8的平方根
16的4次方根
)
③若
是偶数,且
则
没意义,即负数没有偶次方根;
④
∴
;
⑤式子
叫根式,
叫根指数,
叫被开方数。
∴
.
.
4.
的
次方根的性质
一般地,若
是奇数,则
;
若
是偶数,则
.
5.例题分析:
例1.求下列各式的值:
(1)
(2)
(3)
(4)
例2.已知
,化简:
.
(二)分数指数幂
1.分数指数幂:
即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;
如果幂的运算性质
(2)
对分数指数幂也适用,
例如:
若
,则
,
,∴
.
即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定:
(1)正数的正分数指数幂的意义是
;
(2)正数的负分数指数幂的意义是
.
2.分数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
说明:
(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。
3.例题分析:
例1.用分数指数幂的形式表示下列各式
:
,
,
.
例2.计算下列各式的值(式中字母都是正数).
(1)
;
(2)
;
例3.计算下列各式:
(1)
(2)
.
(三)综合应用
例1.化简:
.
例2.化简:
.
例3.已知
,求下列各式的值:
(1)
;
(2)
.
二、指数函数
1.指数函数定义:
一般地,函数
(
且
)叫做指数函数,其中
是自变量,函数定义域是
.
2.指数函数
在底数
及
这两种情况下的图象和性质:
图象
性质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)过点
,即
时
(4)在
上是增函数
(4)在
上是减函数
例1.求下列函数的定义域、值域:
(1)
(2)
(3)
例2.当
时,证明函数
是奇函数。
例3.设
是实数,
,
(1)试证明:
对于任意
在
为增函数;
(2)试确定
的值,使
为奇函数。
三、对数的性质
1.对数定义:
一般地,如果
(
)的
次幂等于N,就是
,那么数b叫做a为底N的对数,记作
,a叫做对数的底数,N叫做真数。
即
,
指数式
底数
幂
指数
对数式
对数的底数
真数
对数
说明:
1.
在指数式中幂N>0,∴在对数式中,真数N>0.(负数与零没有对数)
2.
对任意
且
都有
∴
,同样:
.
3.如果把
中的
写成
,则有
(对数恒等式).
3.介绍两种特殊的对数:
①常用对数:
以10作底
写成
②自然对数:
以
作底为无理数,
=2.71828……,
写成
.
例2.
(1)计算:
,
(2)求x的值:
①
;②
.
(3)求底数:
①
,②
.
4.对数的运算性质:
如果a>0,a1,M>0,N>0,那么
(1)
;
(2)
;
(3)
.
例3.计算:
(1)lg14
21g
;
(2)
;
5.换底公式:
(a>0,a1;
)
证明:
设
,则
,
两边取以
为底的对数得:
,∴
,
从而得:
,∴
.
说明:
两个较为常用的推论:
(1)
;
(2)
(
、
且均不为1).
证明:
(1)
;
(2)
.
例4.计算:
(1)
;
(2)
.
例5.已知
,
,求
(用a,b表示).
.
例6.设
,求证:
.
四、对数函数
1.对数函数的定义:
函数
叫做对数函数。
2.对数函数的性质:
(1)定义域、值域:
对数函数
的定义域为
,值域为
.
(2)图象:
由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于
的对称图形,即可获得。
同样:
也分
与
两种情况归纳,以
(图1)与
(图2)为例。
(3)对数函数性质列表:
图
象
性
质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)过点
,即当
时,
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在
上是减函数
例1.求下列函数的定义域:
(1)
;
例2.比较下列各组数中两个值的大小:
(1)
,
;(3)
,
.
例3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小:
(2)
,
;(3)
,
,
;
例4.已知
,比较
,
的大小。
解:
∵
,∴
,
当
,
时,得
,
∴
,∴
.
当
,
时,得
,
∴
,∴
.
当
,
时,得
,
,
∴
,
,∴
.
综上所述,
,
的大小关系为
或
或
.
例5.求下列函数的值域:
((3)
(
且
).
例6.判断函数
的奇偶性。
例7.求函数
的单调区间。
指数函数和对数函数单元测试
一选择题
1.如果
,那么a、b间的关系是【】
A
B
C
D
2.已知
,则函数
的图象必定不经过【】
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
3.与函数y=x有相同图象的一个函数是【】
A
B
,且
C
D
,且
4.函数y=|log2x|的图象是(
)
5.已知函数
在
上是x的减函数,则a的取值范围是【】
A
B
C
D
6.已知函数
的值域是
,则它的定义域是【】
A
B
C
D
7.已知函数
在区间
是减函数,则实数a的取值范围是【】
A
B
C
D
8.设
,则【】
A.-2 9.函数 的定义域为E,函数 的定义域为F,则【】 A B C D 11.已知 ,则() A. B. C. D. 12.函数 的定义域是() A. B. C. D. 二填空题 13.计算: =. 14. 的定义域是______。 15.方程 的解 ________。 16.若函数 的的图像过点 ,则 _________. 三解答题 17.求下列函数的定义域和值域 (1) (2) 18.求下列函数的单调区间 (1) (2) 19.已知函数 (1)求 的定义域; (2)讨论 的单调性。 20.已知 求 的值.
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