立体几何小题专练作业含答案.docx
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立体几何小题专练作业含答案
小题专练·作业(二十)
一、选择题
1.(2014·河北沧州一模)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( )
A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行
B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直
C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交
D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面
答案 B
解析 对于选项A,若过点P有直线n与l,m都平行,则l∥m,这与l,m异面矛盾.
对于选项B,由于l和m有且只有一条公垂线a,而过P有且只有一条直线与a平行,故B正确.
对于选项C,过点P与l,m都相交的直线有一条或零条.
对于选项D,过点P与l,m都异面的直线可能有无数条.
2.(2014·成都调研)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,命题p:
若m∥n,m∥β,则n∥β,命题q:
“m⊥β,n⊥β,n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件.则下列结论正确的是( )
A.p∧(綈q)是真命题 B.(綈p)∨q是真命题
C.(綈p)∧q是假命题D.p∨q是假命题
答案 B
解析 对于命题p,若m∥n,m∥β,则n可能在平面β内,故命题p为假命题;对于命题q,若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则有m⊥α,故命题q是真命题,故綈p为真命题,綈q为假命题,故(綈p)∨q是真命题,选B.
3.(2014·四川绵阳南山中学)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析
因为平面ABD⊥平面BCD,CD⊥BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,CD⊥AD,所以AC=
=
.从而BC2=AB2+AC2,所以AB⊥AC,所以AB⊥平面ACD,平面ABC⊥平面ACD.
4.(2014·北京)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,
).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )
A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1
答案 D
解析
作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影,计算三角形的面积.
如图所示,△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影,所以S1=
×2×2=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E,F分别为OA,BC的中点)全等,所以S2=
×2×
=
.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G,H分别为AB,OC的中点)全等,所以S3=
×2×
=
.所以S2=S3且S1≠S3.故选D.
5.(2014·九江调研)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E,F分别为AD,CD的中点,若过EF作平行于平面AB1C的平面,则所作平面在正方体表面截得的图形的周长为( )
A.6
B.
+2
C.3
D.2
+2
答案 A
解析 取AA1,A1B1,B1C1,C1C的中点G,H,I,P,并连接,则得到正六边形FEGHIP,正是满足题设条件的平面,其周长为6EF=6
.
6.
(2014·南昌一模)在三棱锥C-ABD中(如图),△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形,O为斜边BD的中点,AB=4.二面角A-BD-C的大小为60°,并给出下面结论:
①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;④cos∠ADC=
;⑤四面体ABCD的外接球的表面积为32π.
其中真命题是( )
A.②③④B.①③④
C.①④⑤D.①③⑤
答案 D
解析 由题意知BC=CD=AD=AB,且BC⊥CD,BA⊥AD.因为O是斜边BD的中点,所以OC⊥BD,OA⊥BD,且OC=OA=
BD,所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,所以∠AOC=60°,所以△AOC是正三角形,即③正确.而OC∩OA=O,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,即①正确.若AD⊥CO,则由CO⊥BD可得CO⊥平面ABD,所以CO⊥OA,这与∠AOC=60°矛盾,所以②不正确.因为AB=CD=AD=4,AC=2
,所以cos∠ADC=
=
,所以④不正确.
因为OB=OC=OA=OD,所以O是四面体ABCD的外接球的球心,外接球的表面积为4π×(2
)2=32π,即⑤正确.
综上所述,真命题是①③⑤.
7.(2014·广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案 D
解析 在长方体模型中推理论证,利用排除法求解.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,也满足条件,可以排除选项B.故选D.
8.(2014·西北四校联考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 C
解析 如图,取BC中点E,连接DE,AE,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE即为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1,则AE=
,DE=
,tan∠ADE=
=
=
,∴∠ADE=60°,故选C.
9.(2014·青岛调研)
如图,在底面△ABC为正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=1,点P在四边形B1BCC1外,且在侧面B1BCC1所在的平面上,PB1=PC1=
,则三棱锥P-ABC的体积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为侧面B1BCC1⊥底面ABC,点P在平面B1BCC1内,PB1=PC1=
,所以点P到平面A1B1C1的距离为1,故点P到平面ABC的距离为2.因为S△ABC=
,所以三棱锥P-ABC的体积为VP-ABC=
×
×2=
.
10.(2014·武汉调研)
如图,在四面体ABCD中,已知DA=DB=DC=1,且DA,DB,DC两两互相垂直,在该四面体表面上与点A距离为
的点形成的曲线的总长度是( )
A.
πB.
π
C.
πD.
π
答案 D
解析 在Rt△ADH中,由于AD=1,AH=
,所以DH=
.所以∠DAH=
,∠BAH=
-
=
,所以在平面DAB中,曲线段EH的长度为
×
=
π.同理,曲线段FG的长度也为
π.在平面ABC中,曲线段EF的长度为
×
=
π.在面DBC中,曲线段GH的长度为
×
=
π.所以这条曲线的总长度为
π×2+
π+
π=
π.故选D.
11.(2014·东城区练习)已知正方形ABCD的边长为2
,且M,N分别为BC,CD的中点,连接AM,AN,MN,若沿着AM,AN,MN把该正方形折成一个三棱锥(B,C,D重合于点P),则该三棱锥的外接球的体积为( )
A.
πB.2
π
C.
πD.4
π
答案 D
解析 由条件可知,所得三棱锥的三条侧棱PA,PM,PN两两垂直,可以把该三棱锥补成一个长方体,其中P作为该长方体的一个顶点,则三棱锥的外接球半径R恰好等于该长方体的对角线长的一半,即(2R)2=(2
)2+2+2,所以R=
,所以外接球的体积为
πR3=4
π.
12.(2014·石家庄质检Ⅱ)
如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.动点P在A1C1上,E是C1C的中点,且PA1=x(0≤x≤2
),设四面体PDBE的体积为v(x),则函数y=v(x)的大致图像是( )
答案 A
解析 当点P在直线A1C1上运动时,根据平行线分线段成比例,可知点P到平面BDE的距离是x的一次函数,又三角形BDE的面积是定值,所以函数y=v(x)也是关于x的一次函数,故选A.
13.若将锐角A为60°,边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角,则A与C之间的距离为( )
A.aB.
C.
aD.
a
答案 D
解析
设折叠后点A到达A1点的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.
∴BD⊥CE,BD⊥A1E.
∴∠A1EC为二面角A1-BD-C的平面角.
∴∠A1EC=60°.又A1E=CE,
∴△A1EC是等边三角形.
∴A1E=CE=A1C=
a.
即折叠后A与C之间的距离为
a.
二、填空题
14.在三棱锥S-ABC中,侧棱SC⊥平面SAB,SA⊥BC,侧面△SAB,△SBC,△SAC的面积分别为1,
,3,则此三棱锥的外接球的表面积为________.
答案 14π
解析
∵侧棱SC⊥平面SAB,
∴SC⊥SB,SC⊥SA.又SA⊥BC,SC∩BC=C,
∴SA⊥平面SBC,∴SA⊥SB,如图所示,以SA,SB,SC为邻边将三棱锥补成长方体SAGB-CDEF,则此长方体的体对角线为长方体外接球的直径,设SA=a,SB=b,SC=c,球的半径为r,∵△SAB,△SBC,△SAC的面积分别为1,
,3,
∴
ab=1,
bc=
,
ac=3,解得a=2,b=1,c=3.
∴2r=
=
,此三棱锥的外接球的表面积为14π.
15.(2014·南京二模)已知表面积为2π的圆柱,当其体积最大时,底面半径与高的比为________.
答案 1∶2
解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,则有2πrh+2πr2=12π,∴rh+r2=6,即rh=6-r2.体积V=πr2h=πr×rh=πr(6-r2),0 .由V′=π(6-3r2)=0,得r= .当0 时,V′>0,当 时,V′<0,∴当r= 时,V取极大值,也是最大值,此时h= =2 ,∴r∶h=1∶2. 16.(2014·江苏四市调研)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAB是边长为2的正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD,球O与四棱锥所有表面都相切,则四棱锥P-ABCD的体积为________. 答案 解析 把四棱锥P-ABCD补成三棱柱,内切球与平面PBCE,PADE,ABCD,PAB都相切,所以内切球的半径就是边长为2的正三角形PAB的内切圆的半径,易得内切球半径r= . 过点P与球心作垂直底面ABCD的截面如图,显然在Rt△PMN中PM= ,又r= ,所以易得BC=MN= .所以VP-ABCD= × ×2× = . 17.(2014·潍坊期末考试)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球直径为 ,底面边长AB=1,则侧棱BB1与平面AB1C所成角的正切值为________. 答案 解析 因为A1C= = ,所以BB1=2,如图所示,O为AC,BD的交点,因为AC⊥BD,AC⊥BB1,BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BOB1,过点B作BH⊥B1O,则AC⊥BH,AC∩B1O=O,所以BH⊥平面AB1C,∠BB1O为直线BB1与平面AB1C所成的角,tan∠BB1O= = =
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