11变化率与导数教学设计教案.docx
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11变化率与导数教学设计教案
教学准备
1. 教学目标
(1)理解平均变化率的概念.
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.
(3)理解导数的概念
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率.
2. 教学重点/难点
教学重点:
瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解
教学难点:
会求简单函数y=f(x)在x=x0处的导数
3. 教学用具
多媒体、板书
4. 标签
教学过程
一、创设情景、引入课题
【师】十七世纪,在欧洲资本主义发展初期,由于工场的手工业向机器生产过渡,提高了生产力,促进了科学技术的快速发展,其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
米)与起跳后的时间t(单位:
秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
【板演/PPT】
让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:
欲知结论怎样,让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
[1]变化率问题
【合作探究】
探究1 气球膨胀率
【师】很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:
L)与半径r(单位:
dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
【板演/PPT】
【活动】
【分析】
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
0.62>0.16
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
解析:
探究2 高台跳水
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
米)与起跳后的时间t(单位:
秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
(请计算)
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【活动】学生觉得问题有价值,具有挑战性,迫切想知道解决问题的方法。
【师】解析:
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【设计意图】两个问题由易到难,让学生一步一个台阶。
为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。
探究3 计算运动员在
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
【活动】师生共同归纳出结论
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示,那么问题中的变化率可用式子
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.
习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1),于是,平均变化率可以表示为:
【几何意义】观察函数f(x)的图象,平均变化率
的几何意义是什么?
【提示】:
直线AB的斜率
【生】学生结合图象思考问题
【设计意图】问题的目的是:
① 让学生加深对平均变化率的理解;
② 为下节课学习导数的几何意义作辅垫;
③ ③培养学生数形结合的能力。
[2]导数的概念
探究1 何为瞬时速度
【板演/PPT】
在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态,需要用瞬时速度描述运动状态。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.
【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
求:
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
解:
探究2当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.
从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1m/s.
为了表述方便,我们用
表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值–13.1”.
【瞬时速度】
我们用
表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?
【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想:
△t越小,V越接近于t=2秒时的瞬时速度。
探究3:
(1).运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?
(2).函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念:
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作
或,
【总结提升】
由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:
[3]例题讲解
例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:
)为y=f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:
在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是
在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3 /h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.
[4]本节课知识总结
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率
3、求物体运动的瞬时速度:
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限
4、由导数的定义可得求导数的一般步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2))平均变化率
(3)求极限
三、复习总结和作业布置
[1] 课堂练习
1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为 ( )
A.f(x0+Δx)B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则在时间段2~2.1中,平均速度是( )
A.4 B.4.1
C.0.41 D.-1.1
3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
课堂练习【参考答案】
1.D
解析:
分别写出x=x0和x=x0+Δx对应的函数值f(x0)和f(x0+Δx),两式相减,就得到了函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选D.
2.B
解析:
3.解析:
4.解析:
课后习题
1、复习本节课所讲内容
2、预习下一节课内容
3、课本P.10 习题1.1 A组1,2,3,4.
- 配套讲稿:
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- 11 变化 导数 教学 设计 教案