版高中数学人教A版必修1同步教师用书第3章 321 几类不同增长的函数模型.docx
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3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.(重点)
2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.(易混点)
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 几类不同增长的函数模型
阅读教材P98~P101,完成下列问题.
1.三种函数模型的性质
函数
性质
y=ax
(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上
的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐与y轴平行
随x的增大逐渐与x轴平行
随n值的不同而不同
2.三种函数增长速度的比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长进度不同,且不在同一个“档次”上.
(2)随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.
(3)存在一个x0,当x>x0时,有ax>xn>logax.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.( )
(2)函数y=log
x衰减的速度越来越慢.( )
(3)不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.( )
【解析】
(1)√.因为一次函数的图象是直线,所以当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值.
(2)√.由函数y=log
x的图象可知其衰减的速度越来越慢.
(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.
【答案】
(1)√
(2)√ (3)×
[小组合作型]
函数模型的增长差异
(1)下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=2016xB.y=x2016
C.y=log2016xD.y=2016x
(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
【精彩点拨】 指数函数增长速度最快.
【自主解答】
(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快,故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.故填y2.
【答案】
(1)A
(2)y2
1.指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”.
2.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢.
3.幂函数模型y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[再练一题]
1.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
【导学号:
97030138】
A.y=
exB.y=100lnx
C.y=x100D.y=100·2x
【解析】 指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快,应选A.
【答案】 A
根据函数图象确定函数模型
图321
函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图321所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2016),g(2016)的大小.
【精彩点拨】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断.
【自主解答】
(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)∵f
(1)>g
(1),f
(2)<g
(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),
∴1<x1<2,9<x2<10,
∴x1<6<x2,2016>x2.
从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),
∴f(6)<g(6);
当x>x2时,f(x)>g(x),
∴f(2016)>g(2016).
又g(2016)>g(6),
∴f(2016)>g(2016)>g(6)>f(6).
根据函数图象判断增长函数模型时,通常是根据函数图象上升的快慢来判断,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,中间的是幂函数.
[再练一题]
2.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图322所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
图322
【解】
(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx.
(2)当x
[探究共研型]
函数模型的选择
探究1 在我们学习过的函数中,哪些函数是其定义域上的单调函数?
【提示】 一次函数、指数函数、对数函数.
探究2 在选择函数模型时,若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化,应选择哪个函数模型?
若变化的速度很平缓,应选择哪个函数模型?
【提示】 前者应选择指数函数模型,后者选择对数函数模型.
某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:
该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数中:
①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:
千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:
L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?
说明理由;
(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2L,人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5L,把
(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?
【精彩点拨】
(1)理解题意,根据所给函数模型的增长趋势来选择;
(2)根据
(1)中所选择的函数模型,求出其解析式并求最大值.
【自主解答】
(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.
(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销量为2升;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销量为5升,把x=1,y=2;x=4,y=5代入到y=ax2+bx,得
解得a=-
,b=
,所以函数解析式为y=-
x2+
x.(x∈[0.5,8])
∵y=-
x2+
x=-
2+
,∴当x=
时,年人均A饮料的销售量最多是
L.
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律
1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.
3.对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.
4.幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
[再练一题]
3.某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?
【解】 根据题意可列方程组:
解得
所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①
同理y=g(x)=-80×0.5x+140.②
再将x=4分别代入①与②式得:
f(4)=-5×42+35×4+70=130(t),g(4)=-80×0.54+140=135(t).与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型B.二次函数模型
C.指数函数模型D.对数函数模型
【解析】 自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A.
【答案】 A
2.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的是( )
A.y=1B.y=x
C.y=3xD.y=log3x
【解析】 结合函数y=1,y=x,y=3x及y=log3x的图象可知,随着x的增大,增长速度最快的是y=3x.
【答案】 C
3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系,可选用( )
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
【解析】 结合“直线上升,对数增长,指数爆炸”可知,对数型函数符合题设条件,故选D.
【答案】 D
4.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应________;B对应________;C对应________;D对应________.
【导学号:
02962023】
【解析】 A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与
(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:
C容器快,与(3)对应,D容器慢,与
(2)对应.
【答案】 (4)
(1) (3)
(2)
5.函数f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)=x
的图象如图323所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).
图323
【解】 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=x
,曲线C3对应的函数是g(x)=lnx+1.
由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x);
当1
当e
当a
当b
当c
当x>d时,f(x)>h(x)>g(x).
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