《第一章全等三角形的辅助线》知识点与同步训练含答案解析.docx
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《第一章全等三角形的辅助线》知识点与同步训练含答案解析
全等三角形辅助线的作法
知识精讲
一.中点类辅助线作法
见到中线(中点),我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段,尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见,常见添加方法如下图(AD是MBC底边的中线).
.角平分线类辅助线作法
有下列三种作辅助线的方式:
1.由角平分线上的一点向角的两边作垂线;
2.过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形;
3
.OA=OB,这种对称的图形应用得也较为普遍.
三.截长补短类辅助线作法
截长补短法,是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思
想.所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段等于已知的两条较短
线段中的一条,然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等;所谓“补短”,就是将一个已知的
较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等,然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关
系.有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解.
点剖析
.考点:
全等三角形辅助线的作法
二.重难点:
中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法
三.易错点:
1.辅助线只是一个指导方法,出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线,关键是如何分析题目;
2.辅助线不是随便都可以作的,比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来.
工"题模精讲
题模一:
中点类
例1.1.1已知:
△ABC中,AD是BC边上的中线,AB=8,AC=6,试求AD的取值范围.
【答案】1:
:
:
AD:
二7
【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等.
E-
延长AD至E,使得DE=AD,连结CE
在^A鸵圆CdEcd中
1.'ZADBZEDC
・.△ABDDWEDECD(SAS)AB=CE
AE的取值范围为CE-AC 2二AE<14 1: AD;1 例1.1.2如图所示,在MBC中,AB=AC,延长AB至UD,使BD=AB,E为AB的中点,连接CE、CD,求证: CD=2EC. 【答案】见解析 【解析】解法一: 如图所示,延长CE到F,使EF=CE,连接BF. 容易证明任BF9AEAC,从而BF=AC,而AC=AB=BD,故BF=BD.注意至UZCBD=/BAC+/ACB=/BAC+/ABC, NCBF=/ABC+/FBA=/ABC+/CAB, 故ZCBF=ZCBD,而BC公用,故ACBFACBD,因此CD=CF=2CE. 解法二: 如图所示,取CD的中点G,连接BG. 因为G是CD的中点,B是AD的中点, 11 故BG是4AC的中位线,从而BG=—AC=—AB=BE, 22 由BG//AC可得ZGBC=/ACB=/ABC=/EBC,故ABCE9ABCG,从而EC=GC,CD=2CE. 题模二: 角平分线类 例1.2.1如图,/A+/D=180。 ,BE平分/ABC,CE平分/BCD,点E在AD上. ①探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系. ②探讨线段BE与CE之间的位置关系. 【答案】见解析 【解析】①AB+CD=BC;②BEICE.证明如下: 在线段BC上取点F,使FB=AB,连结EF. 在MBE和AFBE中 AB=FB .ABE=.FBE BE=BE MBE^任BE ZAEB=/FEB,/BAE=/BFE •••.AD=180 而.BFE.CFE=180 .CDE=.CFE 在ACDE和ACFE中 >CDEZCFE ;_DCE=.FCE CE=CE ACDE9iCFE /DEC=/FEC,CD=CF AB+CD=BC,/BEC=/BEF+ZCEF=90° 例1.2.2如图,已知AB=AC,/BAC=90。 BD为/ABC勺平分线,CELBE求证: BD=2CE. 【答案】见解析 【解析】延长CE,交BA的延长线于点F. •••BD为/ABC的平分线,CEXBE, BEF^ABEC,,BC=BF,CE=FE. •••ZBAC=90。 ,CEXBE,「./ABD=ZACF, 又「AB=AC,.ABD^AACF,BD=CF.,BD=2CE. 例1.2.3已知/MAN=120*,AC平分/MAN点RD分别在ANAM上. (1)如图1,若NABC=/ADC=90)请你探索线段ADABAC之间的数量关系,并证明之; (2)如图2,若NABC+NADC=180%则 (1)中的结论是否仍然成立? 若成立,给出证明;若不 【解析】 (1)关系是: AD+AB=AC. 证明: •••AC平分/MAN,/MAN=120。 .CAD=/CAB=60 又/ADC=/ABC=90 .ACD=/ACB=30 rr1 则AD=AB=-AC(直角三角形一锐角为30,则它所对直角边为斜边一半)2 AD+AB=AC; (2)仍成立. 证明: 过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F .AC平分/MAN CE=CF(角平分线上点到角两边距离相等) •••/ABC+ZADC=180)ZADC+/CDE=180° .CDE-/ABC 又/CED=/CFB=90: /.ACED^ACFB(AAS) •••ED=FB,AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF 由 (1)知AE+AF=AC, AD+AB=AC. AFBN 题模三: 截长补短类 例1.3.1如图所示,MBC是边长为1的正三角形,ABDC是顶角为120=的等 腰三角形,以D为顶点作一个60。 的/MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AAMN的周长. 【答案】见解析 【解析】如图所示,延长AC到E使CE=BM. 在四DM与MDE中,因为BD=CD,/MBD=/ECD=90©,BM=CE,所以姐DM9iCDE,故MD=ED. 因为ZBDC=120°,ZMDN=60°,所以ZBDM+/NDC=60, 又因为NBDM=/CDE,所以/MDN=/EDN=60叫 在川ND与iEND中,DN=DN,/MDN=/EDN=60,DM=DE,所以川ND叁iEND,则NE=MN,所以"MN的周长为2. 例1.3.2阅读下列材料: 如图1,在四边形ABCD43,已知/ACB4BAD=105,/ABChADC=45.求证: CD=AB. 小刚是这样思考的: 由已知可得,/CAB=30,/DAC=75,/DCA=60,/ACB吆DAC=180,由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE±AB交BC的延长线于点E,则AB=AE /E=/D. 在△ADCI△CEA中, rZD=ZE lAC=CA .AD挈△CEA 得CD=AE=AB. 请你参考小刚同学思考问题的方法,解决下面问题: 图1图2 如图2,在四边形ABCD43,若/ACB吆CAD=180,/B=ZD,请问: CD与AB是否相等? 若相等,请你给出证明;若不相等,请说明理由. 【答案】见解析 【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质. CD与AB相等. 证明如下: 工 图1图2 作AE=AB交BC的延长线于点E,.B=./E •••.B=/D ZD=NE, ZACB+NDAC=180。 /ACB+NECA=180。 ZDAC=/ECA, ••・在ADAC和AECA中 Id=.e 'ZDACZECA AC二CA •••ADACZ^ECA CD=AE •••CD=AB. 随堂练习 随练1.1如图所示,已知MBC中,AD平分NBAC,E、F分别在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求证: EF//AB. 【答案】见解析 【解析】延长AD到M,使DM=AD,连结EM,利用SAS证明&ADC且AMDE, N3=NM,AC=EM. 又AC=EF,.1.EM=EF,/1=/M,Z1=/3, •••AD平分NBAC,/2=/3, 【答案】见解析 【解析】BE+CD=BC, 理由是: 在BC上截取BF=BE,连结OF, 利用SAS证彳导ABEO色ABFO,,Z1=/2, 1 .・ZA=60>/BOC=90*+—/A=120: /./DOE=120口, 2 ZA+/DOE=180°,ZAEO+ZADO=180% Z1+/3=180*, 22+24=180©,/1=/2,,/3=/4, 利用AAS证彳导笈DO9ACFO,「.CD=CF,BC=BF+CF=BE+CD. 随练1.3如图,在^ABC中,ZBAC=60°,ZACB=40°,P、Q分别在BCCA匕并且APBQ分别是/BAC/ABC勺角平分线.求证: (1)BQ=CQ; (2)BQ+AQ=AB+BP. A BPC 【答案】见解析 【解析】该题考察的是全等三角形. (1).「BQ是/ABC的角平分线, 八一1八 ..ZQBC=—/ABC.2 •••/ABC+/ACB+/BAC=180,且/BAC=60。 /ACB=400,/ABC=80% 1一 一ZQBC=—父80~=40: 2 ZQBC=/C, BQ=CQ; (2)延长AB至M,使得BM=BP,连结MP. ZM=NBPM, .△ABC中ZBAC=60s,ZC=40", ZABC=80 •••BQ平分/ABC, ZQBC=40'/C, BQ=CQ, ZABC=ZM+/BPM, ZM=/BPM=40+=/C, AP平分ZBAC, /MAP=/CAP, 在祥MP和"CP中, 4? M=/C "map/capIAP=AP AMP^AACP, AM=AC, •••AM=AB+BM=AB+BP,AC=AQ+QC=AQ+BQ, ABBP=AQBQ 随练 CDE 1.4五边形ABCDEKAB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180口,求证: AD平分/ 【答案】见解析 【解析】延长DE至F,使得EF=BC,连接AC. ZABC+/AED=180。 ZAEF+/AED=180%,/ABC=/AEF,.AB=AE,BC=EF,/.△ABC^AAEF. EF=BC,AC=AF •••BC+DE=CD,.1.CD=DE+EF=DF ADC^AADF,,NADC=NADF 即AD平分/CDE. 随练1.5如图,△ABC中,NBAC>^B>ZC,AD是BC边上的高,如果CD=AB+BD,我们就称 △ABE“高和三角形”.请你依据这一定义回答问题: (1)若ZBAC=90°,/C=30°,则^ABC"高和三角形”(填“是”或“不是”); 22)一般地,如果△ABC是“高和三角形”,则NB与NC之间的关系是,并证明你的结论 4 3DC 【答案】 (1)是 (2)/B=2/C;见解析 【解析】该题考察的是全等三角形. (1)如图,RtAABC中,/BAC=90。 ZB=60°,ZC=30° 在BC上截取BE=AB,则AABE为等边三角形 AB=BE=AE 「/BAE=60。 ,/BAC=90> .EAC=30,: _C AE=EC AB=EC •••AD_LBC,且9BE为等边三角形 BD=DEDC=DEEC=BDAB,是高和三角形. (2)如上图,在AABC中,在DC上截取DE=BD. CD=ABBD CE=AB .C"EAC ••BEA=2C .「AD是BC边上的高且BD=DE .-.△ABDAED(SAS) /AEBZB ZB=2" 随练1.6如图所示,/BAC=/DAE=90°,M是BE的中点,AB=AC,AD=AE,求证AM_LCD. 【答案】见解析 【解析】如图所示,设AM交DC于H,要证明AM_LCD,实际上就是证明NAHD=90、而条 件BM=ME不好运用,我们可以倍长中线AM至ijF,连接BF交AD于点N,交CD于点O. 容易证明MME色AFMB 则AE=FB,NEAF=/F,从而AE//FB,/ANF=90◎ 而NCAD+/DAB=90。 ,/DAB+/ABN=90。 ,故/CAD=/ABN 从而ACAD色MBF,故/D=/F 而.D.DONu/FOH.F=90 故/AHD=90°,亦即AM1CD. •••BEXAE,/AEB=/AEM=90* 在△ABE中,•••N1+N3+/AEB=180) Z3=90Z1同理,-4=90--2 Z1=Z2,N3=/4,AB=AM •••BEXAE,BM=2BE, AC-AB=AC-AM=CM, 4是4BCM的外角,,N4=/5+/C /ABC=3/C,.=/ABC=/3+/5=/4+/5 3/C=/4+/5=2/5+/C,/5=/C CM=BM,AC_AB=BM=2BE '■自我总结 3课后作业 作业1已知: 如图,E是BC的中点,点A在DE上,且ZBAE=/CDE. 【解析】延长DE到F,使EF=DE,连接BF, E是BC的中点,,BE=CE, ・•・在4BEF和4CED中 BE=CE ! 」BEF-.CED EF=DE BEF^ACED. ZF=/CDE,BF=CD. •••/BAE=ZCDE,/BAE=/F. AB=BF, 又「BF=CD,AB=CD. AE平分ZBAC交BC于E,DF〃AE交AC于F,AC=2, 【解析】解: 延长DF交BA延长线与点G,延长FD到H使彳导HD=FD,连接BH. 'AE平分NBAC,DG//AE, 「./BAE=/EAC=/DFC=/AFG=/DGA,二FA=GA, ■双DH=DF,CD=DB,易得ACFD=ABHD, 「■CF=BH,/CFD=/BHD=/AGF, 贝UBH=BG=CF,设AF=x,贝UBG=1+x,CF=AC-AF=2—x=BH=BG=1+x, 13 斛得,x=—,CF=2-x=-22 G 作业3如图,在^ABC中,CC=2/B,AD平分/BAC求证: AB-AC=CD. 【答案】见解析 【解析】在AB上截取点E,使得AE=AC. .AD平分/BAC,ZEAD=/CAD, ADE^AADC(SAS).「./AED=/C,ED=CD. •••ZC=2/B,ZAED=2ZB. •••ZAED=/B+/EDB,「.ZB=ZEDB,「.BE=DE. CD=BE=AB—AE=AB-AC. 作业4已知: /AOB=90,,OM是/AOB勺平分线,将三角板的直角顶点P在射线OMk滑动,两直角边分别与OAO皎于CD. (1)PC和PD的数量关系是. (2)请你证明 (1)得出的结论. D 【答案】见解析 【解析】 (1)PC=PD. (2)过P分另1J作PE^OB于E,PFXOA于F, ZCFP=/DEP=90。 •••OM是/AOB的平分线,,PE=PF, Z1+/FPD=90,且/AOB=90©, ZFPE=90°, Z2+ZFPD=90Z1=/2, 在4CFP和^DEP中 1PCPF=.DEP /PF=PE,CFP^ADEP,PC=PD. 1=/2 作业5已知: 如图,△ABC中,AB=AC,BD平分/ABCBC上有动点P. (1)DPIBC时(如图1),求证: BP=DC+CP; (2)DP平分/BDC时(如图2),BQCDCP三者有何数量关系? A 【答案】 (1)见解析 (2)BD=CD+CP 【解析】 (1)证明: 在BP上截取PM=PC,连接DM, •••DPXBC, DM=DC, .•4=/DMC, AB=AC, /ABC=/C=/DMP, •••BD平分/ABC, /ABC=2/DBC=/C, ZDMC=2/DBC, •••ZDMC=/DBC+/BDM, ZDBC=/MDB, DM=BM=DC,BP=BM+PM=DC+CP. (2)解: BD=CD+CP, 理由是: 在BD上截取DM=DC,连接PM,.DP平分/BDC, ZMDP=/CDP, 在AMDP和ACDP中 DM=DC 'zmdpzcdp DP=DP MDP^ACDP(SAS), CP=MP,ZC=/DMP, •••ZC=NABC=2/DBC, ZDMP=2/DBC=/DBC+/MPB, ZDBC=/MPB, BM=MP=CP,BD=CD+CP. 作业6已知等腰MBC,ZA=100°,NABC的平分线交AC于D,则BD+AD=BC. 【答案】见解析 【解析】延长BD至E,使CD=DE,连接AE,AD, •••BD+CD=AB,BE=BD+DE,BE=AB, •••ZABD=60°,「.△ABE是等边三角形,AE=AB=AC,ZE=60、 AC二AE 在AACD和AADE中,Jcd=DE, I AD=AD ACDADE(SSS),/ACD=/E=60, 作业8如图1,在△ABC\ZACB=2/B,/BAC勺平分线AO^BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线l±AOTH,分别交直线ABACBC于点ME、M (1)当直线l经过点C时(如图2),证明: BN=CD; (2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证明; (3)请直接写出BNCECD之间的等量关系. 【答案】 (1)见解析 (2)CD=2CE(3)当点M在线段BC上时,CD=BN+CE;当点M在 BC的延长线上时,CD=BN-CE;当点M在CB的延长线上时,CD=CE—BN 【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一,全等三角形的判定和性质. (1)证明: 连接ND. .AO平分/BAC, Z1=/2, •.直线UAO于H, .1./4=/5=90) Z6=/7, AN=AC, NH=CH, .•.AH是线段NC的中垂线, DN=DC,Z8=29.ZAND=/ACB, •••ZAND=/B+/3,ZACB=2/B, ZB=/3,BN=DN.BN=DC; (2)如图,当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为CD=2CE证明: 过点C作CN'±AO交AB于N'. 由 (1)可得BN,=CD,AN,=AC,AN,=AC. ,/4=/3,NN「=CE. 过点C作CG//AB交直线l于G. Z4=/2,ZB=21. Z2=/3. CG=CE. M是BC中点, BM=CM在△BNl^耳在CGM中, 2. BM二CM BNNMB£GGMC(ASA)BN=CE. CD=BN'=NN'+BN=2CE. (3)BN、CE、CD之间的等量关系: 当点M在线段BC上时,CD=BN+CE; 当点M在BC的延长线上时,CD=BN-CE;当点M在CB的延长线上时,CD=CE-BN.
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