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著名不等式公式doc
三角形内角的嵌入不等式
三角形内角的嵌入不等式,在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。
该不等式指出,若力、。
是一个三角形的三个内角,则对任意实数x、y>z,有:
x2+y2+z2>(2xycosC+2yzcos4+c2zxcosB算术-几何平均值不等式
在数学中,算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式,表现了两类平均数:
算术平均数和几何平均数之间恒定的不
:
Ti+工2+,.・+
An=
等关系。
设£1,・・・,工•几为〃个正实数,它们的算术平均数是n,它们的几何平均数是
Gn=Si・业•・巨/算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数,总有:
>Gn
等号成立当且仅当四1=还2=•••。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式(或均值不等式),尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在n=4的情况,设:
工1=3•&叼=6-2,=8.4,=5那么
A4=""度;®'5=5775,g4=立3.5x6.2x8.4x5=5.4945
可见A4>G4o
历史上的证明
历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
〃=2的情况很早就为人所知,但对于一般的不等式并不容易证明。
1729年,英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明并不严谨,是错误的。
柯西的证明
1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明山:
命题己:
对任意的n个正实数芭1,...,还几,AnNGn
1.当n=2时,P2显然成立。
2.假设Pn成立,那么乌成立。
证明:
对于2/7个正实数还1,...由1,•,四,
+一2+•••+工门+丁1+•••V"_£/+...+工门.]+卜g”
2n2\nn
N…5••必
3.假设己成立,那么己一】成立。
证明:
对于〃-1个正实数还1,.・.,邑2—1,
Gn-1="寸丁1・12・・・工九-1’
An_i=
设
Pn
匚1+•.•+工几一1+A”]n/T•
2V•Cji—1A门—1
An-i>y/G-;G
数k,命题四都成立。
因此对任意的
n>2‘,可以先找k使得2.>几,再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。
归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治•克里斯托(GeorgeChrystal)在其著作《代数论》(乖部以)的第二卷中给出的御:
AnA”+工几+1
"^n+1=A/
由对称性不妨设Xn+1是还1,屯2.•*n+l中最大的,由于项+1,设乌+1=A.几+七则
_b
L、nAn+l=An+■~7
6>u,并且有1。
根据二项式定理,
郦=(An+寿件>AW+")A:
寿=A")=g>GW=响…5=GR
于是完成了从〃到〃+1的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明叫
在n的情况下有不等式An>G“和+3-10+1>"
所以
(7Z+l)An+i=丁1+工2…+£几+工几+1N271Gn-}_i—(71—l)Gn_|_i=(71+l)Gn_|_^从而有
An+1NGn+1。
基于琴生不等式的证明
+⑦2hi+11顼2HInxn
In>
n~n
由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。
此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。
设也1,...几
和P1,…为正实数,并且Pl+P2Pn=1,那么:
P1Z1+但2叼・・・+Pn^n>建建…部"
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。
对于二维的矩阵,一样有类似的不等式:
对于系数都是正实数的矩阵
Q,ll
Q?
?
l
Gi+G2+•,•+Gn
也就是说:
对A个纵列取算术平均数,它们的几何平均大于等于对〃个横行取的刀个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式:
对任意在区间[0,1〕上可积的正值函数/;都有
(f(T)dx>exp(jln/(i)dr)
£1+工2〜/ln£1+In工2Inxnv
>exp(}
这实际上是在算术•几何平均值不等式取成n一一一n-后,将
两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。
伯努利不等式
数学中的伯努利不等式是说:
对任意整数n>Q,和任意实数⑦>一1,
(1+x)n>1+nx.
如果>Q是偶数,则不等式对任意实数x成立。
可以看到在n=0,1,或x=0时等号成立,而对任意正整数2和任意实数X>-1X^0有严格不等式:
(1+T)n>1+7ZT
伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
[编辑]证明和推
伯努利不等式可以用数学归纳法证明:
当〃二0,1,不等式明显成立。
假设不等式对正整数小实数%>一1时成立,那么
(1+i)n+1=(1+x)(1+>(1+x)(l+nx)
=1+S+1)2?
+nx2>1+(72+l)x
下面是推广到实数幕的版本:
如果x>-l,那么:
若r<0^r>1;w(l+x)r>l+rx.
这不等式可以用导数比较来证明: 当r-(),1时,等式显然成立。 在(一1,。 。 )上定义=+力r_(1+命其中,产S1,对*微分得/■⑴+为1则产⑴=()当且仅当x=()。 分情况讨论: 10 因此伽在x=()时取最大值(),故得(1+J: )rV1+VXO 2r<0或r>1,则对%>0,^>0;对一1 在这两种情况,等号成立当且仅当x二0。 [编辑]相关不等式 下述不等式从另一边估计(1+力': 对任意A;r>0,都有 (1+r)r 佩多不等式 几何学的佩多不等式,是关连两个三角形的不等式,以唐•佩多(DonPedoe)命名。 这不等式指出: 如果第一个三角形的边长为a,b,c,面积为/;第二个三角形的边长为人,民C,面积为F,那么: A\b2+《2一q'2)+B\a2+《2一护)+C"+b2一c2)>16F/ 等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形,对应边成比例; 也就是a/A-b/B-c/CQ [编辑]证明 ■由海伦公式,两个三角形的面积可用边长表示为 16户二(a+人+顷a+3—顷。 一人+顷方+c-a)=(孑+济+Q2_2(/+没+d) 16仃二(/I+6+0(/1+B-0(/1一B+Q(B+C-/I)=(A2+莎+今? _2(/14+状+U), 再由柯西不等式, 16/T+2/才+2g+22 <+2a4+2M+2c4)y(16F2+2X4+2B4+2C4) =(/+&++部+切 于是, 16Ff<泌(/+胪+3)_2/泌+32(/+户+白)_2胪序+顶(/+胪+。 )_2<°2 =才(&+ —/)+店3+/—&)+c2^+部—q,命题得证。 等号成立当且仅当心=MB=c[C=VZZZ,也就是说两个三角形相似。 ABC是第一个三角形,ABC是取相似后的第二个三角形,BC与BC重合 ■几何证法 三角形的面积与边长的平方成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数注,使得XA=^f几何意义是将第二个三角形取相似(如右图)。 设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F。 考虑础'的长度。 由余弦公式, AAr2=AB2+B^2一2AB-BAfcos(ZB一3) =c2+—2cz(cosZ-BcosZ-Bf+sinZBsinZB7) q'2+c2—b'2/X2+z'2—护2/.fs2Ff cosZB=,cosZ-B=: sinAB=——,smAB= 1 两边化简后同时乘以A2,并注意到a=x,就可得到原不等式。 等号成立当且仅当A与A,重合,即两个三角形相似。 内斯比特不等式 内斯比特不等式是数学的一条不等式,它说对任何正实数务力,c,都有: qbc3 ++>-; b+cQ-f-cab2[编辑]证明 此不等式证明方法很多,例如从平均数不等式我们有: (g+b)+(g+c)+(b+c)、3 3—1|1|1 a+b'q+c*b+c, 移项得出: ((a+b)+(Q+c)+(b+c))(土+土+土)N9 整理左式: a-\-bca-\-bca-\-bcbc+ac*a+b 因而不等式得证。 埃尔德什一莫德尔不等式 如图,埃尔德什-莫德尔不等式说明点。 到三个顶点的距离之和(绿色线段)大于到三边距离之和(蓝色线段)的两倍在几何学中,埃尔德什■莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。 埃尔德什-莫德尔不等式说明了: 对于任何三角形ABC和其内部的一点。 ,点。 到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点。 到三角形的三个顶点的距离之和的一半。 埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。 欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于内切圆半径的两倍。 [编辑]历史 该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出,作为第3740号问题。 两年之后,由路易斯•莫德尔和D.F.巴罗证明。 1957年,卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明气之后不断有更简洁、更基本的证明出现。 1958年班考夫(Bankoff)给出了运用正交投影和相似三角形的证明,1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明,1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。 [编辑]证明 如右图,。 为三角形ABC中的一个点。 。 到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、Fo设线段。 4、OB.OC的长度分别是X、*、N,线段。 Q、OE.G如的长度分别是p、q、r,那么埃尔德什-莫德尔不等式为: x+y+z>2(p+g+r) Q 一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。 首先,由于垂直于AF,垂直于a、F、。 、e四点共圆且CZ4为直径,因此线段也巴=OAsinA=xsinA(角A为顶点A对应的内角)。 过点F、E作关于3C的垂线交3C于X、Yo过。 作3C的平行线分别交EK月丫于以K由于垂直于4尸,。 打垂直于力氏Zl/£C? =ZB,=ZGO于是: UV=UO+OV=OFsmAUFCJ+OEsinAVEO=rsinB+qsinC 另一方面,注意到在直角梯形中句刀〃? 中,斜腰方尸的长度大于等于直角腰U14因此: xsinA=EF>UV= 二rsinB+qsinC smA I4.1 sin.4 类似地,还有: 、sinAy>r.c sin(7+P.c sinBsinAz>p,〜+g.- sinBsinB~sinCsinC 三式相加,得到: j/sinBsin.4\/sin(7sin.4\ZsinCsinB x+y+z>r(—~—H—: ——)+q(—~~tH—: ~~亍)+P(—~~五H—: ~~刁 \smAsinBJ\sinAsmC)\smBsinC /sinBsinA\、° (~~~7+-~o)—2 根据均值不等式,\sin日sin2? /,等等,于是最终得到: x+y+z>2(p+g+r) 这就是埃尔德什-莫德尔不等式。 外森比克不等式 设三角形的边长为a,b,c,面积为A,则外森比克不等式(Wcitzcnb6ck,sinequality)>4\/3A成立。 当且仅当三角形为等边三角形,等号成立。 佩多不等式是外森比克不等式的推广。 [编辑]证明一 除了“所有平方数非负”以外,这个证明不用到其它任何不等式。 (a2一胪)2+(胪一c2)2+(c2一a2)2>0 缶今2(a4+伊+c4)—2(a262+a2c2+62c2)>0 .4(a4+伊+c4)〉4(a262+aPeP+62 ) 3—3 一(q4+"+c4)+2? 2胪+02^+"^)+睥+钏一(q4十砂十沙) 『(5;+占22(丛)2, 两边取平方根,即得证。 舒尔不等式 舒尔不等式说明,对于所有的非负实数X、大、,和正数都有: x\x一y){x一z)+y\y一z)(y一⑦)+z\z一x)(z一饥20 当且仅当X=y=z,或其中两个数相等而另外一个为零时,等号“二”成立。 当「是正的偶数时,不等式对所有的实数X、尸和z都成立。 [编辑]证明 由于不等式是对称的,我们不妨设*n,nz。 则不等式 (式一y)[xf(x一z)一y\y一z)\+z\x一z)(g-z)>0 显然成立,这是因为左边的每一项都是非负的。 把它整理,即得舒尔不等式。 [编辑]推广 舒尔不等式有一个推广: 假设心b、C•是正的实数。 如果(a,b,c)和(xfyfz)是顺序的,则以下的不等式成立: q(⑦一g)3一z)+b(g一z){y一x)+c{z一x){z一y)>0. 2007年,罗马尼亚数学家ValentinVornicu证明了一个更一般的形式: 考虑区,其中而且要么x>y>zy要么Z>y>xo设并设f: 爬―峋•要么是凸函数,要么是单调函数。 那么: /(x)(a—6)fc(a—c)k+f(y)(b—a)A(6—c)k+f(z)(c—a)k(c—b)k>0- 当x=y—b、z—c>it=1、 /R=nf时,即化为舒尔不等式。 l,) a2+62+c2><=>3(q2+胪+c2)> <==J>a2+62+c2> <==J>a2+62+c2> <=>a2+62+c2> ab+be+ca (q,+b+c)2 匚-./a+6+c\3 V3(a161c){~^j >/3(q+b+c)(—Q+b+c)(q—b+c)(q+b—c)4必△.
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