完整版高等数学导数练习题.docx
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完整版高等数学导数练习题
1.若limf(xox)f(x。
)
x0
A.2k
B.k
k,则lim匕2x)f(x。
)
x0
1
C.^kD.
2
以上都不是
2.若f
(x)
=sina—cosx,则?
q?
?
等于(
等于()
A.
C.
3.f(x)
A.
C.
COSa
2sina
sin
sin
=ax+3x+2,若?
冬1)=4,则a的值等于()
19
3
13
3
a
a+COSa
B.
D.
B.
D.
16
3
10
3
4.函数y=..xsinx的导数为()
A.
y'=2xsinx+xcosx
B.
=sinx+•、xcosx
2.x
C.
5.函数
A.
C.
6.函数
sinx
y=.x
y=x2cosx的导数为()
y'=2xcosx—x2sinx
y'=x2cosx—2xsinx
2旦(a>0)的导数为0,
+xcosx
D.
B.
D.
!
y
!
y
sinx
——xcosx
=2xcosx+x2sinx
2・
=xcosx—xsinx
2
x
y=-
x
那么x等于
A.a
C.—a
7.函数y=s^的导数为(
x
=xcosxsinx
一2
x
=xsinxcosx
2
x
A.
C.
8.函数y=-
(3x
的导数是(
(3x1)2
B.
D.
B.
D.
xcosxsinxy=—
x
xsinxcosx
2
x
(3x1)3
6
(3x1)2
9.已知y=lsin2x+sinx,那么
2
A.仅有最小值的奇函数
C.仅有最大值的偶函数
y'是()
B.既有最大值,又有最小值的偶函数
D.非奇非偶函数
10.函数y=sin3(3x+)的导数为(
4
2
A.3sin
(3x+—)cos
4
(3笃)
2
.9sin(3x+—)cos(3x+—)4
C.9sin2
(3x+)
4
11.函数y=cos(sinx)的导数为(
A.—[sin(sinx)]cosx
C.[sin(sinx)]cosx
12.函数y=cos2x+sinx的导数为(
A—2sin2x+4
2x
C.—2sin2x+sinx
2仮
13.过曲线丫=丄上点P(1,1)且与过
x12
()
A.
C.
2y—8x+7=0
2y+8x—9=0
14.函数y=ln(3—2x—x2)的导数为
A•丄
x3
c.
x22x3
15.函数y=lncos2x的导数为(
A.—tan2x
C.2tanx
16.已知y
£x3bx2(b2)x
()
A.b
1,或b2B.b
4
2
—9sin(3x+)
4
cos(3x+—)
4
B.—sinD.sin(cosx)
(sinx)
B.2sin2x+cosx
2jx
D.2sin2x—cosx
2(x
P点的切线夹角最大的直线的方程为
B.
D.
2y+8x+7=0
2y—8x+9=0
B.
D.
1
32xx2
2x2
x22x3
B.—2tan2x
D.2tan2x
3是R上的单调增函数,贝Ub的取值范围是
1,或b2C.1b2D.1b2
17.函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
A.(,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)
2
函数y=ax2x(a>0且a^1),那么?
?
为()
函数y(x1)2(x1)在x1处的导数等于()
A.1B.2C.3D.4
已知函数f(x)在x1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为()
A.f(x)
(x
1)
3(x1)B.
f(x)
2(x1)
C.f(x)
2(x
1)2
D.
f(x)
x1
函数f(x)
3x
ax2
3x9,已知f(x)在
:
x
3时取得极值,则a=()
A.2
B.3
C.4
D.5
函数f(x)
x3
3x2
1是减函数的区间为(
)
A.(2,)
B
.(
2)C.(,0)
D.
(0,2)
函数y=x3
-3x2-9
x(-2 ) A.极大值5,极小值—27 B.极大值5,极小值—11 C.极大值5,无极小值 三次函数fxax3x在x A.a0 D.极小值—27,无极大 内是增函数,贝9() B.a0 C. D.a a1 34.设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦,贝U|AB的最小值为() A.PB.pC.2pD.无法确定 2 35.函数yx33x的极大值为m,极小值为n,则m门为() A.0B.1C.2D.4 1 36.函数y4x2—单调递增区间是() 1 A.(0,)B.(,1)C.(―,)D.(1,) 2 37.函数f(x)2xsinx在(,)上() A.是增函数B•是减函数C•有最大值D•有最小值 38.函数yln^的最大值为() x 1210 A.eB.eC.eD 3 2.填空题 1 1.f(x)是f(x)—X32x1的导函数,贝Uf (1)的值是。 3 1 2.已知函数yf(x)的图象在点M(1,f (1))处的切线方程是y;x2,则 f (1)f (1)。 3.曲线yx32x24x2在点(1,3)处的切线方程是 4.若y=(2x2-3)(x2-4),则y'=。 5.若y=3cosx-4sinx,贝Uy'=。 6.与直线2x—6y+1=0垂直,且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程是 7.质点运动方程是s=t2(1+sint),则当t=时,瞬时速度为。 2 8.求曲线y=x3+x2-1在点P(-1,-1)处的切线方程。 9.若y丄二,则y'=。 2x 3x43x25 10.若y3,贝Uy=。 x 11.若y1cosx,则y'=。 1cosx 14. 已知f(x)=sin2x,则f'(x) 1cos2x 1_3 15.若y=(sinx-cosx),贝Uy'= 16.若y=1cosx2,贝Uy'=。 17.若y=sin3(4x+3),贝Uy'=。 18.函数y=(1+sin3x)3是由个函数复合而成。 19.曲线y=sin3x在点P(—,0)处切线的斜率为。 3 20.函数y=xsin(2x——)cos(2x+—)的导数是。 22 21.函数y= cos(2x 3)的导数为 1 22.函数y=cos3的导数是 23.在曲线y=U的切线中,经过原点的切线为。 x5 24.函数y=log3cosx的导数为。 25.函数y=x2lnx的导数为。 26.函数y=ln(lnx)的导数为。 27.函数y=lg(1+cosx)的导数为。 28.设y=(2^x1)2,贝Uy=。 e 29.函数y=22的导数为y'=。 30.曲线y=ex_e|nx在点(e,1)处的切线方程为。 1 31.f(x)是f(x)—x32x1的导函数,贝Uf (1)的值是。 3 32.曲线yx3在点1,1处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为 33.已知曲线y1x34,则过点P(2,4)“改为在点P(2,4)”的切线方程是 33 。 34.已知f(n)(x)是对函数f(x)连续进行n次求导,若f(x)x6x5,对于任意 xR,都有f⑺(x)=0,则n的最少值为。 35.函数y=叱的导数为。 x 36.函数yx2cosx在区间[0,—]上的最大值是。 2 37.若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R增函数,则a,b,c的关系式为 38.曲线yInx在点M(e,1)处的切线的方程为。 3.计算题 1.求函数y=lnL洱的导数。 2x 2.求函数y=ln 3.求函数y=ln(.1x2—x)的导数。 4.求函数y=e2x|nx的导数。 5.求函数y=x(x>0)的导数。 6.设函数f(x)在点xo处可导,试求下列各极限的值. x0 o limx 1 OX/Vf oX/Vf 2h omHh 2) (3)若f(xo)2,则00—寻一型 7.求函数y.x在x1处的导数。 8.求函数yx2axb(a、b为常数)的导数。 9.利用洛必达法则求下列极限: (1)li叫 In x1 ⑶01 x33x22 n x ⑸lim盂(a0,n为正整数) xe ⑹limxmlnx(m0); x0 1 ⑺1imox 1 (8)lim(1sinx)x; (9)limxsinx; x0 10.求下列函数的单调增减区间: 2 (1)y3x6x5; (2)y=? ? -2? ? +2; 2x 11.求下列函数的极值: ⑴yx33x27; 2x ⑷y33(x2)2; ⑸y(x1)3? ; 3 x (x1)2 4.解答题 1.求曲线y=x3+x2-1在点P(-1,-1)处的切线方程。 2.求过点(2,0)且与曲线y=1相切的直线的方程。 x 3.质点的运动方程是st23,求质点在时刻t=4时的速度t 11 4.求曲线y2在M(2,\处的切线方程。 (x3x)4 5.求曲线ysin2x在M(,0)处的切线方程。 6. C相切于点 已知曲线C: yx33x22x,直线l: ykx,且直线I与曲线 Xo,y°xo0,求直线I的方程及切点坐标。 7.已知fxax33x2x1在R上是减函数,求a的取值范围 8.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值。 (1)求a、b的值; (2)若对于任意的x[0,3],都有f(x)c2成立,求c的取值范围 9.已知a为实数,fxx24xa。 求导数f'x; (2)若f'1 在区间2,2上的最大值和最小值。 10.设函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数,其图象在点(1,f (1))处的切线与直 线x6y70垂直,导函数f'(x)的最小值为12。 (1)求a,b,c的值; (2)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。 15 11.已知曲线yx丄上一点A(2,5),用斜率定义求: x2 (1)点A的切线的斜率 (2)点A处的切线方程 12 12.已知函数f(x) -(x21)(x1) ,判断f(x)在x1处是否可导? 1 -(x1)(x1) 2 13.已知函数fxx3ax2bxc,当x1时,取得极大值7;当x3时,取得极小值.求这个极小值及a,b,c的值。 14.已知函数f(x)x33x29xa。 (1)求f(x)的单调减区间; 20,求它在该区间上的最小值。 (2)若f(x)在区间[—2,2].上的最大值为 15.设t0,点P(t,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公 共点,两函数的图象在点P处有相同的切线。 (1)用t表示a,b,c; (2)若函数yf(x)g(x)在(一1,3)上单调递减,求t的取值范围 16.设函数fxx3bxcx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求b、c的值。 (2)求g(x)的单调区间与极值。 17.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2: 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大? 最大体积是多少? x0 x0,当k为何值时,f(x)在点x0处连续。 x0 21.设yln(1x2),求函数的极值,曲线的拐点 22.利用二阶导数,判断下列函数的极值: ⑴y(x3)2(x2); ⑵y2exex 23.曲线yax3bx2cxd过原点,在点(1,1)处有水平切线,且点(1,1)是该曲线的拐点,求a,b,c,d。 24.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: (1)yx42x25[2,2]; ⑵yln(x21)[1,2]; ⑷yx、、x[0,4]。 25.已知函数f(x) ax36ax2b(a0),在区间[1,2]上的最大值为3,最小 值为29,求a,b的值 26.欲做一个底为正方形,容积为108m3的长方体开口容器,怎样做所用材料最 省? 27.确定下列曲线的凹向与拐点: 23 (1)yxx; ⑵yln(1X2); ⑶yx3; 2x X xe; 28.某厂生产某种商品,其年销量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件的库存费为0.05元,如果年销售率是均匀的,且上批销售完成后,立即再生产下一批(此时商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费及库存费之和最小? 29.某化工厂日产能力最高为1000吨,每天的生产总成本C(单位: 元)是日产 量x(单位: 吨)的函数: CC(x)10007x50,亍x[0,1000] (1)求当日产量为100吨时的边际成本; (2)求当日产量为100吨时的平均单位成本。 30.生产x单位某产品的总成本C为x的函数: CC(x)1100佥x2,求: (1)生产900单位时的总成本和平均单位成本; (2)生产900单位到1000单位时的总成本的平均变化率; (3)生产900单位和1000单位时的边际成本。 31.设生产x单位某产品,总收益R为x的函数: RR(x)200x0.01x2,求: 生产50单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。 32.生产x单位某种商品的利润是x的函数: L(x)5000x0.00001x2,问生产 多少单位时获得的利润最大? 33.某厂每批生产某种商品x单位的费用为C(x)5x200,得到的收益是 R(x)10x0.01x2,问每批生产多少单位时才能使利润最大? 34.某商品的价格P与需求量Q的关系为P10Q,求 (1)求需求量为20及30 5 时的总收益R、平均收益R及边际收益R; (2)Q为多少时总收益最大? 35.某工厂生产某产品,日总成本为C元,其中固定成本为200元,每多生产一单位产品,成本增加10元。 该商品的需求函数为Q502P,求Q为多少时,工厂日总利润L最大? 36.已知函数f(x)x3ax2bx的图象与x轴切于点(1,0),求f(x)的极大值与极小值。 37.已知f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1),且在x1处的切线方程是 yx2。 (1)求yf(x)的解析式; (2)求yf(x)的单调递增区间。 38.已知函数f(x)x33ax23bxc在x2处有极值,其图象在x1处的切线 与直线6x2y50平行. (1)求函数的单调区间; (2)当x[1,3]时,f(x)14c2恒成立,求实数c的取值范围。 39.已知x2是函数f(x)(x2ax2a3)ex的一个极值点(e2.718) (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)在x[3,3]的最大值和最小值. 2 40.已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd的图象如图所示. (1)求c,d的值; (2)若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110,求函数f(x) 的解析式; (3)在 (2)的条件下,函数yf(x)与y1f(x)5xm的图象有 3 三个不同的交点,求m的取值范围。 41.已知函数f(x)alnxax3(aR). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)函数f(x)的图像在x4处切线的斜率为3,若函数g(x)】x3x2[f'(x)m] 232 在区间(1,3)上不是单调函数,求m的取值范围。 42.已知常数a0,e为自然对数的底数,函数f(x)exx,g(x)x2alnx. (1)写出f(x)的单调递增区间,并证明eaa; (2)讨论函数yg(x)在区间(1,ea)上零点的个数. 43.已知函数f(x)x3ax2bxc的图象经过坐标原点,且在x1处取得极大值. (1)求实数a的取值范围; 2 (2)若方程f(x)(2a3)恰好有两个不同的根,求f(x)的解析式; 9 (3)对于(II)中的函数f(x),对任意、R,求证: |f(2sin)f(2sin)|81. 44.已知函数f(x)In(x1)k(x1)1. (1)当k1时,求函数f(x)的最大值; (2)若函数f(x)没有零点,求实数k的取值范围; 45.定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,): (1)令函数f(x)F(3,log2(2xx24)),写出函数f(x)的定义域; (2)令函数g(x)F(1,log2(x3ax2bx1))的图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在x°(4X。 1)处有斜率为—8的切线,求实数a的取值范围; (3)当x,yN*且xy时,求证F(x,y)F(y,x)。 : 对任意两个不相 f(X2)1 X2 46.已知函数f(x)x4x(2a)lnx,(aR,a0) (1)当a=18时,求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值。 47.已知函数f(x)x(x6)alnx在x(2,)上不具有单调性. (1)求实数a的取值范围; 2 (2)若f(x)是f(x)的导函数,设g(x)f(x)6飞,试证明 x 等正数為、X2,不等式*)g(x2)|H|x1疝恒成立。 1 48.已知函数f(x)-x2ax(a1)lnx,a1.2 (1)讨论函数f(x)的单调性; 、1 49.已知函数f(x)x2alnx,g(x)(a1)x,a1. 2 (1)若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实 数a的取值范围; (2)若a(1,e](e2.71828L),设F(x)f(x)g(x),求证: 当为裁[1,a]时,不等式|F(xJF(X2)|1成立。 50.设曲线C: f(x)lnxex(e2.71828),f(x)表示f(x)导函数. (1)求函数f(x)的极值; (2)对于曲线C上的不同两点AX,%),B(X2』2),xx,,求证: 存在唯一的x^(x,X2),使直线AB的斜率等于f(Xo)。 5.求证题 1.证明: 若函数f(x)在点Xo处可导,则函数f(x)在点Xo处连续。 2.证明: 当X1时'恒等式2忖X心寻成立。 3.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)0,证明在(0,1)内存在一点c,使cf(c)2f(c)f(c). 4.已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)1,f (1)0,证明在(0,1) 内至少存在一点? ? 使得? %? ? =- ? ? ? ? 。 ? ? 5.证明不等式: sinx2six2为。 6.证明不等式: nbn1(ab)anbnnan1(ab)(n1,ab0) 7.证明函数yxln(1x2)单调增加 8.证明函数ysinxx单调减少。 9.证明不等式: 2、二3- x (x0,x1)。 10.证明: 当x0时, ln(1x) 11.证明方程x33x10在(0,1)内只有一个实根
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