第2章《一元二次方程》易错题集0322 一元二次方程的解法.docx
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第2章《一元二次方程》易错题集0322一元二次方程的解法
第2章《一元二次方程》易错题集(03):
2.2一元二次方程的解法
选择题
1.如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体相对两个面上的数相同,且不相对两个面上的数值不相同,则“★”面上的数为( )
A.
1
B.
1或2
C.
2
D.
2或3
2.若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0,则此三角形的周长为( )
A.
8
B.
10或8
C.
10
D.
6或12或10
3.已知a+
,则
的值为( )
A.
﹣1
B.
1
C.
2
D.
不能确定
4.(2009•潍坊)关于x的方程(a﹣6)x2﹣8x+6=0有实数根,则整数a的最大值是( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
5.(2009•荆门)关于x的方程ax2﹣(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解),则a的值为( )
A.
a=0
B.
a=2
C.
a=1
D.
a=0或a=2
6.(2009•成都)若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.
k>﹣1
B.
k>﹣1且k≠0
C.
k<1
D.
k<1且k≠0
7.(2004•宿迁)已知关于x的一元二次方程(1﹣k)x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的最大整数值是( )
A.
2
B.
1
C.
0
D.
﹣1
8.(2003•北京)如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )
A.
k<1
B.
k≠0
C.
k<1且k≠0
D.
k>1
9.(2001•哈尔滨)方程
的根的情况是( )
A.
有两个不等的有理数根
B.
有两个相等的有理数根
C.
有两个不等的无理数根
D.
有两个相等的无理数根
10.若关于x的方程
有实数根,则k的取值范围为( )
A.
k≥0
B.
k>0
C.
k≥
D.
k>
11.关于x的方程
有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.
k>﹣1且k≠0
B.
k<
C.
k>﹣
且k≠0
D.
k<1
12.关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根,则整数a的最大值是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
13.关于x的方程(m﹣2)x2﹣2x+1=0有实数解,那么m的取值范围是( )
A.
m≠2
B.
m≤3
C.
m≥3
D.
m≤3且m≠2
14.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,如果a>0,a+c<b,那么方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
必有一个根为0
15.如果关于x的方程(m+1)x2+2mx+m﹣1=0有实数根,则( )
A.
m≠1
B.
m=﹣1
C.
m≠±1
D.
m为全体实数
16.(2003•岳阳)已知a、b、c是△ABC三边的长,则方程ax2+(b+c)x+
=0的根的情况为( )
A.
没有实数根
B.
有两个相等的正实数根
C.
有两个不相等的负实数根
D.
有两个异号的实数根
17.关于未知数x的方程ax2+4x﹣1=0只有正实数根,则a的取值范围为( )
A.
﹣4≤a≤0
B.
﹣4≤a<0
C.
﹣4<a≤0
D.
﹣4<a<0
18.关于x的一元二次方程x2+(k2﹣4)x+k+1=0的两实数根互为相反数,则k的值( )
A.
2
B.
0
C.
±2
D.
﹣2
19.已知方程x2﹣2(m2﹣1)x+3m=0的两个根是互为相反数,则m的值是( )
A.
m=±1
B.
m=﹣1
C.
m=1
D.
m=0
20.一元二次方程x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于( )
A.
2
B.
﹣4
C.
4
D.
3
21.设x2﹣px+q=0的两实根为α,β,而以α2,β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0,则数对(p,q)的个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
0
22.(2003•烟台)已知x为实数,且
,则x2+3x的值为( )
A.
1
B.
1或﹣3
C.
﹣3
D.
﹣1或3
23.若等腰△ABC的三边长都是方程x2﹣6x+8=0的根,则△ABC的周长是( )
A.
10或8
B.
1O
C.
12或6
D.
6或10或12
24.等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的两个实数根,则m的值是( )
A.
24
B.
25
C.
26
D.
24或25
填空题
25.(2005•新疆)若分式
的值为0,则x的值为 _________ .
26.当x= _________ 时,代数式
的值是0.
27.满足(x2+x﹣1)x+3=1的所有x的个数有 _________ 个.
28.关于x的一元二次方程(m﹣2)xm2﹣2+2mx﹣1=0的根是 _________ .
29.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+4x+a2﹣1=0的一根是0,则a= _________ .
30.用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程 _________ .
第2章《一元二次方程》易错题集(03):
2.2一元二次方程的解法
参考答案与试题解析
选择题
1.如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体相对两个面上的数相同,且不相对两个面上的数值不相同,则“★”面上的数为( )
A.
1
B.
1或2
C.
2
D.
2或3
考点:
解一元二次方程-因式分解法;专题:
正方体相对两个面上的文字.1906432
分析:
利用正方体及其表面展开图的特点可得:
面“x2”与面“3x﹣2”相对,面“★”与面“x+1”相对;再由题意可列方程求x的值,从而求解.
解答:
解:
这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,其中面“x2”与面“3x﹣2”相对,面“★”与面“x+1”相对.
因为相对两个面上的数相同,所以x2=3x﹣2,解得x=1或x=2,
又因为不相对两个面上的数值不相同,当x=2时,x+2=3x﹣2=4,所以x只能为1,即★=x+1=2.
故选C.
点评:
注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.
2.若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0,则此三角形的周长为( )
A.
8
B.
10或8
C.
10
D.
6或12或10
考点:
解一元二次方程-因式分解法;三角形三边关系.1906432
分析:
首先解方程x2﹣6x+8=0的解是2和4;再进一步确定三边的边长为2,4,4;2,2,4;三边都是2;三边都是4共四种情况进行讨论.
解答:
解:
由方程x2﹣6x+8=0,得x=2或x=4,
当三边是2,4,4时,周长是10;
当三边是2,2,4不能构成三角形,应舍去;
当三边都是2时,周长是6;
当三边都是4时,周长是12.
此三角形的周长为10或6或12,故选D.
点评:
求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯,不符合题意的应坚决弃之.
本题特别注意不要忘记三边都是2或都是4的情况.
3.已知a+
,则
的值为( )
A.
﹣1
B.
1
C.
2
D.
不能确定
考点:
解一元二次方程-因式分解法.1906432
分析:
把a,b中的一个当作未知数,就可得到一个方程,解方程即可求解.
解答:
解:
两边同乘以a,得到:
a2+(
﹣2b)a﹣2=0,
解这个关于a的方程得到:
a=2b,或a=﹣
,
∵a+
≠0,∴a≠﹣
,
故a=2b,∴
=2.故选C.
点评:
把其中的一个字母当作未知数,转化为方程问题是解决关键.
4.(2009•潍坊)关于x的方程(a﹣6)x2﹣8x+6=0有实数根,则整数a的最大值是( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
考点:
根的判别式.1906432
分析:
方程有实数根,应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程,两种情况进行讨论,当不是一元二次方程时,a﹣6=0,即a=6;
当是一元二次方程时,有实数根,则△≥0,求出a的取值范围,取最大整数即可.
解答:
解:
当a﹣6=0,即a=6时,方程是﹣8x+6=0,解得x=
=
;
当a﹣6≠0,即a≠6时,△=(﹣8)2﹣4(a﹣6)×6=208﹣24a≥0,解上式,得a≤
≈8.6,
取最大整数,即a=8.故选C.
点评:
通过△求出a的取值范围后,再取最大整数.
5.(2009•荆门)关于x的方程ax2﹣(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解),则a的值为( )
A.
a=0
B.
a=2
C.
a=1
D.
a=0或a=2
考点:
根的判别式.1906432
分析:
此题得需要讨论:
若此方程ax2﹣(a+2)x+2=0为一元二次方程时,即a≠0时,当△=0时,方程ax2﹣(a+2)x+2=0只有相等的两解,即[﹣(a+2)]2﹣4×a×2=0时方程ax2﹣(a+2)x+2=0只有一解;
若此方程ax2﹣(a+2)x+2=0为一元一次方程时,即a=0时,方程一定只有一解.
解答:
解:
当a≠0时,方程ax2﹣(a+2)x+2=0为一元二次方程,若方程有相等的两解,
则△=[﹣(a+2)]2﹣4×a×2=0,
整理得a2﹣4a+4=0,
即△=(a﹣2)2=0,
解得a=2;
当a=0时,方程ax2﹣(a+2)x+2=0为一元一次方程,
原方程转化为:
﹣2x+2=0,
此时方程只有一个解x=1.
所以当a=0或a=2关于x的方程ax2﹣(a+2)x+2=0只有一解.
故选D.
点评:
解此题时很多学生容易顺理成章的按一元二次方程进行解答,只解出a=2一个值,而疏忽了a=0时,此方程也有一解这一情况.
6.(2009•成都)若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.
k>﹣1
B.
k>﹣1且k≠0
C.
k<1
D.
k<1且k≠0
考点:
根的判别式.1906432
分析:
方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.注意考虑“一元二次方程二次项系数不为0”这一条件.
解答:
解:
因为方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
则b2﹣4ac>0,即(﹣2)2﹣4k×(﹣1)>0,
解得k>﹣1.又结合一元二次方程可知k≠0,
故选B.
点评:
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
本题容易出现的错误是忽视k≠0这一条件.
7.(2004•宿迁)已知关于x的一元二次方程(1﹣k)x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的最大整数值是( )
A.
2
B.
1
C.
0
D.
﹣1
考点:
根的判别式;一元二次方程的定义;一元一次不等式组的整数解.1906432
分析:
若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac>0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要注意二次项系数不为0.
解答:
解:
∵关于x的一元二次方程(1﹣k)x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴△=4+4(1﹣k)>0,且1﹣k≠0,
解得k<2,且k≠1,
则k的最大整数值是0.
故选C.
点评:
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
8.(2003•北京)如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )
A.
k<1
B.
k≠0
C.
k<1且k≠0
D.
k>1
考点:
根的判别式;一元二次方程的定义.1906432
分析:
方程有两个不相等的实数根,则△>0,由此建立关于k的不等式,然后就可以求出k的取值范围.
解答:
解:
由题意知:
k≠0,△=36﹣36k>0,
∴k<1且k≠0.故选C.
点评:
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键.
9.(2001•哈尔滨)方程
的根的情况是( )
A.
有两个不等的有理数根
B.
有两个相等的有理数根
C.
有两个不等的无理数根
D.
有两个相等的无理数根
考点:
根的判别式.1906432
分析:
判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
解答:
解:
∵a=1,b=
,c=3
∴△=b2﹣4ac=(
)2﹣4×1×3=0
∴方程有两个相等的实数根,又因为方程的根为x=
∴方程有两个相等的无理数根
故本题选D.
点评:
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
10.若关于x的方程
有实数根,则k的取值范围为( )
A.
k≥0
B.
k>0
C.
k≥
D.
k>
考点:
根的判别式;二次根式有意义的条件.1906432
分析:
若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac>0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要根据二次根式的意义可知k≥0,然后确定最后k的取值范围.
解答:
解:
∵关于x的方程
有实数根,
∴△=b2﹣4ac=(﹣3
)2+4=9k+4≥0,
解得:
k≥
,
又∵方程中含有
∴k≥0,
故本题选A.
点评:
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.本题中需要注意的问题是k的值必须同时满足二次根式有意义和△≥0的条件,即要解不等式组,本题的易错点在于忽视了二次根式的条件而选取了C.
11.关于x的方程
有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.
k>﹣1且k≠0
B.
k<
C.
k>﹣
且k≠0
D.
k<1
考点:
根的判别式;一元二次方程的定义.1906432
分析:
在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件:
(1)二次项系数不为零;
(2)在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac>0.
解答:
解:
根据题意列出不等式组
,
解之得k>﹣
且k≠0.
故选C.
点评:
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
12.关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根,则整数a的最大值是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
根的判别式;一元一次不等式组的整数解.1906432
分析:
由于关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根,分情况讨论:
①当2﹣a=0即a=2时,此时方程为一元一次方程,方程一定有实数根;
②当2﹣a≠0即a≠2时,此时方程为一元二次方程,如果方程有实数根,那么其判别式是一个非负数,由此可以确定整数a的最大值.
解答:
解:
∵关于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有实数根,
∴①当2﹣a=0即a=2时,此时方程为一元一次方程,方程一定有实数根;
②当2﹣a≠0即a≠2时,此时方程为一元二次方程,
如果方程有实数根,那么其判别式是一个非负数,
∴△=25+12(2﹣a)≥0,
解之得a≤
,
∴整数a的最大值是4.
故选D.
点评:
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
注意次方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论.
13.关于x的方程(m﹣2)x2﹣2x+1=0有实数解,那么m的取值范围是( )
A.
m≠2
B.
m≤3
C.
m≥3
D.
m≤3且m≠2
考点:
根的判别式.1906432
专题:
分类讨论.
分析:
由于x的方程(m﹣2)x2﹣2x+1=0有实数解,则根据其判别式即可得到关于m的不等式,解不等式即可求出m的取值范围.但此题要分m=2和m≠2两种情况.
解答:
解:
(1)当m=2时,原方程变为﹣2x+1=0,此方程一定有解;
(2)当m≠2时,原方程是一元二次方程,
∵有实数解,
∴△=4﹣4(m﹣2)≥0,
∴m≤3.
所以m的取值范围是m≤3.
故选B.
点评:
本题容易出现的问题是忽视分两种情况进行讨论,错误的认为原方程只是一元二次方程.
14.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,如果a>0,a+c<b,那么方程ax2+bx+c=0的根的情况是( )
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
必有一个根为0
考点:
根的判别式.1906432
分析:
根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断.若△>0则有两不相等的实数根;若△<0,则无实数根;若△=0,则有两相等的实数根.
解答:
解:
当c≤0时,a>0
则b2﹣4ac>0一定成立;
当c>0时,a,b,c都是正数.
∵a+c<b,
∴b>a+c,
∴b2>(a+c)2=a2+2ac+c2,
∴△=b2﹣4ac>a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=(a﹣c)2≥0,
即△>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A
点评:
总结:
1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
2、本题还要求能对所给条件向所学知识进行转化,及有关不等式的变形的训练.
15.如果关于x的方程(m+1)x2+2mx+m﹣1=0有实数根,则( )
A.
m≠1
B.
m=﹣1
C.
m≠±1
D.
m为全体实数
考点:
根的判别式.1906432
专题:
分类讨论.
分析:
分两种情况考虑:
①若方程为二次方程,则二次项系数不为0,△≥0;②若方程不为二次方程,则二次项系数为0,再判断是否有实根,综上得到满足题意的m的取值.
解答:
解:
分两种情况考虑:
①若方程为二次方程,m+1≠0,△=4m2﹣4(m+1)(m﹣1)=4>0,解得m≠﹣1;
②若方程不是二次方程,则m=﹣1,解得:
x=﹣1;
综上所述,m为全体实数.
故选D.
点评:
本题考查了方程根的判定,同学们需学会用根的判别式来判断一元二次方程的实根情况.本题容易出现的错误是认为这个方程就是一元二次方程,忽视m+1=0的情况.
16.(2003•岳阳)已知a、b、c是△ABC三边的长,则方程ax2+(b+c)x+
=0的根的情况为( )
A.
没有实数根
B.
有两个相等的正实数根
C.
有两个不相等的负实数根
D.
有两个异号的实数根
考点:
根与系数的关系;根的判别式;三角形三边关系.1906432
分析:
根据三角形的三边关系,确定出方程的根的判别式△的符号后,判断方程根的情况.
解答:
解:
∵a=a,b=(b+c),c=
∴△=b2﹣4ac=(b+c)2﹣4×a×
=(b+c)2﹣a2=(a+b+c)(b+c﹣a)
∵三角形两边之和大于第三边,
∴a+b+c>0,b+c﹣a>0
∴△=(a+b+c)(b+c﹣a)>0
∴有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得:
两根的积是
=
>0,则两个根一定同号;
两根的和是﹣
<0
∴方程的两根都是负数.
故方程有两个不相等的负根.
故本题选C.
点评:
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
解决本题的关键是正确对(b+c)2﹣a2进行分解因式,能够结合一元二次方程的根与系数的关系判断方程根的符号.
17.关于未知数x的方程ax2+4x﹣1=0只有正实数根,则a的取值
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- 一元二次方程 第2章一元二次方程易错题集0322 一元二次方程的解法 一元 二次方程 易错题集 0322 解法