专题16平面几何之三角形边角问题解析卷.docx

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专题16平面几何之三角形边角问题解析卷

备考2019中考数学高频考点剖析

专题十六平面几何之三角形边角问题

考点扫描☆聚焦中考

三角形边角问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括三角形三边关系、三角形中的中点线段、三角形内角和和三角形外角性质等四方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

也有少量的解析题。

解析题主要以涉及到三角形内角和计算为主。

结合近几年全国各地中考的实例，我们从四方面进行三角形边角问题的探讨：

（1）三角形三边关系；

（2）三角形中点线段；

（3）三角形内角和．

（4）三角形外角性质．

考点剖析☆典型例题

例1（2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）

A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cmC．5cm，5cm，10cmD．6cm，7cm，14cm

【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．

【解答】解：

A、∵5+4=9，9=9，

∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；

B、8+8=16，16＞15，

∴该三边能组成三角形，故此选项正确；

C、5+5=10，10=10，

∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；

D、6+7=13，13＜14，

∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；

故选：

B．

例2（2018•贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）

A．线段DEB．线段BEC．线段EFD．线段FG

【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．

【解答】解：

根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，

故选：

B．

例3如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：

EP⊥FP．

【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质．

【专题】证明题．

【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP=

（∠BEF+∠EFD）=90°．

【解答】证明：

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°，

又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，

∴∠PEF=

∠BEF，∠EFP=

∠EFD，

∴∠PEF+∠EFP=

（∠BEF+∠EFD）=90°，

∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，

即EP⊥FP．

【点评】本题的关键就是找到∠PEF+∠EFP与∠BEF+∠EFD之间的关系，考查了整体代换思想．

例4（2018·台湾·分）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？

（　　）

A．174B．176C．178D．180

【分析】连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．

【解答】解：

连接CI，如图所示．

在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．

∵I点为△ABC的内心，

∴∠CAI=

∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=

∠ACB=28°，

∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，

又ID⊥BC，

∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，

∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．

故选：

A．

【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．

例5如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．

【分析】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，再根据∠1=∠2，∠3=∠4计算出∠2+∠3=70°，然后利用三角形内角和为180度计算出∠AOB的度数．

【解答】解：

∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC=360°，∠D+∠C=220°，

∴∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=70°，

∴∠AOB=180°﹣70°=110°．

【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握四边形内角和为360°，三角形内角和为180°．

考点过关☆专项突破

类型一三角形三边关系

1.（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（　　）

A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，4D．2，3，5

【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．

【解答】解：

A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；

B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；

C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；

D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．

故选：

C．

2.（2018•常德）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　）

A．1B．2C．8D．11

【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．

【解答】解：

设三角形第三边的长为x，由题意得：

7﹣3＜x＜7+3，

4＜x＜10，

故选：

C．

3.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）

A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm

C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．

【解答】解：

A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；

B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；

C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；

D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．

故选D．

【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．

4.下列各组图形中，AD是

的高的图形是（）　　

ABCD

【答案】D

【解析】分析：

根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．

详解：

△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．

故选：

D．

点睛：

本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．

5.（2018年江苏省泰州市•3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　5　．

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．

【解答】解：

根据三角形的三边关系，得

第三边＞4，而＜6．

又第三条边长为整数，

则第三边是5．

【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．

6.如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，

（1）求CD的取值范围；

（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．

【考点】三角形三边关系；平行线的性质．

【分析】

（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；

（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．

【解答】解：

（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，

∴1＜DC＜9；

（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，

∴∠AEC=55°，

又∵∠A=55°，

∴∠C=70°．

【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．

类型二三角形内重点线段

1.下列说法不正确的是（　　）

A．三角形的中线在三角形的内部

B．三角形的角平分线在三角形的内部

C．三角形的高在三角形的内部

D．三角形必有一高线在三角形的内部

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：

A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误；

B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误；

C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确；

D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．

2．（2018·广西梧州·3分）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（　　）

A．2B．3C．4D．6

【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．

【解答】解：

∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE=DF=6，

故选：

D．

【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

3.（2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC=　14　．

【考点】KX：

三角形中位线定理．

【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．

【解答】解：

∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∵DE=7，

∴BC=2DE=14．

故答案是：

14．

4．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．

【解答】解：

∵∠A=50°，∠C=60°

∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，

又∵AD是高，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，

∵AE、BF是角平分线，

∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，

∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，

∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，

∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，

∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．

故∠DAE=5°，∠BOA=120°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．

5.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：

∠CFE=∠CEF．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【专题】证明题．

【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．

【解答】证明：

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠2+∠4=90°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∵∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

即∠CFE=∠CEF．

【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．

6.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

【解答】解：

∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，

∴∠AED=85°，

∵∠B=50°，

∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠BAC=2∠BAE=70°，

∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

类型三、三角形内角和

1．如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CE∥AB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是（  ）

A、数形结合B、特殊到一般C、一般到特殊D、转化

【考点】平行线的判定，三角形内角和定理

【解析】【解答】证明：

∵∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，∴∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°．

此方法中用到了替换，体现了转化的思想．

故选D．

【分析】根据三角形内角和定理的证明过程，可寻找到转化的解题思想，此题得解．

2．（2018四川省眉山市2分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（   ）。

A.45°B.60°C.75°D.85°

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质[来%^~&源#:

中教]

【解析】【解答】解：

如图，

∵∠A=45°,∠D=30°,∠ACB=90°,[

∴∠ABC=∠DBE=45°,

∴∠α=∠D+∠DBE=30°+45°=75°,

故答案为:

C.

【分析】根据三角形内角和得∠ABC=45°，由对顶角相等得∠DBE=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.

3．如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（　　）

A．35°B．5°C．15°D．25°

【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．

【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数；AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC的度数；利用AD是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC度数，那么∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．

【解答】解：

∵∠B=50°，∠C=60°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，

∵AE是∠BAC的角平分线，

∴∠EAC=

∠BAC=35°，

∵AD是高，

∴∠ADC=90°，

∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，

∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°．

故选B．

【点评】关键是得到和所求角有关的角的度数；用到的知识点为：

三角形的内角和是180°；角平分线把一个角分成相等的两个角．

4.（2018•湖北黄冈•3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为

A.50°B.70°C.75°D.80°

（第4题图）

【考点】垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。

【分析】由三角形的内角和定理，得∠BAC的度数，又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，从而得出∠BAD的度数。

【解答】解：

由三角形的内角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°。

又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=9

∴∠BAD=95°-25°=70°.

故选B.

【点评】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。

熟练掌握性质和定理是解题的关键。

5.（2018·浙江宁波·4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

三角形内角和定理、三角形中位线定理

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．

【解答】解：

∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，

∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，

∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，

∴EO是△DBC的中位线，

∴EO∥BC，

∴∠1=∠ACB=40°．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO是△DBC的中位线是解题关键．

6.（2018•山东滨州•5分）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　100°　．

【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，

∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．

故答案为：

100°

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．

7.（2018•山东淄博•5分）已知：

如图，△ABC是任意一个三角形，求证：

∠A+∠B+∠C=180°．

【考点】K7：

三角形内角和定理．

【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．

【解答】证明：

过点A作EF∥BC，

∵EF∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，

∴∠BAC+∠B+∠C=180°，

即∠A+∠B+∠C=180°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．

类型四三角形外角性质

1.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是　36°　．

【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．

【分析】先根据已知三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，互为邻补角的两个角和为180°，从而求出这个外角与它相邻的内角的度数为144°、36°．又知这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，所以可以得到这两个与它不相邻的内角分别为：

72°、72°，则这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°．

【解答】解：

∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，

∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，

∴有x+4x=180°，

则x=36°，4x=144°．

又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，

∴这两个与它不相邻的内角分别为：

72°、72°，

∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，

∴此三角形最小内角的度数是36°．

故答案为：

36°

【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

2.（2018·云南省昆明·4分）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（　　）

A．90°B．95°C．100°D．120°

【分析】依据CO=AO，∠AOC=130°，即可得到∠CAO=25°，再根据∠AOB=70°，即可得出∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°．

【解答】解：

∵CO=AO，∠AOC=130°，

∴∠CAO=25°，

又∵∠AOB=70°，

∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，

故选：

B．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：

三角形内角和等于180°．

3.（2018•湖北黄石•3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　）

A．75°B．80°C．85°D．90°

【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．

【解答】解：

∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，

∴∠BAD=30°，

∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，

∴∠BAE=25°，

∴∠DAE=30°﹣25°=5°，

∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，

∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，

故选：

A．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：

三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．

4.（2018·吉林长春·3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（　　）

A．44°B．40°C．39°D．38°

【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行线的性质解答即可．

【解答】解：

∵∠A=54°，∠B=48°，

∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，

∵CD平分∠ACB交AB于点D，

∴∠DCB=

78°=39°，

∵DE∥BC，

∴∠CDE=∠DCB=39°，故选：

C．

【点评】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答．

5.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是　5　．

【考点】L3：

多边形内角与外角．

【分析】用多边形的外角和360°除以72°即可．

【解答】解：

边数n=360°÷72°=5．

故答案为：

5．

6.（2017湖北宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（　　）

A．①②B．①③C．②④D．③④

【考点】L3：

多边形内角与外角．

【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．

【解答】解：

∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；

∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，

故选B．

7.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　）

A．108°B．90°C．72°D．60°

【考点】多边形内角与外角．

【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：

180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．

【解答】解：

设此多边形为n边形，

根据题意得：

180（n﹣2）=540，

解得：

n=5，

故这个正多边形的每一个外角等于：

=72°．

故选C．

【点评】此题考查了多边形的内