完整版人教版初三数学旋转模型含详细解析.docx
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完整版人教版初三数学旋转模型含详细解析
旋转模型
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主题
教学内容
1.巩固并掌握旋转的性质;
2.
结合辅助线的构造,更深刻的认识旋转的性质;
1、在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转
2、?
旋转具有以下特征:
1)图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度;
(2)对应点到旋转中心的距离相等;
3)对应角、对应线段相等;(4)图形的形状和大小都不变。
3、旋转的思想:
旋转也是图形的一种基本变换,通过图形旋转变换,从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置,使问题获得简单的解决,它是一种要的解题方法。
4、旋转不同类型
(一)正三角形类型
在正ABC中,P为ABC内一点,将ABP绕A点按逆时针方向旋转60o,使得AB与AC重合。
经过这样旋转变化,将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(1-1-b)中的一个P'CP中,此时P'CP也为正三角形。
【例题】如图:
(1-1):
设P是等边ABC内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,APB的度数是
简解:
在△ABC的外侧,作BAP'CAP,且AP'AP3,连结P'B.
则△BAP'△CAP。
易证△APP‘为正三角形,△PBP'为RT△
APBAPP'P'PB6090150
二)正方形类型
在正方形ABCD中,P为正方形ABCD内一点,将ABP绕B点按顺时针方向旋转90o,使得BA与BC重合。
经过旋转变化,将图(2-1-a)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2-1-b)中的CPP'中,此时CPP'为等腰直角三角形。
例题】如图(2-1):
P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3。
求此正方形ABCD。
简解:
作△AED使DAEBAP,AEAP,连结EP,则△ADE△ABP
同样方法,作△DFC且有△DFC△BPC。
易证△EAP为等腰三角形,又AP
PE2,同理,PF32
EDA
S正方形ABCDSRT△EPFSRT△EPASRT△PFC
三)等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ABC中,
C90o,P为ABC内一点,将APC绕C点按逆时针
方向旋转90o,使得AC与BC重合。
经过这样旋转变化,在图(3-1-b)中的一个PCP'为等腰直角三角形。
【例题】如图,在ABC中,∠ACB=900,BC=AC,P为ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2。
求BPC的度数。
简解:
在RT△ABC的外侧,作BCP'ACP,且CP'CP2,连结P'P,
则△BCP‘△ACP。
易证RT△CPP'为等腰直角三角形,
在△PBP'中,BP'3,BP1,PP'22,由勾股定理的逆定理可知,△P'PB为RT△,P'PB90
BPCCPP'P'PB4590135
典型例题
利用旋转的特征,可巧妙解决很多数学问题,如
一.求线段长.
例1.如图,已知长方形ABCD的周长为20,AB=4,点E在BC上,且AE⊥EF,AE=EF,求CF的长。
【解析】:
将△ABE以点E为旋转中心,顺时针旋转90°,此时点B旋转到点B'处,AE与EF重合,由旋转特征知:
B'E⊥BC,
四边形B'ECF为长方形,∴CE=BF'=AB
∵CF+CE=B'E+CE=BE+EC=BC=6
∴CF=BC-CE=6-4=2
二.求角的大小
【解析】:
因为BCAC,ABCACD60o,BECD
所以以ABC的中心(等边三角形三条中线的交点)O为旋转
中心,将ADC顺时针旋转120o就得到了CEB,
∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°
三.进行几何推理
般可以归结
数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法,在平移和旋转中的应用也相当的广泛,
为两种思想——对称的思想和旋转的思想,具体的分析如下:
例4、如图,正方形ABCD内一点P,∠PAD=∠PDA=15°,连结PB、PC,请问:
ΔPBC是等边三角形吗?
为什么?
【分析】:
本题关键是说明∠PCD=∠PBA=30°,利用条件可以设想将ΔAPD绕点D逆时针方向旋转90°,而使A与C重合,此时问题得到解决.
【解析】:
将ΔAPD绕点D逆时针旋转90°,得ΔDP'C,再作ΔDP'C关于DC的轴对称图形ΔDQC,得ΔCDQ与ΔADP经过对折后能够重合。
∵PD=QD∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°,
∴△PDQ为等边三角形,∴∠PQD=60°.
∵∠DQC∠=APD=180°-15°-15°=150°,
∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,,
∵PQ=QD=C,Q∴∠PCQ=∠
DCQ=15°∴∠PCD=30°∴∠PCB=60
∵PC=BC=CD∴ΔPBC为等边三角形
例5、已知:
如图,E是正方形ABCD的边BC上一点,AF平分∠EAD交CD于点F,说明AE=BE+DF的理由。
【分析】:
由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中,可利用旋转变换,将其放到一个三角形中。
【解析】:
把△ADF绕点A顺时针旋转90°,则点D转到了点B的位置,点F转到了点F'的位置,根据旋转的性质得:
∠3=∠1,F'B=FD,∠AF'B=∠AFD
∵ABCD为正方形∴∠D=∠ABF'=90°
∴F'、B、E、C在一条直线上又∵∠1+∠2+∠EAB=90°
∴∠3+∠2+∠EAB=90°
∴∠F'AE+∠2=90°
又∵∠AFD+∠1=90°
∴∠AF'B+∠1=90°
∵∠1=∠2
∴∠F'AE=∠AF'B
∴AE=F'E=F'B+BE=FD+BE
例6、如图,P是正方形ABCD内一点,将△ABP绕点B顺时针旋转90°,使AB与CB重合,BP到达BP'处,AP到达CP'处,若AP的延长线正好经过P',求∠APB的度数。
分析】:
此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°,根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。
而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和,可各个击破,从而得解。
解析】:
由旋转的性质及特征可知:
∠PBP'=90°,AP⊥P'C,BP=BP'
∴在△BPP'中,1
45
∠BP'P∠BPP'180902
又∵AP的延长线正好经过P'点
∴∠AP'C=90°
∴∠BP'C=∠AP'C+∠BP'P=135°从而可得∠APB=135°
例7、已知:
如图,E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点,且AE⊥FG。
求证:
AE=FG
【分析】:
AE、FG所在位置不易证明相等,可将其一改变位置,如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。
【证明】:
延长AB至F'使BF'=BE,连结CF'
∵正方形ABCD
∴AB=CB,∠ABC=90°
又∵∠CBF'=90°,BE=BF'
∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF'
∴AE=CF',AE⊥CF'
∵FG⊥AE
∴FG∥CF'又∵正方形ABCD,AB∥CD
∴四边形GFF'C为平行四边形
∴CF'=FG
∴AE=FG
例8、如图,P是正方形ABCD中AC上一点,PE⊥AD于E,PF⊥CD于F。
求证:
(1)OE⊥OF
(2)OE=OF
分析】:
充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。
证明】:
∵正方形ABCD
∴∠ADC=90°,∠DAC=45°∵DE⊥AD,∴∠PED=90°∵PF⊥CD,∴∠PFD=90°∴四边形EPFD为矩形
∴PE=DF又∵∠PED=90°,∠DAC=45°
∴∠APE=45°
∴△AEP中,AE=PE∴AE=DF
∵正方形ABCD为中心对称图形
∴△AOD绕点O顺时针旋转90°与△DOC重合∴A与D为对应点
又∵AE=DF
∴E与F为对应点由旋转变换的特征知:
OE⊥OF,OE=OF
例9.△ABC为等边三角形,点D、E、F分别在边AC、AB、BC上,且AE=BF=CD,连结AF、BD、
CE,分别交于点G、H、M。
(1)求∠1的度数;
(2)判断△GMH的形状。
【分析】:
等边三角形是旋转对称图形,且每个角都是60°,∠1是△BCH的外角,可知∠1=∠2+∠3。
而∠2=∠4
∴∠1=∠4+∠3=60°,从而得证。
【解析】:
(1)∵等边△ABC是旋转对称图形,且AE=BF=CD所以,△ABC绕旋转中心旋转120°后,△AEC、△BFA、△CDB能够重合∴∠2=∠4由∠1=∠2+∠3
∴∠1=∠4+∠3=60°
(2)同理可得:
∠GMH=∠MGH=60°
∴△GMH是等边三角形
观察思考:
旋转是几何变换中的基本变换,它一般先对给定的图形或其中一部分,通过旋转,改变位置后得新组合,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系,进而揭示条件与结论之间的内在联系,找出证题途径。
2.如图,该图形围绕自己的旋转中心,按下列角度旋转后,不.能.与其自身重合的是()
A.72oB.108oC.144oD.216o
3.在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的图形有()
A.3个B.4个C.5个D.6个
4.下列命题中的真命题是()
A.全等的两个图形是中心对称图形.B.关于中心对称的两个图形全等.
C.中心对称图形都是轴对称图形.D.轴对称图形都是中心对称图形.
5.如右图,四边形ABCD是正方形,ΔADE绕着点A旋转900后到达ΔABF的位置,连接
EF,则ΔAEF的形状是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
8.如图,△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形,点C恰好在AB上,∠AOD=90°,则∠D的度数是.
9.
如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90゜后,得到矩形AB′C′D′,如果CD=2DA=2,
度后能与原来图形重合.
三、解答题
11.画出下列图形关于点O的对称图形(10分)
12.如图所示,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上(15分)
(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1
(2)以原点O为对称中心,再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2
(3)写出点A2B2C2坐标
探究题:
(第17题)
.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.(15分)
若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否从线段AE、BE和AB
DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.
2.一位同学拿了两块45o三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动:
将△MNK的直角顶点M放
在△ABC的斜边AB的中点处,设ACBC4.(15分)
第19题)
1)如图
(1),两三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为,周长为
2)将图
(1)中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45o,得到图
(2),此时重叠部分的面积为,周长为.
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图
(1)和图
(2)的图形,如图(3),请你猜想此时重叠部分的面积为.
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