高中数学必修一函数与方程的思想.docx
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高中数学必修一函数与方程的思想
函数与方程的思想
函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系,通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式,然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来,则可把关系式看作一个方程,通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想,就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的的解题思路和策略,它是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究
函数是初中代数的重点,也是难点,在中考的代数部分所占比重最大,综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是:
函数自变量取值范围,正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质,画函数图像,求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题,常常要用到多个数学思想方法,纵观近几年的中考题,基本上都是函数、方程、几何(主要是圆)的综合题。
1.初中函数知识网络
2.命题思路与知识要点:
2.1一般函数
2.1.1考查要点:
平面直角坐标系的有关概念;常量、变量、函数的意义;函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2.1.2考纲要求:
理解平面直角坐标系的有关概念,掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征,会求对称点坐标,能确定函数自变量的取值范围。
2.1.3主要题型:
填空题,选择题,阅读理解题。
2.1.4知识要点:
(1)平面直角坐标系中,每一个点都与有序实数对一一对应;象限与坐标符号如图1。
(2)特殊位置上点的坐标特点:
①点P(x,y)在x轴上y=0;
点P(x,y)在y轴上x=0;
②点P(x,y)在第一、三象限角平分线上x=y;
点P(x,y)在第二、四象限角平分线上x+y=0;
③点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y);
点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y);
点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y);
确定函数自变量取值范围,就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
一般从以下几方面考虑:
(1)解析式型:
函数直接由解析式给出,不涉及其它问题。
主要有以下五种情况:
①整式型:
自变量的取值范围是全体实数;②分式型:
自变量的取值范围是使分母不为零的实数;③二次根式型:
自变量的取值范围是使被开方式为非负数的实数;④零指数和负指数型:
自变量的取值范围是使底数不为零的实数。
⑤综合型:
自变量的取值范围是使各部分有意义的公共部分。
(2)具体问题型:
函数涉及具体问题时,要考虑使具体问题有意义。
主要有以下两种情况:
①几何问题型:
要使自变量取正值,且满足几何的定义、公理、定理等;②实际问题型;自变量的取值使实际问题有意义。
(3)动态问题型:
在动态问题中,自变量的取值范围受动点运动范围的限制。
一般先求动点运动的极端值,从而确定自变量的取值范围。
自变量的取值范围可以是无限的,也可以是有限的,甚至可以是几个数或单独的一个数。
2.2一次函数
2.2.1考查要点:
一次函数的概念、图象、性质;一次函数解析式的确定。
2.2.2考纲要求:
理解正比例、一次函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式;熟练掌握一次函数的图象及其性质,并能灵活运用。
2.2.3主要题型:
填空题,选择题,解答题。
2.2.4知识要点:
(1)一般地,如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么,y叫做x的一次函数。
k、b是常数的含义是,对于一个特定的函数式,k和b的值是固定的。
k≠0这个条件不能省略不写,若k=0,则y=kx+b变形为y=b,b是关于x的0次式,因此不是一次函数。
特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时y叫做x的正比例函数。
正比例函数是一次函数的特例。
(2)一次函数的图象是一条直线。
由几何知识可得,要画一条直线只要知道两点就可以了。
所以一次函数图象的方法是:
只要先描出两点,再连成直线就可以了。
画正比例函数y=kx的图象,通常取(0,0)和(1,k)两点连成直线。
画一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象,通常选取
和
两点连成直线。
通常,我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b。
直线的倾斜形态与k的关系如下:
(1)k>0时,直线的倾斜形态“/”;
(2)k<0时,直线的倾斜形态“\”。
要树立“数形结合”的数学思想方法。
由k的数值(正、负)决定出直线的倾斜形态,反之,由直线的倾斜形态能确定k的正、负。
y=kx+b(k≠0)与y=kx(k≠0)的图象是两直平行线。
直线所经过的象限与k、b的关系:
示意图
k、b的符号
k>0
k>0
b>0
b<0
b>0
b<0
直线y=kx+b所经过的象限
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
直线y=kx+b不经过的象限
四
三
二
一
(3)一次函数的性质:
一般地,正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b都有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,y随x的增大而减小。
(4)一次函数解析式的确定:
在正比例函数y=kx(k≠0)中,只要求出k的数值,这个正比例函数解析式就求得。
所以求y=kx(k≠0)所需条件是一个点坐标。
由于一次函数y=kx+b(k≠0)中需要求出k与b的数值,所以需要两个点的坐标(或说两个相互独立的条件),代入解析式中,得到关于k与b的二元一次方程组,通过解方程组求出k与b的数值。
要注意掌握由坐标求线段长度,由线段长度求坐标的转换方法。
掌握由直线解析式求与坐标轴交点的坐标和由直线上两点坐标,求直线解析式的方法。
掌握求两直线交点坐标的方法。
2.3反比例函数
2.3.1考查要点:
反比例函数的概念、图象、性质;反比例函数解析式的确定。
2.3.2考纲要求:
理解反比例函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式;熟练掌握反比例函数的图象及其性质,并能灵活运用。
2.3.3主要题型:
填空题,选择题,解答题,应用题。
2.3.4知识要点:
(1)如果y=
(或y=kx
或xy=k)(k≠0),那么y叫做x的反比例函数。
注意反比例函数有三种不同表现形式:
①y=
(k≠0);②y=kx
(k≠0);③xy=k(k≠0)。
自变量x的取值范围是x≠0的实数。
在反比例函数中,两个变量成反比例关系。
因此,判定两个变量是否成反比例关系,看是否能写成反比例函数关系,即两个变量的积是不是一个不为0的常数。
(2)反比例函数y=
(或y=kx
或xy=k)(k≠0)的图象是由两条曲线组成,叫做双曲线,它们关于原点成中心对称。
反比例函数的图象是两条双曲线,两条双曲线既不过原点,又与两个坐标轴不相交(因为xy≠0),它只是无限接近x轴和y轴。
用描点法画反比例函数图象时,可先画一个分支,由两个分之关于原点对称的性质,再画另一个分支。
要注意两个分支不能相连,即两个分支是断开的。
(3)反比例函数解析式的确定。
因为反比例函数解析式y=
(k≠0),只含有一个待定系数,所以要确定函数解析式,只需要已知图象所经过的一个点的坐标即可。
(4)反比例函数性质的学习要结合图象进行。
k>0时,反比例函数y=
(或y=kx
)的图象在一、三象限,函数y在每个象限内随x的增大而减小。
k<0时,反比例函数y=
(或y=kx
)的图象在二、四象限,函数y在每个象限内随x的增大而增大。
(5)反比例函数y=
(或y=kx
)(k≠0)中比例系数k的几何意义是:
过双曲线上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=
。
如果再连结PO,则
。
如图2。
(6)一次函数与二元一次方程(组)的关系:
将一次函数y=kx+b移项,得kx-y+b=0,可以看出这是一个二元一次方程。
这样,y=kx+b的图象也是方程kx-y+b=0图象,图象上每个点的坐标都适合方程kx-y+b=0,也就是方程kx-y+b=0的解。
直线y=kx+b与x轴的交点的纵坐标等于0,即直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解。
设直线
和直线
的交点坐标为(a,b),则a,b适合这两个函数关系式。
所以直线
和直线
的交点坐标就是方程组
的解。
因此,我们可以用图象法来求一元一次方程、二元一次方程组以及一元一次不等式的近似解。
2.4二次函数
2.4.1考查要点:
描点法画函数图象;二次函数和抛物线的有关的概念、性质;二次函数解析式的确定。
2.4.2考纲要求:
了解描点法画函数图象,理解二次函数和抛物线的有关的概念,抛物线的顶点、对称轴;会用待定系数法求出函数解析式;熟练掌握二次函数的图象及其性质,并能灵活运用。
2.4.3主要题型:
填空题,选择题,解答题,阅读理解题,应用题。
2.4.4知识要点:
(1)二次函数解析式,主要有两种形式:
一般式y=ax2+bx+c与顶点式y=a(x-h)2+k,其中a≠0。
它的图象为抛物线,其位置与各系数关系为:
(1)a决定抛物线的开口方向:
a>0,开口向上;a<0,开口向下;
(2)抛物线与y轴交点的坐标为(0,c);(3)a、b结合决定抛物线对称轴的位置,对称轴x=-
,若a、b同号,则对称轴在y轴左侧;若b=0,则对称轴是y轴;若a、b异号,则对称轴在y轴右侧;(4)一般式的顶点坐标为(-
,
),顶点式的顶点坐标为(h,k)。
(2)求二次函数的解析式一般用待定系数法,但要根据不同条件,设出恰当的解析式:
若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式;若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。
3.中考函数新颖试题分析
中考数学试题里,有关函数的试题覆盖了函数的主要考点,且出现了一些体现新课程理念,具有强烈的时代气息的新颖试题,下面结合一些事例作简单分析。
3.1.坐标系与相似三角形
例1请同学们在右边的同一个直角坐标系中,画出两个形状相同,但面积不等的三角形。
答案不唯一。
如
评注:
此给学生广阔的思维空间,体现数形结合思想,学生可从边或角两个角度探求直角,画出符合要求的直角三角形。
本题考查学生发散思维的能力、运用知识解决问题的能力及数形结合思想。
3.2.网格与坐标系
例2如图,是象棋盘的一部分,若帅位于点(1,-2)上,相位于点(3,-2)上,则炮位于点()上。
A.(-1,1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-2,2)
例3(2005年杭州市)如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内,白棋②的坐标为
白棋④的坐标为
那么黑棋①的坐标应该是.
答案:
C;(-3,-7)
评注:
这两个题充分利用方格纸的特点及坐标的有关知识,将方格纸与平面直角坐标系以及学生熟悉的象棋、围棋联系在一起,新颖而有趣味性。
3.3.网格与坐标系与中心对称
例4如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心。
此时,M是线段PQ的中点。
如图,在直角坐标系中,⊿ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0)。
点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿ABO的一个顶点对称:
点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称,…。
对称中心分别是A、B,O,A,B,O,…,且这些对称中心依次循环。
已知点P1的坐标是(1,1),试求出点P2、P7、P100的坐标。
答案:
P2(1,-1)P7(1,1)P100=(1,-3)
评注:
本题将中心对称、坐标以及规律寻找结合起来。
3.4.阅读函数图象,解决实际问题。
例5某游乐场每天的赢利额y(元)与售出的门票x(张)之间的函数关系如图所示.
(1)当0≤x≤200,且x为整数时,y关于x的函数解析式为;
当200<x≤300,且x为整数时,y关于x的函数解析式为.
(2)要使游乐场一天的赢利超过1000元,试问该天至少应售出多少张门票?
(3)请思考并解释图像与y轴交点(0,-1000)的实际意义.
(4)根据图像,请你再提供2条信息。
答案:
(1)y=100x-1000;
(2)y=150x-2500。
(3)没有售出门票时,亏损1000元。
(4)答案不惟一。
评注:
此题巧妙地将函数知识与实际生活情景联系在一起。
3.5.二次函数的最值与应用。
由
可知:
当a>0时,顶点
是抛物线
的最低点,即
时,二次函数
取得最小值
。
当a<0时,顶点
是抛物线
的最高点,即
时,二次函数
取得最大值
。
例6某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品。
已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元。
在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系。
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支)。
当销售单价x为何值时,年获利最大?
并求这个最大值;
(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助⑵中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围。
在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
答案:
(1)
(2)当
元时,年获利最大为60万元。
(3)要使销售量最大,又要使年获利不低于40万元,销售单价应定为80元。
评注:
本题在日常情景中,运用了许多数学知识,如解方程组,二次函数的画图及求二次函数的极值。
应用二次函数的有关知识,分析和解决生产、生活或相关学科中简单问题,既可提高学习数学的兴趣,又能增强用数学的意识,也是当前体现“人人学有用数学”的热点考题。
需要注意的是,实际问题中,有时需要根据实际问题的具体情况确定“局部最值”。
3.6.函数与跨学科试题
例7在某一电路中,保持电压不变,电流I(安)与电阻R(欧)成反比例函数关系,其图像如图3,则这一电路的电压为伏.。
析解:
因为在某一电路中,保持电压不变,电流I(安)与电阻R(欧)成反比例函数关系。
所以可设
。
又根据图象过(2,5)。
所以容易求得U=IR=10(伏)。
评注:
动态的数量变化预示着函数的广泛运用。
实际生活中的许多问题都可以用函数的有关知识来解决。
尽管我们初中生的数学知识十分有限,但也能解决不少的实际问题。
在我们学习的物理知识中,许多物理量之间的关系就是我们数学上的反比例函数关系。
在倡导素质教育的今天,在数学试题中渗透物理知识是一个新热点。
在近几年的中考数学试题中,已开始出现数学与物理综合的考题,学科结合型试题也是今后中考命题的一个趋势,值得引起大家的注意。
3.7.函数探索性试题
例8如图,P是y轴上一动点,是否存在平行于y轴的直线x=t,使它与直线y=x和直线
分别交于点D、E(E在D的上方),且△PDE为等腰直角三角形。
若存在,求t的值及点P的坐标;若不存在,请说明原因。
分析:
对存在性探索试题,其一般解题思路是:
先对作出肯定的假设,然后由肯定假设出发,结合已知条件进行正确的推理或计算,再对得出的结果进行分析检验,说明假设是否正确,由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。
顺着这种思路,对该题,我们很容易得到以下两种解法。
答案:
存在。
当t=
时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,
)或(0,
);当
时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,
);当t=-4时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,0)。
评注:
所谓探索型试题,是指缺少一定的题设和结论,需要学生自己推断、补充并加以解决的一类数学考题。
由于这类考题形式新颖、思考方向不确定,因此,综合性和逻辑性较强,它着力于考查学生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力,对提高学生的思维品质,培养学生独立解决问题的能力具有十分重要的作用,因此成为近年来各地中考命题的一类热门题型。
其具体形式多样,其中,存在性探索题是最常见的一类。
3.8.函数综合题
例9如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C。
(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标;
(2)若直线y=kx+t经过C、M两点,且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形;(3)点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索:
在x轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
解:
(1)A(-1,0),B(3,0);C(0,3).
(2)略。
(3)满足题意的点P存在,其坐标为(1,
)。
评注:
这是最典型的中考数学压轴题。
几何中的基本元素——线段做为函数中的变量,求函数解析式,一般寻找一个等量关系列方程,再转化为函数解析式,难点是求自变量取值范围及画函数图象的示意图。
函数知识与几何知识相互转化的基础是|点坐标|=线段长。
一般解题思路是:
(1)已知点坐标线段长,线段长……点坐标;
(2)用待定系数法求函数解析式;(3)解析式点坐标线段长面积及其它。
解综合题中注意合理运用点在函数图象上,点的坐标适合函数解析式:
(1)已知点P(a,b)(a,b为已知数)代入含“待定系数”的函数解析式构造关于待定系数的方程。
(2)点P(a,k)或(k,b)(其中a,b为已知数,k为待定系数)代入含“待定系数k”的函数解析式,构造关于k的方程。
(3)已知点P(a,y)或(x,b)(其中a,b为已知数,x,y为未知数),代入已知函数解析式,则可以用关于a的代数式表示y或用关于b的代数式表示x。
(4)已知点P(x,b)(其中b为已知数,x为未知数),代入含待定系数k的函数解析式,可以用含k的代数式表示x。
解函数——几何综合题时,注意图形的分解。
(把基本的几何图形从直角坐标系中分离出来,求出所需线段长后,再放回坐标系中)。
解函数——几何综合题时,注意对点位置的讨论。
综合题的学习既要见题有一定的思路,又不能模式化地套用旧有模式,应以数学思想方法为指导,致力于能力的提高。
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