浙教版七年级下数学第四章因式分解好题精选及答案.docx

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浙教版七年级下数学第四章因式分解好题精选及答案

最新浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解好题精选及答案

题号

一

二

三

总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一．选择题（共15小题）

1．下列因式分解正确的是（　　）

A．4m2﹣4m+1＝4m（m﹣1）

B．a3b2﹣a2b+a2＝a2（ab2﹣b）

C．x2﹣7x﹣10＝（x﹣2）（x﹣5）

D．10x2y﹣5xy2＝5xy（2x﹣y）

2．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）

A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）

C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）

3．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（　　）

A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）

C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）

4．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（　　）

A．﹣5B．5C．﹣1D．1

5．化简：

，结果是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．下列各式：

①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算

．例如：

12＝1×12＝2×6＝3×4，则

．

那么以下结论中：

①

；②

；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则

．正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．若x3+2x2﹣mx+n可以分解为（x+2）2（x﹣2），则m，n的值分别是（　　）

A．m＝4，n＝8B．m＝﹣4，n＝8C．m＝4，n＝﹣8D．m＝﹣4，n＝﹣8

9．下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（　　）

（1）（m3+m2﹣m）﹣1；

（2）﹣4b2+（9a2﹣6ac+c2）；

（3）（5x2+6y）+（15x+2xy）；（4）（x2﹣y2）+（mx+my）

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（　　）

A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）

C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）

11．若关于x的多项式x2+mx+1可分解成（x+n）2，则n等于（　　）

A．±1B．1C．﹣1D．2

12．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（　　）

A．60B．50C．25D．15

13．小强是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：

a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：

南、爱、我、济、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．我爱美B．济南游C．我爱济南D．美我济南

14．下列关于x的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（　　）

A．x2﹣3x+2B．x2﹣

x+1C．2x2﹣xy﹣y2D．x2+3xy+y2

15．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（　　）

A．25B．20C．15D．10

第Ⅱ卷（非选择题）

请点击修改第Ⅱ卷的文字说明

评卷人

得分

二．填空题（共9小题）

16．因式分解：

1﹣4a2＝　　．

17．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式例如，由图

（1）可得等式：

x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图

（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为　　．

18．已知xy＝

，x+y＝5，则2x3y+4x2y2+2xy3＝　　．

19．已知a＝2018x+2017，b＝2018x+2018，c＝2018x+2019，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝　　．

20．已知m2+m﹣1＝0，则m3+2m2+1＝　　．

21．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则

＝　　．

22．已知a，b，c是△ABC的三边，且a4﹣a2c2＝b4﹣b2c2，那么△ABC的形状是　　．

23．因式分解：

a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99＝　　．

24．分解因式：

x3+3x2﹣4＝　　．

评卷人

得分

三．解答题（共16小题）

25．分解因式：

（1）m2﹣4mn+4n2

（2）2x2﹣18．

26．分解因式

（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2；

（2）（a2+9）2﹣36a2

（3）25m2﹣（4m﹣3n）2；

（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．

27．问题背景：

对于形如x2﹣120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x﹣60）2，对于二次三项式x2﹣120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2﹣120x加上一项602，使它与x2﹣120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：

问题解决：

（1）请你按照上面的方法分解因式：

x2﹣40x+351；

（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长．

28．定义：

任意两个数a，b，按规则c＝

﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“机智数”．

（1）若a＝1，b＝2，直接写出a，b的“机智数”c；

（2）如果，a＝m2+2m+1，b＝m2+m，求a，b的“机智数”c；

（3）若

（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？

29．阅读题．

材料一：

若一个整数m能表示成a2﹣b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，3＝22﹣12，9＝32﹣02，12＝42﹣22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M＝x2+2xy＝（x+y）2﹣y2，（x，y是整数），所以M也是”完美数”．

材料二：

任何一个正整数n都可以进行这样的分解：

n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F（n）＝

．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F（18）＝

＝

．请解答下列问题：

（1）8　　（填写“是”或“不是”）一个完美数，F（8）＝　　．

（2）如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”．

（3）若一个两位数n的十位数和个位数分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F（n）的最大值．

30．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b（b＜

）米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．

（1）用代数式表示草坪的面积；

（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当a＝15，b＝2.5时草坪的面积．

31．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：

4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”

（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？

为什么？

32．因式分解：

（1）x2y﹣2xy2+y3

（2）4ax2﹣48ax+128a；

（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2

33．在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．

（1）请根据以上方法判断31568　　（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．

（2）证明：

任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

34．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：

将一个多项式分解因式，如多项式：

x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920．

（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？

（写出两个）

（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．

35．一个能被11整除的自然数称为“一心一意数”，它的特征是去掉个位数字后，得到一个新数，新数减去原数的个位数字的差能被11整除，若所得差仍然较大不易判断，则可以再把差去掉个位数字，继续进行下去，直到容易判断为此，如：

42581去掉个位是4258，4258减去1的差是4257，4257去掉个位后是425，425减去7的差是418，418去掉个位8后是41，41减去8的差是33，显然33能被11整除，所以42581是“一心一意数”．

（1）请用上述规律判断2018和20180116是否是“一心一意数”；

（2）一个能被66整除的自然数称为“祥和数”，已知一个四位“祥和数”

（千位数字是a，十位数字是b，百位数字和个位数字都是c，0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9），求

的值．

36．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n

∴

利用方程组可以解决．

请回答：

另一个因式为　　，m的值为　　；

参考小明的方法，解决下面的问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．

37．我们把能被13整除的数称为“超越数”，已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位的4倍，如果和是13的倍数，则原数一定是“超越数”．如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复上述过程，直到清晰判断为止．如：

1131：

113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：

3292：

329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．

（1）请判断42356是否为“超越数”　　（填“是”或“否”），若

+4c＝13k（k为整数），化简

除以13的商（用含字母k的代数式表示）．

（2）一个四位正整数N＝

，规定F（N）＝|a+d2﹣bc|，例如：

F（4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a＝c，其中1≤a≤4．求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值．

38．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．

（1）请直接用含a，b的代数式表示S1＝　　，S2＝　　；

（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：

　　；

（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．

39．发现与探索．

（1）根据小明的解答（图1）将下列各式因式分解

①a2﹣12a+20

②（a﹣1）2﹣8（a﹣1）+7

③a2﹣6ab+5b2

（2）根据小丽的思考（图2）解决下列问题．

①说明：

代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．

②请仿照小丽的思考解释代数式﹣（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式﹣a2+12a﹣8的最大值．

40．计算（ax+b）（cx+d）＝acx2+adx+bcx+bd＝acx2+（ad+bc）x+bd，倒过来写可得：

acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．我们就得到一个关于的二次三项式的因式分解的一个新的公式．我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果．这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．如图1所示．

示例：

例如因式分解：

12x2﹣5x﹣2

解：

由图2可知：

12x2﹣5x﹣2＝（3x﹣2）（4x+1）

请根据示例，对下列多项式因式分解：

①2x2+7x+6　　　　②6x2﹣7x﹣3

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．D2．B3．D4．C5．A6．B7．C8．C9．B10．C11．A12．B13．C14．B15．A

二．填空题（共9小题）

16．（1﹣2a）（1+2a）17．（a+b）（2a+b），18．﹣2519．320．221．﹣3

22．等腰三角形或直角三角形．23．（a+1）100．24．（x﹣1）（x+2）2．

三．解答题（共16小题）

25．解：

（1）m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2；

（2）2x2﹣18

＝2（x2﹣9）

＝2（x+3）（x﹣3）．

26．解：

（1）﹣3x3﹣6x2y﹣3xy2；

＝﹣3x（x2+2xy+y2）

＝﹣3x（x+y）2；

（2）（a2+9）2﹣36a2

＝（a2+9+6a）（a2+9﹣6a）

＝（a+3）2（a﹣3）2；

（3）25m2﹣（4m﹣3n）2

＝（5m）2﹣（4m﹣3n）2，

＝（5m+4m﹣3n）（5m﹣4m+3n）

＝3（3m﹣n）（m+3n）；

（4）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3

＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1）

＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．

27．解：

（1）x2﹣40x+351

＝x2﹣40x+400﹣49

＝（x﹣20）2﹣49

＝（x﹣20+7）（x﹣20﹣7）

＝（x﹣13）（x﹣27）；

（2）∵一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，

∴这个长方形的长为：

＝

＝a+6b，

即这个长方形的长是a+6b．

28．解：

（1）∵a＝1，b＝2，c＝

，

∴c＝

＝

，

即a，b的“机智数”c是

；

（2）∵a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c＝

，

∴c＝

﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝

﹣m；

（3）∵c＝

﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝

﹣m，c＝

﹣m为一个整数，

∴m＝1或m＝﹣1（舍去），

即m的整数值是1．

29．解：

（1）∵8＝32﹣12，

∴8是一个完美数，

∵8＝1×8＝2×4，

∴F（8）＝

＝

，

故答案为：

是，

；

（2）设m＝a2﹣b2，n＝c2﹣d2，其中a，b，c，d均为整数，

则mn＝（a2﹣b2）（c2﹣d2），

＝a2c2﹣a2d2﹣b2c2+b2d2，

＝（a2c2+2abcd+b2d2）﹣（a2d2+2abcd+b2c2），

＝（ac+bd）2﹣（ad+bc）2，

∵a，b，c，d均为整数，

∴ac+bd与ad+bc也是整数，即mn是“完美数”．

（3）∵x+y能够被8整除，且1≤x≤y≤9，x，y都是整数，

∴x+y＝8或16，

∴n＝79或97或88或71或17或26或62或35或53或44，

∵n为“完美数”，

∴n为79或97或88或71或17或35或53或44，

其中，79＝1×79，F（79）＝

，

97＝1×97，F（97）＝

，

88＝1×88＝2×44＝4×22＝11×8，F（88）＝

，

71＝1×71，F（71）＝

，

17＝1×17，F（17）＝

，

35＝1×35＝5×7，F（35）＝

，

53＝1×53，F（53）＝

，

44＝1×44＝2×22＝4×11，F（44）＝

，

∴F（n）的最大值是

．

故答案为：

．

30．解：

（1）剩余部分的面积为（a2﹣4b2）平方米；

（2）当a＝15，b＝2.5时，

a2﹣4b2

＝（a+2b）（a﹣2b）

＝（15+5）（15﹣5）

＝200（平方米）．

31．解：

（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042，

∴28和2020是“和谐数”；

（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），

∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．

32．解：

（1）x2y﹣2xy2+y3

＝y（x2﹣2xy+y2）

＝y（x﹣y）2；

（2）4ax2﹣48ax+128a

＝4a（x2﹣12x+32）

＝4a（x﹣4）（x﹣8）；

（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2

＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）

＝（x+4y）2（x﹣4y）2．

33．

（1）解：

31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；

设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，

N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，

∵N是四位“最佳拍档数”，

∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，

＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，

＝5940﹣90x﹣900y，

＝90（66﹣x﹣10y），

∴66﹣x﹣10y能被17整除，

①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；

②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；

③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；

④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；

⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；

⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；

综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；

故答案为：

是；

（2）证明：

设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，

它的“顺数”：

1000z+600+10y+x，

它的“逆数”：

1000z+100y+60+x，

∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），

∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，

∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），

∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，

同理得：

任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

34．解：

（1）x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），

当x＝21，y＝7时，x+y＝28，x﹣y＝14，

∴可以形成的数字密码是：

212814、211428；

（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x+p）（x+q）（x+r），

∵当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，

∴27+p＝24，27+q＝28，27+r＝34，

解得，p＝﹣3，q＝1，r＝7，

∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），

∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，

∴

，得

，

即m的值是56，n的值是17．

35．解：

（1）2018去掉个位是201，208减去8的差是200，200去掉个位后是20，20减去0的差是20，20显然不能被11整除，所以2018不是“一心一意数”；

20180116去掉个位是2018011，2018011减去6的差是2018005，2018005去掉个位后是201800，201800减去5的差是201795，201795去掉个位5后是20179，

20179减去5的差是20174，20174去掉个位是2017，2017减去4的差是2013，2013去掉个位后是201，201减去3的差是198，显然198能被11整除，所以20180116是“一心一意数”；

（2）∵

是祥和数

∴

是66的倍数，即也是2的倍数，也是11的倍数．

∴c是偶数

∵能被11整除的正整数特征被11整除的数的特征是奇位数之和与偶位上的数之和的差能被11整除

∴a+b﹣2c＝11k且0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9

∴a+b﹣2c＝11，0≤a+b≤18

∴c＝2，则a+b＝15

∴

＝

36．解：

解方程组

得：

，

即另一个因式为x﹣7，m＝﹣21；

设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，

则2x2+3x﹣k＝（x﹣4）（2x+a），

2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣8）x﹣4a，

所以

，

解得：

a＝11，k＝44，

即另一个因式是2x+11，k＝44，

故答案为：

x﹣7，﹣21．

37．解：

（1）∵4235+4×6＝4259且4259不能整除13∴4235不是超越数．

∵

+4c＝13k∴10a+b+4c＝13k∴10a+b＝13k﹣4c

∵

＝100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝130k﹣40c+c＝130k﹣39c＝13（10k﹣3c）

∴

＝10k﹣3c

（2）由题意得d＝5，a＝c，

∴N＝1000a+100b+10c+5

∵N能被13整除

∴设100a+10b+c+4×5＝13k

∴101a+10b+20＝13k，且a正整数，b，k为非负整数，1≤a≤4

∴a＝2，b＝9，k＝24或a＝3，b＝8，k＝31，或a＝4，b＝7，k＝38

∴F（N）＝|2+25﹣18|＝9，或F（N）＝|3+25﹣24|＝4，或F（N）＝|4+25﹣28|＝1

∴F（N）最小值为1．

38．解：

（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2﹣b2，图2用长方形的长为（a+b），