概率论公式总结.docx
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概率论公式总结
第1章随机事件及其概率
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B<=A时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A二Q时,P(B)=1-P(B)
乘法公式
乘法公式:
P(AB)=P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A’,Ac,…凡,若P(AxA=-A=-i)>0,则有
P(AiAz...An)=P(Ai)P(Az|Ai)P(Aj1AiAi)P(A”|AiAi...An-1)
独立性
1两个事件的独立性
设事件4、B满足卩⑷)=P(4)P(〃),则称爭件4、B是相互独立的。
若事件A、〃相互独立,且尸(人)>°,则有
P(B|A)=卩⑷)=P(A)P3)=p(B)
P(A)P(A)
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B):
P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(0P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
全概公式
P(A)=P(Bi)P(A|BJ+P(BJP(A|®)+A+P(B“)P(A\Bn)
贝叶斯公式
P(B"A)=Pe)P(A®),口,2,・・□
(巧)P(A/巧)
>=i
此公式即为贝叶斯公式。
P(5),(/=!
2,…,“),通常叫先验概率。
P(B,/A),('=1,2,…,“),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布
连续型随机变量的分布密度
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数/(X),对任意实数",有F(x)=L/(x)dx,则称x为连续型随机变量。
称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具冇下面性质:
/(X)X°L‘⑴办=1
离散与连续型随机变量的关系
P(X=x)^P(x 中所起的作用与P(X=汕)=Pk左离散型随机变虽理论中所起的作用相类似。 设X为随机变量,x是任意实数,则函数F(x)=P(X P(a 分布函数F(x)表示随机变量落入区间(・«,x]内的概率。 1.0 F(x)是单调不减的函数,即xl 尸(xi) 4。 XT-3C.V—HOC 尸(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的;5.P(X=x)=F(x)-F(x-O).对于离散型X 随机变量,对于连续型随机变量,。 =Jf\x)dx -Ua—8 泊松分布 2* P(X=k)=^-e~\兄>0.k=0,1,2A, k\ 则称随机变量X服从参数为;1的泊松分布,记为X〜兀(兄)或 者P (2)o 超几何分布 PZk』・C: *Z2Z C;1=mui(Af,/? ) 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)。 几何分布 p(X=k)=qZp、k=L23,A,其中pNO,q二1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)° 均匀分布 设随机变量X的值只落在[a,b]内,其密度函数/(X)在[a,b]上为常数,1,即 Ac • f(x)= 0,其他 当aWxKx: Wb时,X落在区间 (",心)内的概率为 P(X] b—a 指数分布 正态分布 x>0 I0,兀<0. 其中久>°,则称随机变量X服从参数为久的指数分布。 X的分布函数为 F(x)= x>0 0. x 设随机变最X的密度两数为 两数分布 离散型 记住枳分公式 Jxne~'dx=n\ o 1.(•" 其中"、b>°为常数,则称随机变最X服从参数为"、<7的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X° /(X)具有如下性质: rf(x)的图形是关干x=p对称的: 2。 当时,/(//)=为最大值; 、J2" 若X~N(“,b),则X的分布函数为 2a 1厂吻弘F1厂* ①(X)是不可求积函数,其函数值,己编制成衣可供査用。 (x)且(D(0)=+。 如果X、则 ~N(0,l) Pg X Xl.X2.A,Xn.A P(X=x) pi.PsA,pgA 己知X的分布列为 g(mg(r),A,g(Xn),A y=g(X)的分布列(”=g(xj互不相等)如下: Y 若: 某等,"釦': 冷讪'鋼"偏加作为g(.®的概率。 连续型 先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数Fv(y)=P(g(X)W y),再利用变上下限积分的求导公式求出fy(y)。 第三章二维随机变量及其分布 连续型 对于二维随机向量歹=(X』),如果存在非负函数 /(.V,y)(-s 有 P{(X,Y)6D}=j]7(x,y)dxdy,则称? 为连续型随机向量: D 并称f(x,y)为歹二(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质: (1)f(x,y)$0; (2)匚匚f(x,y)dxdy=1. 离散型与连续型的关系 P(X=x,X=y)«P(x 边缘分布 离散型 X的边缘分布为 £・—P(X=兀)=工Ptj(i,j—1,2,A): i Y的边缘分布为 p.j=p(丫=yj)=Pijo’J=1,2,a)。 i 〔: 型 X的边缘分布密度为 AW=J3/(")dy: Y的边缘分布密度为fY(y)=匚/(利)力 离散型 Pq=Pi・P・j 有零不独立 连续型 f(x,y)=fx(x)fr(y)直接判断,充要条件: ①可分离变量②正概率密度区间为矩形 随机变量的 函数 若X: &…凡,j…人相互独立,h,g为连续函数,则: h(Xx,X2,-X.)和g(人,・・%)相互独立。 特例: 若X与Y独立,则: h(X)和区(Y)独立。 例如: 若X与Y独立,则: 3X+1和5丫-2独立。 函数分布 Z=niaxjiini( XX・・X』 才分布 t分布 根据定义计算: rz(z)=p(z 态分布的和仍为正态分布(“i+M-cri+cr;)。 n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。 "工以,宀工cp: Ii 若X"? AX”相互独立,其分布函数分别为 FVi(x)tFx^(x)AFx(x),则Z-max.iuui(Xi•*Xn)的分布 函数为: FM)=行⑴•(x)AFXu(x) Fmm(x)=1-[1-FXi(x)]•[! -FXz(x)]A[1-FXk(x)] 设n个随机变量X],X"A,X”相互独立,且服从标准正态分布,町以证明它们的平方和 W=fX: 我们称随机变SW服从自由度为n的Z2分布记为 1-1 W〜F(〃) 所谓门由度足指独X: 态随机变也的个数,它是随机变量分布 中的一个重要参数。 才分布满足可加性: 设Yj-x\nS则 Z=D〜力"竹+公+A+nk)./■I 12X.Y是两个相互独立的随机变量,且X~N(Od),Y~z2(/0,可 X 以证明函数T=-==我们称随机变量T服从自由度为n的t分布, 4y7h 记为T〜t(n)°t^a(11)=-ta(7? ) F分布 设X〜才〜才(心),且X与Y独立,可以证明F=X_ih_我们称随机变最f服从第一个自由度为m,第二个Yin. mb 自由度为n: 的F分布,记为F~f(m,m). e(w)-口t、 代⑺佔) 第四章随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设X是离散型随机变最,其分布律为P(X=xk)=Pk,k=l,2,…,n, (要求绝对收敛) 设X是连续型随机变量.其概率密度为f(x), ■KC E(X)=J#(x)dx (要求绝对收敛) 函数的期塑 Y=g(X) 砒)=£gam k=l Y=g(X) 砒)=Jg(x)m)dx -X 方差 D(X)=E[X-E(X)]: 标准差 6X)=J0X), D(X)=》E—E(X)]S D(X)=][x-E(X)Y -00 (1)E(C)二C (2)E(CX)=CE(X) nn (3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)•E(工XJ=工CtE(XJ (4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件: X和Y独立: 充要条件: X和Y不相关。 f(x)dx 望性 随变的 ⑴ -维机量数 字特征 (2)期的质 (3)方差的性质 (1)D(C)=O;E(C)=C (2)D(aX)=a: D(X);E(aX)=aE(X) (3)D(aX+b)=a: D(X): E(aX+b)=aE(X)+b (4)D(X)=E(X-)-E: (X) (5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件: X和Y独立; 充要条件: X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。 而E(X+Y)二E(X)+E(Y),无条件成立。 (4)常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布3(1,p) P pQ-P) 二项分布B(n,p) np W(1-P) 泊松分布F(X) A A 几何分布G(p) 1 P 1一"p2 超几何分布 H0MN) nM N nML n丿 均匀分布Ugb) a+b 2 (b-a)2 12 指数分布讯刃 1 I 1 正态分布N(//,cr2) b 力'分布 n 2n t分布 0 —(n>2)n-2 二维随机变量 期望 E(X)=±XjPi・ r=l E(Y)二 -X E(X)=jxfx(x)dx _x WO E(Y)=jyfY(y)dy -X 函数的期塑 E[G(X.Y)]=工工G(兀,儿也 iJ E[G(X,Y)]= 4CD+x JJG(x,y)/(x,刃厶心 _X—QD 数字特征 方差 d(x)=》[e-e(x)Fp・ J -WC D(X)=J[x-E(X)FA(x)dx -X •wo D(Y)=j[y-E(Y)]2fY(y)dy -X 协方差 对于随机变量X与Y.称它们的一阶混介中心矩为X与Y的协方差或相关矩,记为bxy或COV(X,K),即 b灯=//11=^[(x-f(x)xy-E(n)]. 与记号相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也町分别记为丁茫与^YY。 相关系数 对于随机变量X与Y,如果D(X)>0,D(Y)>0,则称 _空为X弓Y的相关系数,记作卩紬(有时可简记为°)。 JD(X)JD(Y) IplWl,当|p|二1时,称X与Y完全和关: P(X=aY+h)=1完全正相关,肖p=ll甘(a>0), 负相关,半0=-111寸(av0), 而当p=0时,称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的: ®pxr=0: ②cov(X,Y)=0;③E(XY)二E(X)E(Y);④D(X+Y)二D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差的性质 (i)cov(X,Y)=cov(Y,X): (ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y); (iii)cov(Xi+Xs,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X;,Y); (lv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 独立利不相关 若随机变量X与Y相互独立,则=0;反之不真。 (2)中心极限定理 // 列维一 林德伯格定理 设随机变量XnX: …相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差: E(XQ=“,£>(XJ=/工0伙=1,2,A),则随机变量 ixk一叩 V—E 的分布函数EC0对任意的实数X,有 A■ 乞Xk-Wy InnFn(x)-lunP{_ f"txJ’QJ2rrJ'x ■ 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗一拉普拉斯定理 设随机变量X“为具有参数n,P(O -hinp\X"~np<4-[「£% [J〃〃(i一p) 第六章样本及抽样分布 样本k阶中心矩 E(X)=//,D(X)=— n 1刀一 其中s*2=ly(xf-X)2, E(S2)=cr2 £(S*2)=^-o-2n 为二阶中心矩 设“,W,A,兀,为來自正态总体)的一个样本,而 儿,儿,人,儿为来自正态总体N(/la;)的一个样本,则样本 函数 F分布 defs2/a2 F—: 1~尸(心-Ln2_1),其中 S[/(T; 1ni-1n: - S: =——£(匕-审,s;=——X(y,-y)2;弘一1気”2-1辭 F(耳一1,n2-1)表示自由度为©-1, t分布 设xhx: A,兀为来自正态总体的一个样本,则样 表示自由度为分 n—1MM卜命 当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为•其中为未知 参数。 又设坷宀A,£为总体的-个样本,荊g,G,A,/)=h/(»q,d,A,色 为样本的似然函数,简记为Ln.,=1 当总体X为离型随机变量时,设其分布律为P{X=x}=p(x^[,6>: A,盅),则 L(jhx: A,兀;q,&: A,0”)=fj"a;q,&-A,&",)为样本的似然两数。 若似然两数 1-1 人A人AAA 厶,%)在扒小4九处取到Ai人值,则称8-2A,&刃分别为q,2,A,盅的最人似然估计值,相应的统计量称为最人似然估计量。 =0j=L2.Am若5为&的极大似然估.
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