高三数学教案数学圆锥曲线最经典题型教案.docx
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高三数学教案数学圆锥曲线最经典题型教案
高三数学教案:
数学圆锥曲线最经典题型教案
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“高三数
学教案:
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本文题目:
高三数学教案:
数学圆锥曲线最经典题型教案
第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查
1、(2010辽宁理数)设双曲线的个焦点为F;虚轴的个端点为B,如果直线
FB与该双曲线的一条渐
近线垂直,那幺此双曲线的离心率为
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、(2010辽宁理数)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一
点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为,那幺|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、(2010上海文数)8.动点到点的距离与它到直线的距离相等,则的轨
迹方程为y28x。
4、(2010全国卷2理数)(15)已知抛物线的准线为,过且斜率为的直线
与相交于点,与的一个交点为.若,则.
若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=,则b等于 。
【答案】1
5、已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______,直线
与椭圆C的公共点个数_____。
6、已知点P是双曲线右支上一点,、分别是双曲线的左、右焦点,I为
的内心,若成立,则双曲线的离心率为(▲)
A.4B.C.2D.
8、(2010重庆理数)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其
中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
解析:
排除法轨迹是轴对称图形,排除A、C,轨迹与已知直线不能有交
点,排除B
9、(2010四川理数)椭圆的右焦点,其右准线与轴的交点为A,在椭圆
上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
解析:
由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=
|PF|∈[a-c,a+c]
于是∈[a-c,a+c]
即ac-c2小于等于b2小于等于ac+c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案:
D
10、(2010福建理数)若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双
曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】B
11、(北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题)已知有公共
焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且它们
在第一象限的交点为P,是以为底边的等腰三角形.若,双曲线的离心率的
取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.
12、(2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科)已知双曲线的左顶点
为,右焦点为,为双曲线右支上一点,则的最小值为___________.
13、(北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科)直线过双曲线的
右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于,两点,若原点在以为直径的圆
外,则双曲线离心率的取值范围是.
14、(2010全国卷1文数)已知、为双曲线C:
的左、右焦点,点P在C
上,∠=,则
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、(2010全国卷1理数)(9)已知、为双曲线C:
的左、右焦点,点P在
C上,∠P=,则P到x轴的距离为
(A)(B)(C)(D)
16、(2010重庆理数)(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,
则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析:
设BF=m,由抛物线的定义知
中,AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
17、(2010上海文数)已知椭圆的方程为,、和为的三个顶点.
(1)若点满足,求点的坐标;
(2)设直线交椭圆于、两点,交直线于点.若,证明:
为的中点;
(3)设点在椭圆内且不在轴上,如何构作过中点的直线,使得与椭
圆的两个交点、满足?
令,,点的坐标是(-8,-1),若椭圆上的点、
满足,求点、的坐标.
解析:
(1);
(2)由方程组,消y得方程,
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“高三数学教
案:
高考数学抛物线复习教案”希望能为您的提供到帮助。
本文题目:
高三数学教案:
高考数学抛物线复习教案
1抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
2抛物线的图形和性质:
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距:
③通径:
过焦点垂直于轴的弦长为。
④顶点平分焦点到准线的垂线段:
。
⑤焦半径为半径的圆:
以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。
所有这
样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆:
以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直
线相切。
所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆:
以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。
所有这样
的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式:
4抛物线的图像和性质:
①焦点坐标是:
,
②准线方程是:
。
③焦半径公式:
若点是抛物线上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称
为焦半径)是:
,
④焦点弦长公式:
过焦点弦长
⑤抛物线上的动点可设为P或或P
5一般情况归纳:
方程图象焦点准线定义特征
y2=kxk>0时开口向右(k/4,0)x=─k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=
─k/4的距离
kx2=kyk>0时开口向上(0,k/4)y=─k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=
─k/4的距离
k抛物线的定义:
例1:
点M与点F(-4,0)的距离比它到直线l:
x-6=0的距离4.2,求点M
的轨迹方程.
分析:
点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定
义.
答案:
y2=-16x
例2:
斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于点A、
B,求线段A、B的长.
分析:
这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:
把求弦长AB转化为
求A、B两点到准线距离的和.
解:
如图8-3-1,y2=4x的焦点为F(1,0),则l的方程为y=x-1.
由消去y得x2-6x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=6.
又A、B两点到准线的距离为,,则
点评:
抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重
要的作用。
例3:
(1)已知抛物线的标准方程是y2=10x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点是F(0,3)求它的标准方程;
(3)已知抛物线方程为y=-mx2(m>0)求它的焦点坐标和准线方程;
(4)求经过P(-4,-2)点的抛物线的标准方程;
分析:
这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清
属哪类标准型,再录求P值(注意p>0).特别是(3)题,要先化为标准形式:
,
则.(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解.
答案:
(1),.
(2)x2=12y(3),;(4)y2=-x或x2=-8y.
例4求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上
分析:
从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实
际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论
解:
(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),
∵过点(-3,2),
∴4=-2p(-3)或9=2p•2
∴p=或p=
∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y,前者的准线方程是x=,后
者的准线方程是y=-
(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)
当焦点为(4,0)时,=4,
∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;
焦点为(0,-2)时,=2,
∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,
对应的准线方程分别是x=-4,y=2
常用结论
①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
②设A(x1,y),1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点,则AB过F的
充要条件是y1y2=-p2
③设A,B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点,则OA⊥OB的
充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)
例5:
过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作弦OA⊥OB,与抛物线分别
交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:
y1y2=-4p2.
分析:
由OA⊥OB,得到OA、OB斜率之积等于-1,从而得到x1、
x2,y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点,故(x1,y1)、(x2,y2)满
足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.
证:
由OA⊥OB,得,即y1y2=-x1x2,又,,所以:
,即.而
y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.
弦的问题
例1A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,满足OAOB(O为坐标
原点)求证:
(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;
(2)直线AB经过一个定点
(3)作OMAB于M,求点M的轨迹方程
解:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得:
x1x2=4p2,y1y2=─4p2(定值)
(2)直线AB的斜率k===,
∴直线AB的方程为y─y1=(x─),
即y(y1+y2)─y1y2=2px,由
(1)可得y=(x─2p),
直线AB过定点C(2p,0)
(3)解法1:
设M(x,y),由
(2)知y=(x─2p)(i),
又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即•=─1(ii)
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0(x0)
解法2:
由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆
(除去原点)立即可求出
例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为
M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标
解:
如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=,y=,
又设点A,B,M在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的
交点为N,
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=乘以==3,
∴k2=1/2,此时x=(x1+x2)==
∴y=±即M(,),N(,─)
例3设一动直线过定点A(2,0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在
轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,
并说明该轨迹是什幺图形
解析:
设,
,
由得
①
又代入①式得②
由得代入②式得:
由得或,又由①式知关于是减函数且
,且
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
(且)
例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的
垂直平分线恒过定点S(6,0)
①求抛物线方程;②求面积的最大值
解:
①设,AB中点
由得
又得
所以依题意,
抛物线方程为
②由及,
令得
又由和得:
例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为
M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标
解:
如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=,y=,
又设点A,B,M在准线:
x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的
交点为N,
则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,
∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)(|AB|─)=
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─)
由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|=|x1─x2|=乘以==3,
∴k2=1/2,此时x=(x1+x2)==
∴y=±即M(,),N(,─)
综合类(几何)
例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶
点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
解:
思路一:
求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ//x轴,
为此,将方程联立,解出
直线OP的方程为即
令,得M点纵坐标得证.
由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.
思路二:
利用命题“如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交,
两上交点的纵坐标为、,那幺”来证.
设、、,并从及中消去x,得到,则有结论,即.
又直线OP的方程为,,得.
因为在抛物线上,所以.
从而.
这一证法运算较小.
思路三:
直线MQ的方程为的充要条件是.
将直线MO的方程和直线QF的方程联立,它的解(x,y)就是点P的坐
标,消去的充要条件是点P在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来
进行逆向思维,运算量也较小.
说明:
本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证
明成立.
例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,点
R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求△RAB的最大面积.
分析:
求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以
为三角形的底,只要确定高的最大值即可.
解:
设AB所在的直线方程为.
将其代入抛物线方程,消去x得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为.代入抛物线方程得
由得,这时.它到AB的距离为
∴△RAB的最大面积为.
例3直线过点,与抛物线交于、两点,P是线段的中点,直线过
P和抛物线的焦点F,设直线的斜率为k.
(1)将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数;
(2)求出的定义域及单调区间.
分析:
过点P及F,利用两点的斜率公式,可将的斜率用k表示出来,
从而写出,由函数的特点求得其定义域及单调区间.
解:
(1)设的方程为:
,将它代入方程,得
设,则
将代入得:
,即P点坐标为.
由,知焦点,∴直线的斜率
∴函数.
(2)∵与抛物线有两上交点,∴且
解得或
∴函数的定义域为
当时,为增函数.
例4如图所示:
直线l过抛物线的焦点,并且与这抛物线相交于A、B两
点,求证:
对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平
分线.
分析:
本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方
程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结
论.
证法一:
假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线
交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,
且不为0.
设C、D的坐标分别为与.则
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点在直线l上,
即,化简得:
由知得到矛盾,所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.
证法二:
假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上,∴
由抛物线定义,到抛物线的准线的距离相等.
∵,
∴CD的垂直平分线l:
与直线l和抛物线有两上交点矛盾,下略.
例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直,求抛物线顶点O
在AB上射影N的轨迹方程.
分析:
求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点;待求得的关系后
再用动点坐标来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.
解法一:
设
则:
,
,即
,①
把N点看作定点,则AB所在的直线方程为:
显然
代入化简整理得:
,②
由①、②得:
,化简得
用x、y分别表示得:
解法二:
点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,
设,则以OA为直径的圆方程为:
①
设,OA⊥OB,则
在求以OB为直径的圆方程时以代,可得
②
由①+②得:
例6如图所示,直线和相交于点M,⊥,点,以A、B为端点的
曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角
形,,,且,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
分析:
因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以为准线的抛物线的
一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C所满足的抛物线方程.
解:
以为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系.
由题意,曲线段C是N为焦点,以为准线的抛物线的一段,其中A、B
分别为曲线段的两端点.
∴设曲线段C满足的抛物线方程为:
其中、为A、B的横坐标
令则,
∴由两点间的距离公式,得方程组:
解得或
因为直线交椭圆于、两点,
所以>0,即,
设C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中点坐标为(x0,y0),
则,
由方程组,消y得方程(k2k1)xp,
又因为,所以,
故E为CD的中点;
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上,所以点F在椭圆Γ
内,可以求得直线OF的斜率k2,由知F为P1P2的中点,根据
(2)可得直线
l的斜
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