新人教版高中数学必修2知识点总结.docx
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新人教版高中数学必修2知识点总结
高中数学必修2知识点总结
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,
由这些面所围成的几何体。
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:
用各顶点字母,如五棱柱
ABCDEA或用对角线的端点字母,如五棱柱'BCDE
'BCDE
''''
AD
'
几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于
底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:
用各顶点字母,如五棱锥
P
A'B'C'D'E
'B'C'D'E
'
几何特征:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高
的比的平方。
(3)棱台:
定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:
用各顶点字母,如五棱台
P
'BCDE
'''
A
'
几何特征:
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:
①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
定义:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征:
①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
定义:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
几何特征:
①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
定义:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征:
①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图:
正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注:
正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
(2)画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等
(3)直观图:
斜二测画法
(4)斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
(5)用斜二测画法画出长方体的步骤:
(1)画轴
(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3空间几何体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
'
h为斜高,l为母线)
1
S正棱锥侧面积Srl
ch
S直棱柱侧面积chS圆柱侧2rh'
圆锥侧面积
2
1
S正棱台侧面积(c1c)h'S圆台侧面积(rR)l
2
2
S圆柱表2rrlS圆锥表rrl
S圆台表r
2rlRlR2
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
VSh
柱
2
VShrh
圆柱
1
1
2
V锥ShVrh
圆锥
33
1
''
V台(SSSS)h
3
11
''22
V(SSSS)h(rrRR)h
圆台
33
(4)球体的表面积和体积公式:
V
球=
4
3
R;S球面=
3
2
4R
第二章直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
DC
(1)平面
α
①平面的概念:
A.描述性说明;B.平面是无限伸展的;AB
②平面的表示:
通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一
个锐角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
③点与平面的关系:
点A在平面内,记作A;点A不在平面内,记作A
点与直线的关系:
点A的直线l上,记作:
A∈l;点A在直线l外,记作Al;
直线与平面的关系:
直线l在平面α内,记作lα;直线l不在平面α内,记作lα。
(2)公理1:
如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线)
应用:
检验桌面是否平;判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
Al,Bl,A,Bl
(3)公理2:
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:
一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:
①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
(4)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:
平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。
符号语言:
PABABl,Pl
公理3的作用:
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:
交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
1.4空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:
同一平面内,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:
设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥cc∥b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直
线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
2
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
1.5—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行。
符号表示:
Aα
bβ=>a∥α
a∥b
1.6平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
Bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
1.7—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:
线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:
如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直
线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂
足。
L
ΑP
2、判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
1.8平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
2、二面角的记法:
二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
1.9—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系
直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
第三章直线与方程
2.4直线的倾斜角和斜率
2.3.2倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
2、倾斜角α的取值范围:
0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=
tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
斜率公式:
k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,
那么它们平行,即
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即
如果k1=k2,那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负
倒数,那么它们互相垂直,即()
yy0kxx
0
1.10直线的点
22
PPxxyy
122221
斜式方程
1、直线的点斜式方程:
直线l经过点P0(x,y),且斜率为k
00
2、、直线的斜截式
方程:
已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b)ykxb
1.11直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:
已知两点P1(x,x),P(x,y)其中(x1x,yy)y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
12222212
2、直线的截距式方程:
已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0
1.12直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:
关于x,y的二元一次方程AxByC0(A,B不同时为0)
2、各种直线方程之间的互化。
2.5直线的交点坐标与距离公式
2.3.3两直线的交点坐标
1、给出例题:
两直线交点坐标
L1:
3x+4y-2=0L1:
2x+y+2=0
解:
解方程组
3x4y20
2x2y20
得x=-2,y=2
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.1.3两点间距离
两点间的距离公式
3.1.4点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式:
点(,)
Px0y到直线l:
AxByC0的距离为:
0
d
Ax
0
2
A
By
0
B
2
C
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直
线l1和l2的一般式方程为l1:
AxByC10,
l:
AxByC20,则l1与l2的距离为
2
d
C
1
2
A
C
2
B
2
第四章圆与方程
1.13圆的标准方程
1、圆的标准方程:
222
(xa)(yb)r
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点M(x0,y0)与圆
222
(xa)(yb)r的关系的判断方法:
(1)
22
(xa)(yb)>
00
2
r,点在圆外
(2)
22
(xa)(yb)=
00
2
r,点在圆上
(3)
22
(xa)(yb)<
00
2
r,点在圆内
1.14圆的一般方程
1、圆的一般方程:
x2y2DxEyF0
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指
出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
2.6圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
2yDxEyF
2
DE
设直线l:
axbyc0,圆C:
x0,圆的半径为r,圆心(,)
22
到直
线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当dr时,直线l与圆C相离;
(2)当dr时,直线l与圆C相切;
(3)当dr时,直线l与圆C相交;
2.7圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当lr1r2时,圆C1与圆C2相离;
(2)当lr1r2时,圆C1与圆C2外切;
(3)当|r1r2|lr1r2时,圆C1与圆C2相交;
(4)当||
lr1r时,圆C1与圆C2内切;(5)当l|r1r2|时,圆C1与圆C2内含;
2
1.15直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
(1)设直线l:
AxByC0,圆222
C,圆心Ca,b到l的距离为
:
xaybr
则有drl与C相离;drl与C相切;drl与C相交
AaBbC
d,
2B
2
A
(2)设直线l:
AxByC0,圆
22
2
C:
xaybr,先将方程联立消元,得到一个一元二次
方程之后,令其中的判别式为,则有
0l与C;0l与C相切;0l与C相交
相离
2
xx0yyr去解直线与圆相切的问题,其中x0,y0表示注:
如果圆心的位置在原点,可使用公式
0
切点坐标,r表示半径。
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:
建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为
代数问题;
第二步:
通过代数运算,解决代数问题;
第三步:
将代数运算结果“翻译”成几何结论.
(3)过圆上一点的切线方程:
2
2,圆上一点为(x
xx0yyr(课本命题).①圆x2+y2=r0,y0),则过此点的切线方程为
0
2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推
②圆(x-a)
广).
2.8空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z),x、y、z分别是P、Q、
RR在x、y、z轴上的坐标
M
2、有序实数组(x,y,z),对应着空间直角坐标系中的一点
Oy
Q
P
M'
3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示,该数组叫
x
做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记M(x,y,z),x叫做点
M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标。
z
2.9空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公
P1
P2
式
O
M1
M
M2H
N2
y
N1
N
x
22
P1P(xx)(yy)(zz)
2121212
2
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