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旋转知识点及题型分类
旋转
一、图形的旋转
1.旋转的定义:
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形变换称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.
注意:
在旋转过程中保持不动的点是旋转中心.
2.旋转的三个要素:
旋转中心、旋转的角度和方向.
3.旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前后的图形全等.
4.简单图形的旋转作图:
(1)确定旋转中心;
(2)确定图形中的关键点;
(3)将关键点沿指定的方向旋转指定的角度;
(4)连结各点,得到原图形旋转后的图形.
例1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,△ABC以点C为中心旋转到△A′B′C的位置,使B在斜边A′B′上,A′C与AB相交于D,试确定∠BDC的度数.
二、中心对称
1.中心对称和对称中心:
把一个图形绕着某一点旋转180°后,如果它能和另一个图形完全重合,那么称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点,叫做关于中心的对称点.
2.中心对称图形:
在平面内,某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
3.关于中心对称的作图:
(1)确定对称中心;
(2)确定关键点;
(3)作关键点的关于对称中心的对称点;
(4)连结各点,得到所需图形.
4.关于原点对称的点的坐标:
(a,b)关于原点的对称点是(-a,-b)
例2.下列图形中,中心对称图形是 ( )
例5.下列图形中,既是中心对称又是轴对称的图形是( )
例3.把正方形ADCB绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AGFE,边BC与GF交于点H(如图).试问线段GH与线段HB相等吗?
请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
例4、点P(-1,3)关于原点对称的点的坐标是 ;
点P(-1,3)绕着原点顺时针旋转90o与P’重合,则P’的坐标为 ;
三、旋转的应用:
例5.已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上,AB=1,∠EDF=45°.求
△BEF的周长.
一、选择题
1.(苏州)下列图形中,旋转600后可以和原图形重合的是( )
A、正六边形 B、正五边形 C、正方形 D、正三角形
2.(眉山)数学课上,老师让同学们观察如图所示的图形,问:
它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合?
甲同学说:
45°;乙同学说:
60°;丙同学说:
90°;丁同学说:
135°.以上四位同学的回答中,错误的是( )
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
3.(南平)如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在
位置,A点落在
位置,若
,则
的度数是( )
A、50° B、60° C、70° D、80°
4.(安徽)在平面直角坐标系中,A点坐标为(3,4),将OA绕原点O逆时针旋转900得到OA′,则点A′的坐标是( )
A、(-4,3) B、(-3,4) C、(3,-4) D、(4,-3)
5.(济宁)在平面直角坐标系中,将点A1(6,1)向左平移4个单位到达点A2的位置,再向上平移3个单位到达点A3的位置,△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900,则旋转后A3的坐标为( )
A、(-2,1) B、(1,1) C、(-1,1) D、(5,1)
6.(嘉兴)如图,8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O,对△ABC分别作下列变换:
①先以点A为中心顺时针方向旋转90°,再向右平移4格、向上平移4格;
②先以点O为中心作中心对称图形,再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°;
③先以直线MN为轴作轴对称图形,再向上平移4格,再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90
其中,能将△ABC变换成△PQR的是( )
A、①② B、①③ C、②③ D、①②③
7.(黑龙江)在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A B C D
8.(潍坊)如图,边长为1的正方形
绕点
逆时针旋转
到正方形
,图中阴影部分的面积为( )
A、
B、
C、
D、
9.如果两个图形可通过旋转而相互得到,则下列说法中正确的有( ).
①对应点连线的中垂线必经过旋转中心.②这两个图形大小、形状不变.
③对应线段一定相等且平行.④将一个图形绕旋转中心旋转某个定角后必与另一个图形重合.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图1,同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( ).
A.顺时针旋转60°得到 B.顺时针旋转120°得到
C.逆时针旋转60°得到 D.逆时针旋转120°得到
图1 图2 图3
11.如图2,C是线段BD上一点,分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( ).
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
12.如图3,△ABC中,AD是∠BAC内的一条射线,BE⊥AD,且△CHM可由△BEM旋转而得,则下列结论中错误的是( ).
A.M是BC的中点 B.
C.CF⊥AD D.FM⊥BC
13.如图4,O是锐角三角形ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,P是△ABC内不同于O的另一点;△A′BO′、△A′BP′分别由△AOB、△APB旋转而得,旋转角都为60°,则下列结论中正确的有( ).
①△O′BO为等边三角形,且A′、O′、O、C在一条直线上.
②A′O′+O′O=AO+BO.
③A′P′+P′P=PA+PB. ④PA+PB+PC>AO+BO+CO.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
图4
14.在下图4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,
得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是( )
(A)点A (B)点B(C)点C (D)点D
二、填空题
1.(邵阳)如图,若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A'B'C',则A点的对应点A'点的坐标是_____________.
2.(江阴)如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=3,BC=5,AB=1,把线段CD绕点D逆时针旋转90°到DE位置,连结AE,则AE的长为 .
3.(青岛)如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,
PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P'AB,则
点P与点P'之间的距离为_______,∠APB=______°.
4.(东营)在平面直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1,延长OP1到点P2,使OP2=2OP1,再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3,则点P3的坐标是__________.
5.如图所示,P是等边△ABC内一点,△BMC是由△BPA
旋转所得,则∠PBM=________.
6.如图,设P是等边三角形ABC内任意一点,△ACP′是由△ABP旋转得到的,则PA_______PB+PC (填“>”、“<”或“=”).
7.如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点,且BE+DF=EF,则∠EAF=________.
图6 图7 图8 图9
8.如图,O是等边△ABC内一点,将△AOB绕B点逆时针旋转,使得B、O两点的对应点分别为C、D,则旋转角为_____________,图中除△ABC外,还有等边三形是_____________.
9.如图Rt△ABC中,P是斜边BC上一点,以P为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF,图中通过旋转得到的三角形还有_____________.
三、解答题
1.(大连)如图,已知△ABC和△A″B″C″及点O.
⑴画出△ABC关于点O对称的△A′B′C′;
⑵若△A″B″C″与△A′B′C′关于点O′对称,请确定点O′的位置;
⑶探究线段OO′与线段CC″之间的关系,并说明理由.
2.(衡阳)已知,如图□ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=
,对角线AC、BD交于0点,将直线AC绕点0顺时针旋转,分别交BC、AD于点E、F
(1)证明:
当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数.
3.(聊城)如图,在由边长为
的小正方形组成的方格纸中,有两个全等的三角形,即
和
.
(1)请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换,将
重合到
上;
(2)在方格纸中将
经过怎样的变换后可以与
成中心对称图形?
画出变换后的三角形并标出对称中心.
4.如图17所示,△ABP是由△ACE绕A点旋转得到的,
那么△ABP与△ACE是什么关系?
若∠BAP=40°,∠B=30°,
∠PAC=20°,求旋转角及∠CAE、∠E、∠BAE的度数。
5.在△ABC中,∠B=100,∠ACB=200,AB=4cm,
△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好
成为AD中点,如图19,
⑴指出旋转中心,并求出旋转的度数。
⑵求出∠BAE的度数和AE的长。
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