完整版直线与园圆与圆的位置关系知识点及习题推荐文档.docx
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完整版直线与园圆与圆的位置关系知识点及习题推荐文档
直线与圆、圆与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
2、直线与圆相切
3、直线与圆相交
⇒d>r
⇒d=r
⇒d ⇒无交点; ⇒有一个交点(切点); ⇒有两个交点; 二、切线的判定定理与性质 (1)切线的判定定理: 过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件: 过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即: ∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 (2)性质定理: 经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心(如上图) ①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 例1、在中,BC=6cm,∠B=30°,∠C=45°,以A为圆心, 当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切? 相交? 相离? 解题思路: 作AD⊥BC于D 在中,∠B=30°∴ 在中,∠C=45° ∴CD=AD ∵BC=6cm∴ ∴ ∴当时,⊙A与BC相切;当时,⊙A与BC相交;当时,⊙A与BC相离。 例2.如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且 ∠DCB=∠A. (1)CD与⊙O相切吗? 如果相切,请你加以证明,如果不相切,请说明理由. (2)若CD与⊙O相切,且∠D=30°,BD=10,求⊙O的半径. 解题思路: (1)要说明CD是否是⊙O的切线,只要说明OC是否垂直于CD,垂足为C,因为C点已在圆上. 由已知易得: ∠A=30°,又由∠DCB=∠A=30°得: BC=BD=10解: (1)CD与⊙O相切 理由: ①C点在⊙O上(已知) ➁∵AB是直径 ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90° 综上: CD是⊙O的切线. (2)在Rt△OCD中,∠D=30° ∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20,∴r=10 答: (1)CD是⊙O的切线, (2)⊙O的半径是10. 三、切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即: ∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PBPO平分∠BPA (证明) 四、圆幂定理 (1)相交弦定理: 圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即: 在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P, ∴PA⋅PB=PC⋅PD(相似) (2) 推论: 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即: 在⊙O中,∵直径AB⊥CD, ∴CE2=AE⋅BE (3) 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即: 在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴PA2=PC⋅PB (4) 割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。 A 即: 在⊙O中,∵PB、PE是割线DE ∴PC⋅PB=PD⋅PEPO CB 五、三角形的内切圆 (1)定义: 与三角形三边都相切的圆(角平分线的交点) (2)内心、外切三角形 例1: 如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90,AO的延长线交BC于点 D,AC=4,DC=1,,则⊙O的半径等于() 1、如图,∠ABC=90°,O为射线BC上一点,以点O为圆心、1BO长为 2 半径作⊙O,当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切. 六、圆与圆的位置关系 外离(图1)⇒ 外切(图2)⇒ 无交点 有一个交点 ⇒d>R+r; ⇒d=R+r; 相交(图3)⇒内切(图4)⇒内含(图5)⇒ 有两个交点有一个交点无交点 ⇒R-r ⇒d=R-r; ⇒d 图1图3 例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小. (1) (2) 解题思路: 要求∠TPN,其实就是求∠OPO′的角度,很明显,∠POO′是正三角形,如图2所示. 解: ∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60° 又∵TP与NP分别为两圆的切线,∴∠TPO=90°,∠NPO′=90° ∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120° 例2.如图1所示,⊙O的半径为7cm,点A为⊙O外一点,OA=15cm,求: (1)作⊙A与⊙O外切,并求⊙A的半径是多少? (1) (2) (2)作⊙A与⊙O相内切,并求出此时⊙A的半径. 解题思路: (1)作⊙A和⊙O外切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA;(2)作OA与⊙O相内切,就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO. 解: 如图2所示, (1)作法: 以A为圆心,rA=15-7=8为半径作圆,则⊙A的半径为8cm (2)作法: 以A点为圆心,rA′=15+7=22为半径作圆,则⊙A的半径为22cm 例3.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上. (1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系; (2) 若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标. 答 (1)AB=5>1+3,外离. (2)设B(x,0)x≠-2,则AB= _ ,⊙B半径为│x+2│, ①设⊙B与⊙A外切,则=│x+2│+1, 当x>-2时,=x+3,平方化简得: x=0符题意,∴B(0,0),当x<-2时,=-x-1,化简得x=4>-2(舍), ➁设⊙B与⊙A内切,则=│x+2│-1, 当x>-2时,=x+1,得x=4>-2,∴B(4,0),当x<-2时,=-x-3,得x=0, 七、两圆公共弦定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图: O1O2垂直平分AB。 即: ∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 八、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长: Rt∆OOC中,AB2=CO2=; 121 (2)外公切线长: CO2是半径之差;内公切线长: CO2是半径之和。 九、圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在Rt∆BOD中进行: OD: BD: OB=1: : 2; (2)正四边形 同理,四边形的有关计算在Rt∆OAE中进行,OE: AE: OA=1: 1: : (3)正六边形 同理,六边形的有关计算在Rt∆OAB中进行,AB: OB: OA=1: : 2. 基础训练 1.填表: 直线与圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 名称 圆心到直线的距离d 与圆的半径r的关系 直线的 名称 相交 相切 相离 2.若直线a与⊙O交于A,B两点,O到直线a的距离为6,AB=16,则⊙O的半径为 . 3.在△ABC中,已知∠ACB=90°,BC=AC=10,以C为圆心,分别以5,5,8为半径作图,那么直线AB与圆的位置关系分别是,,. 4.⊙O的半径是6,点O到直线a的距离为5,则直线a与⊙O的位置关系为() A.相离B.相切C.相交D.内含5.下列判断正确的是( ) ①直线上一点到圆心的距离大于半径,则直线与圆相离;②直线上一点到圆心的距离等于半径,则直线与圆相切;③直线上一点到圆心的距离小于半径,则直线与圆相交.A.①②③B.①②C.②③D.③ 6.OA平分∠BOC,P是OA上任一点(O除外),若以P为圆心的⊙P与OC相离,那么⊙P与OB的位置关系是() A.相离B.相切C.相交D.相交或相切7.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=6,CB=8,以C为圆心,r为半径 作⊙C,当r为多少时,⊙C与AB相切? 8.如图,⊙O的半径为3cm,弦AC=4cm,AB=4cm,若以O为圆心,再作一个圆与AC 相切,则这个圆的半径为多少? 这个圆与AB的位置关系如何? ◆提高训练 9. 如图所示,在直角坐标系中,⊙M的圆心坐标为(m,0),半径为2,如果 ⊙M与y轴所在直线相切,那么m=,如果⊙M与y轴所在直线相交, 那么m的取值范围是. 10.如图,△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,以A为圆心,3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是. 11.如图,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,长为半径的圆与直线AC,EF,CD的位置关系分别是什么? 12. 已知⊙O的半径为5cm,点O到直线L的距离OP为7cm,如图所示. (1)怎样平移直线L,才能使L与⊙O相切? (2)要使直线L与⊙O相交,应把直线L向上平移多少cm? 13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以C为圆心,r为半径作圆,那么: (1) 当直线AB与⊙C相切时,求r的取值范围; (2)当直线AB与⊙C相离时,求r的取值范围; (3)当直线AB与⊙C相交时,求r的取值范围. 14.在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来,已知该风暴速度为每小时20千米,风暴周围50千米范围内将受到影响,若该风暴不改变速度与方向,问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响? 若不受影响,请说明理由;若受影响,请求出受影响的时间. 一、选择题: 九年级下册直线和圆的位置关系练习题 1.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不能确定 2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以C为圆心作⊙C和AB相切,则⊙C的半径长为() A.8B.4C.9.6D.4.8 3.⊙O内最长弦长为m,直线l与⊙O相离,设点O到l的距离为d,则d与m的关系是 () A.d=mB.d>m m C.d>2 m D.d<2 4.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 5.菱形对角线的交点为O,以O为圆心,以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为() A. 相交B.相切C.相离D.不能确定 6.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB为6 是() ,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系 A.相离B.相交C.相切D.不能确定7.下列四边形中一定有内切圆的是() A.直角梯形B.等腰梯形C.矩形D.菱形8.已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F,那么点O是△DEF的() A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线交点D.三条边的垂直平分线的交点 9.给出下列命题: ①任一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形; ③任一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆; ④任一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形.其中真命题共有() A.1个B.2个C.3个D.4个二、证明题 1.如图,已知⊙O中,AB是直径,过B点作⊙O的切线BC,连结CO.若AD∥OC交 ⊙O于D.求证: CD是⊙O的切线. 2.已知: 如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证: CD 是小圆的切线. 3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O的半径为3. (1)当圆心O与C重合时,⊙O与AB的位置关系怎样? (2) 若点O沿CA移动时,当OC为多少时? ⊙C与AB相切? 4.如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分 ∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系? 5. 设直线ι到⊙O的圆心的距离为d,半径为R,并使x2-2 的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系. x+R=0,试由关于x 6.如图,AB是⊙O直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC,垂足为E. (1)由这些条件,你能得出哪些结论? (要求: 不准标其他字母,找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中,不写推理过程,写出4个结论即可) (2)若∠ABC为直角,其他条件不变,除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论? 并画出图形.(要求: 写出6个结论即可,其他要求同 (1) 7. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是多少? 8.如图,有一块锐角三角形木板,现在要把它截成半圆形板块(圆心在BC上),问怎样 截取才能使截出的半圆形面积最大? (要求说明理由) 9.如图,直线ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路.现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有几处? 答案: 一.1-5ADCBB;6-9CDDB 二.1.提示: 连结OC,证△AOC与△BOC全等 2.作垂直证半径,弦心距相等 3.①垂直三角形的高,用面积方法求;②△AOE∽△ABC即可 4.用角平分线定理证明EF=EA=EB即可 5.做三角形的内切圆 6.①DE与⊙O相切,AB=BC,DE2+CE2=CD2,∠C+∠CDE=90° ②BC是⊙O的切线,有DE=1/2AB等. 7.R=2.4或3 8.∠A角平分线与BC的交点为圆心O,O到AC的距离为半径做圆 9.4 Attheend,XiaoBiangivesyouapassage.Minandoncesaid,"peoplewholearntolearnareveryhappypeople.".Ineverywonderfullife,learningisaneternaltheme.Asaprofessionalclericalandteachingposition,Iunderstandtheimportanceofcontinuouslearning,"lifeisdiligent,nothingcanbegained",onlycontinuouslearningcanachievebetterself.Onlybyconstantlylearningandmasteringthelatestrelevantknowledge,canemployeesfromallwalksoflifekeepupwiththepaceofenterprisedevelopmentandinnovatetomeettheneedsofthemarket.Thisdocumentisalsoeditedbymystudioprofessionals,theremaybeerrorsinthedocument,ifthereareerrors,pleasecorrect,thankyou!
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