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离散数学图论整理
总结
第八章图论
8.1图的基本概念
8.1.1图
定义8.1―1一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从边集E到结点偶对集合上的函数。
一个图可以用一个图形表示。
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。
若边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。
有向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端点。
称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。
若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。
无向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同
每一条边都是有向边的图称为有向图。
每一条边都是无向边的图称为无向图。
有向图和无向图也可互相转化。
例如,把无向图中每一条边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向图。
又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无向图。
这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。
在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点。
全由孤立结点构成的图称为零图。
关联于同一结点的一条边称为自回路。
在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。
在无向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这几条边为平行边。
两结点a、b间互相平行的边的条数称为边[a,b]的重数。
仅有一条时重数为1,无边时重数为0。
定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。
非多重图称为线图。
无自回路的线图称为简单图。
仅有一个结点的简单图称为平凡图。
定义8.1―3赋权图G是一个三重组〈V,E,g〉或四重组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合,E是边的集合,f是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。
8.1.2结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v);以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度),记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为结点v的次数(或度数),记作deg(v)。
在无向图中,结点v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1设G是一个(n,m)图,它的结点集合为V={v1,v2,…,vn},则
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图,各结点的次数均为k时称为k―正则图。
8.1.3图的同构
定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图,若存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V,[a,b∈E当且仅当[Φ(a),Φ(b)]∈E′,并且[a,b]和[Φ(a),Φ(b)]有相同的重数,则称G和G′是同构的。
8.1.4图的运算
定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉。
(1)G1与G2的并,定义为图G3=〈V3,E3〉,其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。
(2)G1与G2的交,定义为图G3=〈V3,E3〉,其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。
(3)G1与G2的差,定义为图G3=〈V3,E3〉,其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点},记为G3=G1-G2。
(4)G1与G2的环和,定义为图G3=〈V3,E3〉,G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
(1)删去图G的一条边e;
(2)删去图G的一个结点v。
它的实际意义是删去结点v和与v关联的所有边。
8.1.5子图与补图
定义8.1―8设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图。
(1)如果V′
V和E′
E,则称G′是G的子图。
如果V′
V和E′
E,则称G′
G的真子图。
(注意:
“G′是图”已隐含着“E′中的边仅关联V′中的结点”的意义。
)
(2)如果V′=V和E′
E,则称G′为G的生成子图。
(3)若子图G′中没有孤立结点,G′由E′唯一确定,则称G′为由边集E′导出的子图。
(4)若在子图G′中,对V′中的任意二结点u、v,当[u,v]∈E时有[u,v]∈E′,则G′由V′唯一确定,此时称G′为由结点集V′导出的子图。
定义8.1―9在n个结点的有向图G=〈V,E〉中,如果E=V×V,则称G为有向完全图;在n个结点的无向图G=〈V,E〉中,如果任何两个不同结点间都恰有一条边,则称G为无向完全图,记为Kn。
定义8.1―10设线图G=〈V,E〉有n个顶点,线图H=〈V,E′〉也有同样的顶点,而E′是由n个顶点的完全图的边删去E所得,则图H称为图G的补图,记为,显然,。
8.2路径和回路
8.2.1基本概念
定义8.2―1在有向图中,从顶点v0到顶点vn的一条路径是图的一个点边交替序列(v0e1v1e2v2…envn),其中vi-1和vi分别是边ei的始点和终点,i=1,2,…,n。
在序列中,如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径,如果同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径(或叫链)。
如果路径的始点v0和终点vn相重合,即v0=vn,则此路径称为回路,没有相同边的回路称为简单回路,通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路。
定义8.2―2路径P中所含边的条数称为路径P的长度。
长度为0的路径定义为单独一个顶点。
(但注意习惯上不定义长度为0的回路。
)
定理8.2―1在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉中,如果从v1到v2有一条路径,则从v1到v2有一条长度不大于n-1的基本路径。
定理8.2―2在一个具有n个结点的简单图G=〈V,E〉中,如果经v1有一条简单回路,则经v1有一条长度不超过n的基本回路。
定义8.2―3在图G=〈V,E〉中,从结点vi到vj最短路径的长度叫从vi到vj的距离,记为d(vi,vj)。
若从vi到vj不存在路径,则d(vi,vj)=∞。
注意,在有向图中,d(vi,vj)不一定等于d(vj,vi),但一般地满足以下性质:
(1)d(vi,vj)≥0;
(2)d(vi,vi)=0;
(3)d(vi,vj)+d(vj,vk)≥d(vi,vk)。
8.2.2图的连通度
定义8.2―4设G=〈V,E〉是图,且vi、vj∈V。
如果从vi到vj存在一条路径,则称vj从vi可达。
vi自身认为从vi可达。
定义8.2―5在无向图G中,如果任两结点可达,则称图G是连通的;如果G的子图G′是连通的,没有包含G′的更大的子图G″是连通的,则称G′是G的连通分图(简称分图)。
一个无向图或者是一个连通图,如图8.2―2(a)所示,或者是由若干个连通分图组成,如图8.2―2(b)所示。
图8.2―2
定理8.2―3设G是任一(n,m)无向简单图,ω是其分图个数,则
定义8.2―11在有向图中,如果在任两结点偶对中,至少从一个结点到另一个结点是可达的,则称图G是单向连通的;如果在任两结点偶对中,两结点都互相可达,则称图G是强连通的;如果它的底图是强连通的,则称图G是弱连通的。
显然,强连通的也一定是单向连通和弱连通的,单向连通的一定是弱连通的,但其逆均不真。
在图8.2―3中,(a)是强连通的,(b)是单向连通的,(c)是弱连通的。
图8.2―3
定义8.2―12在有向图G=〈V,E〉中,G′是G的子图,若G′是强连通的(单向连通的,弱连通的),没有包含G′的更大子图G″是强连通的(单向连通的,弱连通的),则称G′是G的强分图(单向分图,弱分图)。
在图8.2―4中,强分图集合是:
{〈{1,2,3},{e1,e2,e3}〉,〈{4},φ〉,〈{5},φ〉,〈{6},φ〉,〈{7,8},{e7,e8}〉}
单向分图集合是:
{〈{1,2,3,4,5},{e1,e2,e3,e4,e5}〉,〈{6,5},{e6}〉,〈{7,8},{e7,e8}〉}
弱分图集合是:
{〈{1,2,3,4,5,6},{e1,e2,e3,e4,e5,e6}〉,〈{7,8},{e7,e8}〉}
图8.2―4
8.2.3赋权图中的最短路径
设G=〈V,E,W〉是个赋权图,W是从E到正实数集合的函数,边[i,j]的权记为W(i,j),称为边的长度。
若i和j之间没有边,那么W(i,j)=∞。
路径P的长度定义为路径中边的长度之和,记为W(P)。
图G中从结点u到结点v的距离记为d(u,v),定义为
min{W(P)|P为G中从u到v的路径}
∞当从u到v不可达时
本小节主要讨论在一个赋权的简单连通无向图
G=〈V,E,W〉中,求一结点a(称为源点)到其它结点x的最短路径的长度,通常称它为单源问题。
下面介绍1959
年迪克斯特拉(E.W.Dijkstra)提出的单源问题的算法,其要点如下:
(1)把V分成两个子集S和T。
初始时,S={a},T=V-S。
(2)对T中每一元素t计算D(t),根据D(t)值找出T中距a最短的一结点x,写出a到x的最短路径的长度D(x)。
(3)置S为S∪{x},置T为T-{x},若T=,则停止,否则再重复2。
8.2.4欧拉路径和欧拉回路
哥尼斯堡(Konigsberg,现加里宁格勒)位于普雷格尔(Pregel)河畔,河中有两岛。
城市的各部分由7座桥接通,如图8.2―8(a)所示。
古时城中居民热衷于一个问题:
游人从任一地点出发,怎样才能做到穿过每座桥一次且仅一次后又返回原出发地。
1736年欧拉用图论方法解决了此问题,写了第一篇图论的论文,从而成为图论的创始人。
不难看出,如果用结点代表陆地,用边代表桥,哥尼斯堡七桥问题就等价在于图8.2―8(b)中找到这样一条路径,它穿程每条边一次且仅一次。
穿程于图G的每条边一次且仅一次的路径,称为欧拉路径。
穿程于图G的每条边一次且仅一次的回路,称为欧拉回路,具有欧拉回路的图称为欧拉图。
显然,具有欧拉路径的图除孤立结点外是连通的,而孤立结点不影响欧拉路径的讨论。
因此,下边讨论欧拉路径有关问题时均假定图是连通的。
图8.2―8
定理8.2―10无向连通图G具有一条欧拉路径当且仅当G具有零个或两个奇数次数的顶点。
定理8.2―11一个有向连通图具有欧拉回路,当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数。
一个有向连通图具有欧拉路径,当且仅当它的每个顶点的引入次数等于引出次数,可能有两个顶点是例外,其中一个顶点的引入次数比它的引出次数大1,另一个顶点的引入次数比它的引出次数小1。
8.2.5哈密尔顿路径与哈密尔顿回路
在无向图G=〈V,E〉中,穿程于G的每个结点一次且仅一次的路径称为哈密尔顿路径。
穿程于G的每个结点一次且仅一次的回路称为哈密尔顿回路。
具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。
哈密尔顿,爱尔兰数学家,1859年他首先提出这一类问题。
它的问题如下:
如何沿12面体的棱线,通过每个角一次且仅一次?
(称为环游全世界游戏。
)
定理8.2―12若G=〈V,E〉是哈密尔顿图,则对V的每个非空真子集S均成立:
ω(G-S)≤|S|
这里|S|表示S中的顶点数,ω(G-S)表示G删去顶点集S后得到的图的连通分图个数。
应用本定理可以判定某些图不是哈密尔顿图,例如,图8.2―12所示的图,删去其中3个黑点,即知此图不符合必要条件,因而不是哈密尔顿图。
但一般要考察多个真子集,应用不方便,例4给出了一种较简便的否定一个图是哈密尔顿图的方法,但也不是通用的。
例4证明图8.2―13(a)中的图没有哈密尔顿路径。
证用A标记顶点a,所有与A邻接的顶点标记为B。
继续不断地用A标记所有邻接于B的顶点,用B标记所有邻接于A的顶点,直到所有顶点标记完,得到如图8.2―13(b)所示的图,图中有3个顶点标A和5个顶点标B,标号A和B崐相差2个,因此不可能存在一条哈密尔顿路径。
图8.2―13
定理8.2―6中的条件不是充分的,图8.1―5中给出的彼得森图,它对任意SV都满足ω(G-S)≤|S|,但不是哈密尔顿图。
定理8.2―13设G=〈V,E〉是具有n个顶点的简单无向图,若在G中每一对顶点的次数之和大于等于n,则在G中存在一条哈密尔顿回路。
推论8.2―13在简单无向图中,若每一顶点的度数,则该图是哈密尔顿图。
在有向图中,也可类似地定义出哈密尔顿有向回路和哈密尔顿有向路径。
8.3图的矩阵表示
定义8.3―1设G=〈V,E〉是有向线图,其中V={v1,v2,…,vn},并假定各结点已经有了从v1到vn的次序。
定义一个n×n的矩阵A,其中各元素
为:
称这样的矩阵是图的邻接矩阵。
零图的邻接矩阵的元素全为零,称为零矩阵。
每一顶点都有自回路而无其它边的图的邻接矩阵是单位矩阵。
设有向线图G=〈V,E〉的邻接矩阵是A,则G的逆图的邻接矩阵是A的转置矩阵,记
。
定义8.3―2设G=〈V,E〉是有向线图,其中|V|=n,并假定各结点是有序的,定义一个n×n的矩阵P,它的元素
当vi到vj至少存在一条非零长度的路径0
当vi到vj不存在一条非零长度的路径
称矩阵P为图G的可达性矩阵。
8.5二部图
定义8.5―1若无向图G=〈V,E〉的顶点集合V可以划分成两个子集X和Y,使G中的每一条边e的一个端点在X中,另一个端点在Y中,则称G为二部图或偶图。
二部图可记为G=〈X,E,Y〉,X和Y称为互补结点子集。
定义8.5―2二部图G=〈X,E,Y〉中,若X的每一顶点都与Y的每一顶点邻接,则称G为完全二部图,记为Km,n,这里m=|X|,n=|Y|。
图8.5―1给出K2,4和K3,3的图示。
图8.5―1
定理8.5―1无向图G=〈V,E〉为二部图的充分必要条件为G中所有回路的长度均为偶数。
定义8.5―3给定一个二部图G=〈X,E,Y〉,如果E的子集M中的边无公共端点,则称M为二部图G的一个匹配。
含有最多边数的匹配称为G的最大匹配。
如果二部图G中的一条链由不属于匹配M的边和属于M的边交替组成,且链的两端点不是M中边的端点,那么称此链为G中关于匹配M的交替链。
例如,图8.5―2中的(x2,y1,x3,y4)是交替链。
最短的交替链是由一条边组成,该边的两端点不是M中边的端点。
交替链可用标记法找出,标记法的过程如下:
首先把X中所有不是M的边的端点用()加以标记,然后交替进行以下所述的过程Ⅰ和Ⅱ。
Ⅰ.选一个X的新标记过的结点,比如说xi,用(xi)标记不通过在M中的边与xi邻接且未标记过的Y的所有结点。
对所有X的新标记过的结点重复这一过程。
Ⅱ.选一个Y的新标记过的结点,比如说yi,用(yi)标记通过M的边与yi邻接且未标记过的X的所有结点。
对所有Y的新标记过结点重复这一过程。
8.6平面图和图的着色
8.6.1平面图
定义8.6―1一个无向图G=〈V,E〉,如果能把它图示在一平面上,边与边只在顶点处相交的图叫平面图。
图8.6―1所示的是非平面图,而图8.6―2所示的都是平面图的例子。
8.6.2欧拉公式
欧拉1750年提出任何一个凸多面体的顶点数n,棱数m和面数k满足公式:
n-m+k=2
参看图8.6―3
为了介绍平面图的欧拉公式,我们首先介绍什么是平面图的面。
我们在平面上画一个平面图,用小刀沿着边切下,则这平面将分割成几块,这种块就称为图的面,即一个平面图的面定义为平面的一块,它用边作界线,并且不再分为子块。
例如图8.5―4(a)有3个图,如图8.5―4(b)所示。
注意沿边a切,不再分割面1,沿边b和c切,也不再分割面3。
如果面的面积是有限的,称该面为有限面,否则,称为无限面。
显然,平面图恰有一个无限面。
定理8.6―1对任何连通平面图恒有
n-m+k=2
即顶点数-边数+面数=2
定理8.6―2在n≥3的任何连通平面简单(n,m)图中有m≤3n-6成立。
推论8.6―2
是非平面图。
推论8.6―3
不是平面图。
8.6.3库拉托夫斯基(Kuratowski)定理
定义8.6―2K5和K3,3称为库拉托夫斯基图。
定义8.6―3两个图G1和G2称为在2度顶点内同构的(或称同胚),如果它们是同构的,或者通过反复插入和(或)除去2度顶点,它们能变换成同构的图。
.
如图8.6―8(a)和(b)所示。
图8.5―8(c)中的两个图是在2度顶点内同构的。
定理8.6―4(库拉托夫斯基定理)一个图是平面图,当且仅当它不包含任何在2度顶点内和库拉托夫斯基图同构的子图。
8.5.4对偶图
将平面图G嵌入平面后,通过以下手续(简称D过程):
(1)对图G的每个面Di的内部作一顶点且仅作一顶点v*i;
(2)经过每两个面Di和Dj的每一共同边界e*k作一条边e*k=(v*i,vj)与ek相交;
(3)当且仅当ek只是面Di的边界时,v*i恰存在一自回路与ek相交。
所得的图称为图G的对偶图,记为G。
图8.6―9中,虚线构成的图是实线构成的图的对偶图。
8.6.6五色问题
1852年英国一个青年名叫盖思里(Guthrie)提出地图四色问题。
在画地图时,如果规定一条边界分开的两个区域涂不同颜色,那么任何地图能够只用4种颜色涂色。
这个问题成为数学难题,一百多年来,许多人的证明都失败了。
直至1976年6月美国伊利诺斯大学两位教授阿佩尔(Appel)和海肯(Haken)利用电子计算机,计算了1200小时,证明了四色问题。
这件事曾轰动一时。
但是用“通常”证明方法来解决四色问题,至今仍未解决。
引理在平面连通的简单图中至少有一个顶点v0,其次数d(v0)≤5。
定理8.6―7用5种颜色可以给任一平面简单连通图G=〈V,E〉正常着色。
8.7树
8.7.1无向树
定义8.7―1连通而无简单回路的无向图称为无向树,简称树。
树中次数为1的顶点称为树叶。
次数大于1的顶点称为分枝点或内部结点。
定义8.7―2一个无向图的诸连通分图均是树时,称该无向图为森林,树是森林。
例如图8.7―1(a)、(b)所示的都是树,(c)所示的是森林。
定理8.7―1无向图T是树,当且仅当下列5条之一成立。
(或者说,这5条的任一条都可作为树的定义。
)
(1)无简单回路且m=n-1。
这里m是边数,n是顶点数,下同。
(2)连通且m=n-1。
(3)无简单回路,但增加任一新边,得到且仅得到一条基本回路。
(4)连通但删去任一边,图便不连通(n≥2)。
(5)每一对顶点间有唯一的一条基本路径。
(n≥2)。
定理8.7―2任一树T中,至少有两片树叶(n≥2时)。
8.7.2生成树
定义8.7―3给定一个无向图G,若G的一个生成子图T是树,则称T为G的生成树或支撑树。
图G的生成树不是唯一的,如图8.7―2所示,右侧两个图都是左侧图G的生成树。
定理8.7―3任何连通无向图至少有一棵生成树。
生成树T中的边称为树枝,不在生成树T中但属于图G的边,称为树T的弦。
弦的集合称为树T的补。
在图8.6―2(a)中,若生成树取为(b)图,则e2,e6,e8,e3是树枝,e1,e5,e7,e4都是弦,{e1,e5,e7,e4}是该生成树的补。
设连通图G有n个顶点,m条边,则G的任一生成树有n-1条树枝,m-n+1条弦。
在图G中,给定生成树T后,根据定理8.6―1的第(3)条,每加一条弦,则得一个基本回路,例如在图8.6―2中,若树的边集是{e2,e3,e6,e8},则:
加弦e1,得基本回路{e1,e2,e6,e8}。
加弦e5,得基本回路{e5,e2,e6}。
加弦e7,得基本回路{e7,e6,e3}。
加弦e4,得基本回路{e4,e8,e6,e3}。
因为有m-n+1条弦,一般地可得m-n+1个基本回路,此m-n+1个基本回路称为图G的关于生成树T的基本回路系统。
从树T中删去一条枝,将T分为两棵树,G的顶点集划分为两个子集,连结这两个子集的边集就是对应于这条枝的割集,称为对应于这条边的基本割集。
定理8.7―4一条简单回路和任何生成树的补至少有一条共同边。
定理8.7―5一个割集和任何生成树至少有一条共同边。
定理8.7―6任一个简单回路和任一个割集有偶数(包括0)条共同边。
定理8.7―7设D={e1,e2,e3,…,ek}是一个基本割集,其中e1是树枝,e2,e3,…,ek是生成树的弦。
则e1包含在对应于ei(i=2,3,…,k)的基本回路中,而不包含在任何其它的基本回路中。
定理8.7―8对给定的一棵生成树,设C={e1,e2,…,ek}是一条基本回路,其中e1是弦,e2,…,ek是生成树的枝,则e1包含在对应于ei(i=2,…,k)的基本割集中,而不包含在任何其它的基本割集中。
8.7.3最小生成树
设图G=〈V,E,W〉是赋权连通简单无向图,W是E到非负实数的函数,边〈i,j〉的权记为W(i,j)。
若T是G的生成树,T中树枝的权之和称为T的权,记为。
所有生成树中具有最小权的生成树称为最小生成树。
定理8.7―9设G是边权全不相同的连通简单图,C是一条简单回路,则C上权最大的边e必定不在G的最小生成树中。
在这个定理的基础上,建立了克鲁斯克尔(Kruskal)算法:
设G有n个顶点,m条边,先将G中所有的边按权的大小次序进行排列,不妨设
W(e1)<W(e2)<…<W(em)
(1)k←1,A←。
(2)若A∪{ek}导出的子图中不包含简单回路,则A←A∪{ek}。
(3)若A中已有n-1条边,则算法终止,否则k←k+1,转至
(2)。
图8.7―5给出了求最小生成树的例子,要注意带权4和7的边是怎样在一步一步作图的过程中被排除掉。
8.8有向树
8.8.1有向树的定义和性质
定义8.8―1有向树是结点集合非空的,并符合以下3条的有向图。
(1)有且仅有一个结点叫树根,它的引入次数是0。
(2)除树根外每一结点的引入次数是1。
(3)树的每一结点a,都有从树根到a的一条有向路径。
有向树亦称根树,通常采用根在顶上,所有弧向下,弧的箭头略去的图表示。
定义8.8―2设a和b是有向树T的结点,如果有一弧从a到b,那么说a是b的父亲,而b是a的儿子。
如果从结点a到结点b有一有向路径,那么说a是b的祖先,而b是a的后裔;如果a≠b,那么a是b的一个真祖先而b是a的一个真后裔。
由结点a和它的所有后裔导出的子有向图叫做T的子树,a叫子树的根。
如果a不是T的根,那么子树是T的真子树。
引出数是0的结点叫树的叶;一结点若不是叶叫做内部结点(或分枝点)。
从树根r到一结点a的路径长度称为a的路径长度,亦称a的层次。
树T中层次的最大值叫做树T的高度。
定理8.8―1设T是一棵有向树,根是r,并设a是T的任一结点,那么从r到a有唯一的有向路径。
推论8.8―1有向树中的每一有向路径是基本路径。
定理8.8―2有向树没有非零长度的任何回路。
定理8.8―3有向树成立公式m=n-1这里m是边数,n是结点数。
定理8.8―4有向树的子树是有向树。
定义8.8―3有向树T的括号表示按以下规则得出:
(1)如果T只有一个结点,则此结点就是它的括号表示。
(2)如果T由根r和子树T1,T2,…,Tn组成,则T的括号表示是:
根r,左括号,T1,T2,…,Tn的括号表示(两子树间用逗号分开),右括号。
定义8.8―4
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