级数本1班陈林论文.docx
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级数本1班陈林论文
编号:
本科学生毕业设计(论文)手册
题目:
数形结合思想在中学数学解题中的应用
系部名称:
数学系
专业名称:
数学与应用数学
年级:
2010级
学生姓名:
陈林
学号:
2010403112
指导教师:
刘家彬
职称/学历:
教授
成
绩
评
定
评价方式
及比例
指导教师
评价(60%)
评阅人
评价(20%)
答辩小组
评价(20%)
最终
成绩
评定
等级
成绩
折算后成绩
●评定等级标准:
“优”(90分以上);“良”(80~89);“中”(70~79);
“及格”(60~69);“不及格”(60以下)。
年月日
数学系制
四川民族学院本科学生毕业设计(论文)
承诺书
本人承诺:
在即将开始的毕业论文过程中,严格遵守学术道德规范和学校纪律,在系部和指导教师的安排与指导下,独立完成毕业论文工作,不弄虚作假,不请人代做毕业论文或抄袭别人的成果.按照“四川民族学院本科生毕业论文规定”的要求,完成毕业论文的撰写、答辩、装订整理等工作.
学生签名:
年月日
导师签名:
年月日
摘要
内容摘要:
数学是客观世界中一门科学,它把数量关系和空间形式有效结合,并且进行了深入的研究。
数形结合思想是中学数学中最常用的教学和解题思想;数形结合的定义很多,我的理解就是用特定的数量关系,将抽象的数与直观的形联系起来。
数形结合类的题目经常都会画图来求解整个题目,这样解题的格式就很是不工整,而数形结合的思想又是最重要和基础的解题和教学思想,所以就一致指向了选择题和填空题。
本文主要研究数形结合思想在解决集合、函数、方程与不等式、线性规划、向量、解析几何、立体几何等问题中的运用。
并且针对所要解决的各类问题,给出了例题和详细的解析说明,同时给出了利用数形结合思想应注意的问题,以使学生能更全面的掌握和利用数形结合思想,提高解题时的准确性和效率。
关键词:
中学数学;数形结合思想;解题;应用
ABSTRACT
Abstract:
mathematicsistheobjectiveworldinscience,itcombineeffectivequantitativerelationandspatialform,andcarriedonthethoroughresearch.Severalformcombiningideasisthemostcommonlyusedinmiddleschoolmathematicsteachingandideastosolveproblems;Numberformcombinedwiththedefinitionofalot,Iunderstanditistousecertainquantitativerelation,theabstractnumberlinkedwithintuitiveform.Numberformcombinesclasstopicsoftendrawingtosolvethetopic,thisformatisveryusefulforproblemsolvingisnotneat,thenumberformcombiningideasisthemostimportantandbasicproblemsolvingandteachingideas,sohepointedtothechoiceandfillsupthetopic.Thisarticlemainlystudiesseveralformcombiningideasinsolvingthecollection,function,equationandinequality,vectorsandanalyticgeometry,linearprogramming,theapplicationofthree-dimensionalhowfewproblems.Andaimingatvariousproblemstobesolved,examplesaregivenandthedetailedanalysisshowsthatusingthenumberformcombiningideasaregivenatthesametimesomeproblemsthatshouldbepaidattentionto,toenablestudentstomorecomprehensivemasteringandusingthenumberformcombiningideas,improvetheaccuracyandefficiencywhentheproblemsolving.
Keywords:
middleschoolmathematics;Severalformcombiningideas;Theproblemsolving;application
目录
第一章引言1
1.1数形结合思想的研究背景1
1.2数形结合思想的研究意义1
第二章应用数形结合思想来解决中学数学的一些问题2
2.1用数形结合思想解决集合类问题2
2.2用数形结合思想解决函数类问题3
2.2.1数形结合思想运用在函数的性质中3
2.2.2利用数形结合思想解决函数的极值和最值类问4
2.3利用数形结合思想解决方程与不等式类问题5
2.3.1利用数形结合思想解决不等式问题5
2.3.2利用数形结合思想解决方程问题6
2.4利用数形结合思想解决线性规划问题6
2.5利用数形结合思想解向量类问题7
2.6利用数形结合思想解决解析几何类问题9
2.7利用数形结合思想解决立体几何问题11
第三章运用数形结合应注意的事项12
参考文献13
附录13
致谢14
第一章引言
1.1数形结合思想的研究背景
数形结合思想是老师惯用的教学思想,也是最基础的数学思想,到目前已有很多国内外专家学者对其进行了深入的研究,我国的著名数学家华罗庚曾这样讲过:
“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”。
“数”与“形”可以通俗的理解为数学知识的表征形式,“数”是可以泛化为数学中的数字、算式、文字、公式定理、概念命题等,“形”可以泛化为图形、图像、图表、实物等。
1.2数形结合思想的研究意义
数形结合思想同时也是是同学们学好数学的必备数学思想,数形结合类的题目在每年各省市的高考中几乎都会涉及到,掌握好数形结合的知识,需在平时借助数形结合类的题目进行系统的练习,多归纳总结。
由于要求解题的规范性,数形结合类的题目多出现在选择题和填空题中,难度一般较大,充分掌握数形结合思想,并很好的运用在解题中,是赢得高考并且学好数学所必需的。
针对其在中学解题运用的广泛性,我觉得很有必要对其进一步的概括归纳,乃至做出更深层次的研究,以使老师在以后的教学中能更有针对措施,使同学们能系统的接受,更好的掌握。
第二章应用数形结合思想来解决中学数学的一些问题
2.1用数形结合思想解决集合类问题
集合类问题的解决最常用的就是维恩图和数轴图示法,这样使集合的解更直观准确,能快速的得到集合的解。
例1、设一个集合为,另一个集合为,则集合A与集合B的交集的子集的个数为()
A.1B.2C.3D.4
【命题立意】本题主要考查了数形结合的思想,考查了集合的交集运算.
【解题思路】依据图示可知集合与集合的交集中有两个元素,由此可得子集的个数就是4,那么选D.
图2-1图2-2
【易错点】本题一定要看清楚问题,要知道题设是要求求是两个集合A、B的交集子集的个数,而不是求子集的元素的个数.
例2、设一个集合为,另一个集合为,则()
A.B.C.D.
【命题立意】本题把绝对值不等式与一元二次不等式当作载体,最终考查的还是数形结合思想在集合中的应用,以此我们结合数轴图1-2便可得到答案.
【解题思路】依据便可得到;而又根据又可得到.从而,故应该选C.
2.2用数形结合思想解决函数类问题
通常我们在函数的相关学习以及研究中,常常都是利用函数的性质来结合它的相关图形来进行学习和深入的研究的,函数的图象很形象,很直观的表现了函数的性质,同时函数的关系式通过函数的图象又可以得到直观的表现,并且函数的图象也可以从“形”方面来反应函数的规律变化。
在函数类题目的解答中,我们常常都会运用数形结合思想对函数的定义域、值域、单调性进行研究解答,这样可以使我们的解答过程更直观形象,思维更严密,答案更完善。
2.2.1数形结合思想运用在函数的性质中
运用数形结合思想求解函数的定义域、值域、单调性、交点等问题,通过观察图形的性质规律,可以快速的入手找到解题的突破点,使整个解题过程得心应手。
例1、给定一个函数,则它的定义域应该为()
A.B.C.D.
【命题立意】这道题考查了两个关于不等式解法的基础知识与基本技能,可以运用数形结合得到答案。
【解题思路】依题意得:
,故选C
例2、如果一个函数的值域是,那么函数的值域应该为()
A.B.C.D.
【命题立意】此题实质是考查了双钩函数的值域的求解方法,运用数形结合的方法可快速得到答案,省时省力。
【解题思路】令,则,由双钩函数的图象可得到,.故的值域为.
图2-3图2-4
例3、如果函数有两个极值点,而且,那么对于x的方程的不同实根个数有几个()
A.3B.4C.5D.6
【命题立意】本题属于一道考查比较全面的试题,很有难度,这其中考到了函数零点问题、数形结合思想、函数的极值问题和最值问题等。
【解题思路】由上面的题可知道,令,难么原方程变就应为,而又因为上面的函数有两个极值点,就可以得到方程有两个根,所以所解得的两个方程的根就应该是原方程的根。
画出三个函数的图象,如图2-1-2。
设,那么图象有两个交点,图象只有一个交点,共有三个交点。
例4、设函数为一个偶函数,且关于对称,而又当时,.,又函数,那么函数在上有几个零点().
A.8B.7C.6D.5
【命题立意】本题的解答一点也不容易,最重要考查的问题是学生利用数和形相结合的思想来推断这个函数有好多个零点,在这个基础上还最大容量的考查了学生的逻辑和思维能力同时还有对平时所学知识的灵活运用的能力。
图2-5
【解题思路】前面的题变成了在上求函数与的图象有多少个交点的问题。
由偶函数的定义,那么,因此就可以得到就是以2为周期的函数,在时,,当时,,而也是偶函数,值域非负,由此可画出函数和函数的图像。
根据上面的图2-1-3就可以得到它们的交点有6个,从而选C。
【技巧点拨】判断函数的零点问题或者研究方程的根的问题,常常可以将问题转换为两个函数图象的交点问题,画函数的图象可以根据函数的单调性、对称性、周期性或者特殊点的函数值看来画图。
2.2.2利用数形结合思想解决函数的极值和最值类问
求极致时我们不用反映都会求道=导函数,搞清楚函数的大致图形,如果能够快速的画出图形,那么我的效率势必会更快,同时求最值类的函数问题也一样,如果我们能选正确方法,画出函数的图形,求解的结果会很准,画图像来解函数题是我们常用的方法,能画出函数的图像,可以使解题更为明了。
例1、这三个数中的最小的那个数可用来表。
设,则的最大值为()
A.4B.5C.6D.7
【解析】根据上面的题意就可以知道那么这个函数图象就能够如图2-2-1所示,因此就可知当时,,故应选C。
图2-6图2-7
1.12.3利用数形结合思想解决方程与不等式类问题
2.3.1利用数形结合思想解决不等式问题
我们在生活中比较两样东西的长短、大小、多少时,我们常常是观察它们,然后给出答案,实实在在的图形是最让我们觉得最直观的,因此解答不等式也一样的,能画出函数的图像,这样解答会很容易的。
例1、不等式的解集是。
【解题思路】令;那么就有,是双曲线的上半支;当时,得到;通过图象可知满足题意的解集为.
图2-8
例2、不等式的解集为.
【解题思路】上题中两边变形可以得到都是以2为底的指数函数,而且两边都应该为增函数,我们可以令且,由图象3-1-2可得.
例3、如果一个函数那么的解集为
【解题思路】这道题很典型的考查了考生对数形结合思想的相关知识的应用,画出函数的图象,通过观察图像可得到解集为[-3,1]
图2-9
2.3.2利用数形结合思想解决方程问题
例1、已知点为圆C上的点,且圆心的纵坐标为0,横左边为正数,直线与圆C相交的两个交点之间的长度为,那么与垂直于直线的直线方程为.
【命题立意】本题通过用数形结合的思想方法可以快速的找到解题的突破口,使解题过程变得明了,本题最主要的考查了弦长的处理应用和圆心、圆的半径的求法。
【解题思路】如图3-2-1所示,由题意得,从而可求得圆C的半径为2,所以点C的坐标为,因而所求的直线就应为
图2-10
例2、直线方程与,分别过等腰三角形的两腰,底边所在的直线过原点,则底边所在直线的斜率为()
A.3B.2C.1D.4
图2-11
【解题思路】由图示可得,设k为底边所在的直线的斜率,利用夹角公式,解得
2.4利用数形结合思想解决线性规划问题
线性规划是对目标函数的极值问题在线性线性约束下进行线性研究的数学理论和方法,科学管理的一种数学辅助方法,用数形结合思想能帮助我们解决很多现实生活中的问题,用线性规划的方法能清晰的得到所求问题在什么位置可取得最大最小值,可快速的得解。
例1、设有这样两个变量,满足这样的约束条件那么目标函数k的最大值为()。
A.-2B.6C.4D.8
【命题立意】本题主要考查了用线性规划的方法对目标函数进行求解,运用数形结合的思想,画出图形,就可以知道在哪里可以取得最大值了。
【解题思路】由图示4-1可以看出直线在应该在点处k取得最大值,这时,故选B。
图2-12
例2、假设m表示一个实数,如果那么实数m的取值范围是.
【解题思路】如图4-2要使可行域在圆内,直线应在与之间。
那么最后所得就应为.
图2-13图2-14
例3、为两个实数,它们满足那么所应该的取值范围是()
A.B.C.D.
【解题思路】这道题很典型的考查了考生的知识点是线性规划,通过上面的不等式(组)作出可行域,而可以变形表示成点与连线的斜率,由图形4-3可以得到此题的答案应该选A。
2.5利用数形结合思想解向量类问题
在现代社会中,在所有数学概念中,向量是一个最为基本,最为重要的概念之一,在与代数、几何和三角函数的沟通中充当了重要的角色,是一个很有深度和广度的媒介工具,向量经常在命题人的命题的过程中都喜欢把它载构在数形结合之上,所以在对待向量类的问题时,采用数形结合的思想方法,能很有效的得出问题的解。
例1、在一个△ABC上,一条边AB上存在点一点D,而又被CD所平分。
若,则()
A.B.C.D.
【命题立意】此题属于基础题,它对最常见的平面向量的一些基本定理及平面几何图形的性质探究和进行考查了,同时又考查数形结合思想方法的应用。
【解题思路】如图5-1所示,分别过点D作DEBC交AC于点E,由CD平分。
可得,则,,所以,故应选C。
图2-15
【题眼】本题可以充分把平面几何图中所具有的图形信息,和角平分线的一些性质充分结合起来研究,可以将问题转化为平分线段成比例的性质进行研究。
例2、设一点M为线段BC的一个中点,点A为直线BC外的一点,=16,,则
A.8B.4C.2D.1
【命题立意】本题考查了考生对平面向量的几何意义的理解,同时又考查了考生对平面几何的相关性质的应用,考查了数形结合思想.
【解题思路】由上题可以知道相垂直,从而也就可以得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形,则,故应选C。
图2-16
【题眼】由条件可以理解为在一个四边形中,两条对角线相等,从而就可以进一步判断出该四边形的形状。
例3、如果两个平面向量,它们满足,且用来做两邻边,构造出的平行四边形的面积为,那么向量的夹角的取值范围是.
【命题立意】本题考查有关平面向量的一些基础性知识,平形四边形的面积,利用数形结合解向量的能力。
【解题思路】设,由题意,|OA|=1,因为为邻边的平行四边形OACB的面积为,所以点B在直线上,且直线,相距。
由于,当点B在之间移动时,符合题意。
,故的夹角取值范围是.
图2-
2.6利用数形结合思想解决解析几何类问题
例1、若曲线直线相交,那么b的取值范围就应该是()
A.B.C.D.
【命题立意】本题通过变形就可以发现,它最终是考查了直线与圆的位置关系的一个问题,考查数形结合思想的应用。
【解题思路】变形后的曲线方程为,那么其对应的图像如图所示,由已知应为圆的下半圆,若直线与此半圆相切,则可得,解得,当且仅当时,直线与半圆有公共点,故应选D。
图2-18
【易错点】对于曲线在转化的过程中极易被看作是一个完整的圆,而直接得出了直线与园的位置关系。
例2、椭圆的左右焦点分别是,设点P为其右准线上的一点,且满足点在线段的中垂线上,则椭圆离心率的取值范围是()。
A.B.C.D.
【解析】椭圆的右准线方程为,,的中垂线过,则,所以.当时,最小。
即:
最小。
此时,所以e的取值范围为
图2-19
例3、设分别是双曲线的左右焦点。
若A为此双曲线上的一点,同时又满足,且线段的长度,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
【解题思路】设,则,由双曲线的定义可得,即得,又因为,所以即得,所以,即得,故应选B。
图2-20
例4、抛物线上的一个动点P,则要我们求出点(0,2)与P到的距离与P到该抛物线的距离之和的最小值为()
A.B.C.D.
【解题思路】如图所示,,由抛物线定义知,所以故应选A。
图2-21
2.7利用数形结合思想解决立体几何问题
在解决立体几何问题时,如果能根据题意画出图形,那么就能使空间想象能力变得更为直观,同时根据图形的性质规律能找到题意所求得突破点,使其能快速的对整个题进行解答。
例1、试在正方形中,求出与平面所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
图2-22
【解题思路】如图所示,求与平面所成角的余弦值即为求的余弦值,设正方体的棱长为1,则,则,因此本题就应该选A。
例2、一个球,它的半径为2,在它的球面上有四点分别为,若,则由四点所组成的四面体的体积的最大值为()
A.B.C.D.
【命题立意】本题综合考查了球内接四面体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离等知识,利用数形结合的知识有助于架构空间想象能力和推理能力,能快速准确的解题。
【解题思路】如图所示,在所有的位置关系中,只有当与垂直并且它们处于球心的两侧时,四面体的体积最大,此时,设之间的距离为,经计算,所以,所以,故应选B。
图2-23
第三章运用数形结合应注意的事项
在我们平时演练乃至于考试的过程中,我们都喜欢数形结合的思想方法进行解题,应用数形结合思想我这里总结两点:
一、在“形”中寻找“数”;有许许多多的常见数学问题,已经由题中作出了图形,或者是根据题意容易把图形给作出来,那么要解决这一类似的题目,我们最重要的是找出恰当最为准确的表现问题的一个数量关系式,就是用代数的语言来表达几何语言,来解决问题.
二、在“数”中建“形”;同样有许许多多的常见的数学问题,由表面题意是给定的有关代数学方面的知识和问题,但是只要通过我们细致的观察和深入的思考后,可很明显的发现它极具几何特征的.研究分析它所隐含的这种几何特征,可以很明显的发现数与形之间的一种新的关系,这样我们又可以成功的将一道代数类问题转化为几何问题,最终获得问题的解。
同时要又要牢记三点,我们把数形结合思想运用在日常的分析和解决问题的时候时。
首先,要清清楚楚的知道某些概念与运算的特殊几何意义以及曲线的代数特征,在对一道数学题目中的条件和结论进行分析时,我们要做到把几何意义与代数意义同等重要的分析;其次,要准确的设置参数、并要充分科学的运用参数,构建立准确的函数关系式,通过数来构形,通过形寻找数,有效做到数与形之间的科学合理转化;最后,设置了参数,那么就要精确的划定参数的范围空间。
参考文献
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附录
致谢
在大学四年的学习过程中,我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持,使我能够在以优异的成绩完成学业之余,自身综合能力也得到了极大限度的提高.在此谨向他们表示我最衷心的感谢!
感谢我的指导老师刘家彬副教授,他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样;他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.
感谢和我一起走过大学四年的好朋友们,是她们一路的陪伴与爱护,才有了我现在的成绩.她们是我成长的见证,有着值得我永远珍惜的友情.她们的待人处事,治学态度将会影响我的一生.
在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!
再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福!
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