届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题含答案.docx

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届中考数学复习《二次函数的综合问题》专题训练题含答案

二次函数的综合问题

例1。

如图1，已知抛物线

（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

例2。

2014年苏州市中考第29题

如图1，二次函数y＝a（x2－2mx－3m2）（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C（0,－3），点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a；

（2）求证：

为定值；

（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：

在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？

如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

练习1、如图1，抛物线

与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

练习2、如图1，抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4,0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图1

练习3．（2015苏州）如图，已知二次函数

（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．

（1）∠ABC的度数为▲°；

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？

如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

练习4．（2016苏州）如图，直线

与

轴、

轴分别相交于A、B两点，抛物线

经过点B．

（1）求该地物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM．设点M的横坐标为

，△ABM的面积为S．求S与

的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点

.

①写出点

的坐标；

②将直线

绕点A按顺时针方向旋转得到直线

，当直线

与直线

重合时停止旋转．在旋转过程中，直线

与线段

交于点C．设点B、

到直线

的距离分别为

、

，当

最大时，求直线

旋转的角度（即∠BAC的度数）．

练习5．（2017苏州）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：

抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

参考答案

例1。

思路点拨

1．第

（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B的坐标为（b,0），点C的坐标为（0,

）．

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．

因此PD＝PE．设点P的坐标为（x,x）．如图3，联结OP．

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝

＝2b．

解得

．所以点P的坐标为（

）．

图2图3

（3）由

，得A（1,0），OA＝1．

①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

当

，即

时，△BQA∽△QOA．

所以

．解得

．所以符合题意的点Q为（

）．

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

因此△OCQ∽△QOA．当

时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．

所以C、Q、B三点共线．因此

，即

．解得

．此时Q（1,4）．

图4图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例2。

思路点拨

1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．

2．在计算的过程中，第

（1）题的结论

及其变形

反复用到．

3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．

满分解答

（1）将C（0,－3）代入y＝a（x2－2mx－3m2），得－3＝－3am2．因此

．

（2）由y＝a（x2－2mx－3m2）＝a（x＋m）（x－3m）＝a（x－m）2－4axm2＝a（x－m）2－4，

得A（－m,0），B（3m,0），F（m,－4），对称轴为直线x＝m．

所以点D的坐标为（2m,－3）．设点E的坐标为（x,a（x＋m）（x－3m））．

如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．

由于∠EAE′＝∠DAD′，所以

．因此

．

所以am（x－3m）＝1．结合

，于是得到x＝4m．

当x＝4m时，y＝a（x＋m）（x－3m）＝5am2＝5．所以点E的坐标为（4m,5）．

所以

．

图2图3

（3）如图3，由E（4m,5）、D（2m,－3）、F（m,－4），

可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．

那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．

证明如下：

作FF′⊥x轴于F′，那么

．

因此

．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．

此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为（－3m,0）．

考点伸展

第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边．此时

．因此

．所以

．此时

．

练习1、思路点拨

1．第

（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第

（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

（1）由

，得A（－2,0），B（8,0），C（0,－4）．

（2）直线DB的解析式为

．

由点P的坐标为（m,0），可得

，

．

所以MQ＝

．

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．

解方程

，得m＝4，或m＝0（舍去）．

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N（4,－2），Q（4,－6）．

所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．

所以四边形CQBM是平行四边形．

图2图3

（3）存在两个符合题意的点Q，分别是（－2,0），（6,－4）．

考点伸展：

第（3）题可以这样解：

设点Q的坐标为

．

①如图3，当∠DBQ＝90°时，

．所以

．

解得x＝6．此时Q（6,－4）．

②如图4，当∠BDQ＝90°时，

．所以

．

解得x＝－2．此时Q（－2,0）．

图3图4

练习2、思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．

2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

（1）由

，

得抛物线与x轴的交点坐标为A（－4,0）、B（2,0）．对称轴是直线x＝－1．

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以

．

所以

，点D的坐标为

．

因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG

．所以D′的坐标为

．

图2图3

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．

以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM1A中，AE＝8，

，所以M1A＝6．

所以点M1的坐标为（－4,6），过M1、E的直线l为

．

根据对称性，直线l还可以是

．

考点伸展

第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．

因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．

3．解：

（1）45．

理由如下：

令x=0，则y=-m，C点坐标为（0，-m）．

令y=0，则

，解得

，

．

∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m．

∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．

（2）解法一：

如图

，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，

由题意得，抛物线的对称轴为

．设点P坐标为（

，