高三数学大一轮复习 83空间点直线平面之间的位置关系教案 理 新人教A版.docx
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高三数学大一轮复习83空间点直线平面之间的位置关系教案理新人教A版
2019-2020年高三数学大一轮复习8.3空间点、直线、平面之间的位置关系教案理新人教A版
xx高考会这样考 1.考查点、线、面的位置关系,考查逻辑推理能力与空间想象能力;2.考查公理、定理的应用,证明点共线、线共点、线共面的问题;3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系.
复习备考要这样做 1.理解、熟记平面的性质公理,灵活运用并判断直线与平面的位置关系;2.异面直线位置关系的判定是本节难点,可以结合实物、图形思考.
1.平面的基本性质
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
②范围:
.
3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
6.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
[难点正本 疑点清源]
1.公理的作用
公理1的作用是判断直线是否在某个平面内;公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
2.正确理解异面直线的定义:
异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
1.在下列命题中,所有正确命题的序号是________.
①平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点;
②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
③经过两条相交直线,有且只有一个平面;
④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合;
⑤四边形确定一个平面.
答案 ②③④
2.正方体各面所在平面将空间分成________部分.
答案 27
解析
如图,上下底面所在平面把空间分成三部分;左右两个侧面所在平面将上面的每一部分再分成三个部分;前后两个侧面再将第二步得到的9部分的一部分分成三部分,共9×3=27部分.
3.空间四边形ABCD中,各边长均为1,若BD=1,则AC的取值范围是
________.
答案 (0,
)
解析
如图所示,△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形,当△ABD与△CBD重合时,AC=0,将△ABD以BD为轴转动,到A,B,C,D四点再共面时,AC=
,故AC的取值范围是0 . 4.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( ) A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 答案 C 解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾. 5.已知A、B表示不同的点,l表示直线,α、β表示不同的平面,则下列推理错误的是( ) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈α,A∈l,l⊄α⇒l∩α=A 答案 C 题型一 平面基本性质的应用 例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证: 点C1,O,M共线. 思维启迪: 证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上. 证明 如图所示,∵A1A∥C1C, ∴A1A,C1C确定平面A1C. ∵A1C⊂平面A1C,O∈A1C, ∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C, ∴O∈平面BDC1, ∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上. ∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C, ∴平面BDC1∩平面A1C=C1M, ∴O∈C1M,即C1,O,M三点共线. 探究提高 (1)证明若干点共线也可以公理3为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点. (2)利用类似方法也可证明线共点问题. 如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. 证明 (1)连接EF,CD1,A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点. 题型二 异面直线的判定 例2 如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线? 说明理由; (2)D1B和CC1是否是异面直线? 说明理由. 思维启迪: 第 (1)问,连接MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共面;第 (2)问可采用反证法. 解 (1) 不是异面直线.理由如下: 连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C, ∴A1ACC1为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD—A1B1C1D1是正方体, ∴B、C、C1、D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α, ∴D1、B、C、C1∈α,与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾. ∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线. 探究提高 (1)证明直线异面通常用反证法; (2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等. 已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点.求证: (1)BC与AD是异面直线; (2)EG与FH相交. 证明 (1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B、C、A、D∈α. ∴四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾. ∴BC与AD是异面直线. (2)如图,连接AC,BD, 则EF∥AC,HG∥AC, 因此EF∥HG;同理EH∥FG, 则EFGH为平行四边形. 又EG、FH是▱EFGH的对角线, ∴EG与FH相交. 题型三 异面直线所成的角 例3 正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求AC与A1D所成角的大小; (2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小. 思维启迪: (1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算. (2)可证A1C1与EF垂直. 解 (1)如图所示,连接B1C,由ABCD—A1B1C1D1是正方体, 易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成 的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60°. 即A1D与AC所成的角为60°. (2) 如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCD—A1B1C1D1中, AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E、F分别为AB、AD的中点, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90°. 探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A.30°B.45° C.60°D.90° 答案 C 解析 如图,可补成一个正方体, ∴AC1∥BD1. ∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1为正三角形, ∴∠A1BD1=60°. 即BA1与AC1成60°的角. 点、直线、平面位置关系考虑不全面致误 典例: (5分)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面 易错分析 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断. 解析 当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1与l3也可能相交或异面,故A不正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确. 答案 B 温馨提醒 (1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立,如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立,所以在用一些平面几何中的定理和结论时,必须说明涉及的元素都在某个平面内. (2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路: 一是逐个判断,利用空间线面关系证明正确的结论,寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断,但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致. 构造衬托平面研究直线相交问题 典例: (4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条. 审题视角 找三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都相交的直线.因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面.进而研究公共交线问题. 解析 方法一 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示. 方法二 在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交. 答案 无数 温馨提醒 (1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查,难度一般都不会太大. (2)误区警示: 本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多.这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解. 方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法: 证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1.全面考虑点、线、面位置关系的情形,可以借助常见几何模型. 2.异面直线所成的角范围是(0°,90°]. A组 专项基础训练 (时间: 35分钟,满分: 57分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( ) A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 答案 A 解析 若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直线,则两条直线必无公共点. 2.下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确; 两条平行线可以确定一个平面,∴②正确; 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确; 命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确. 3.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ) ①P∈a,P∈α⇒a⊂α ②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β ③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α ④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b A.①②B.②③C.①④D.③④ 答案 D 解析 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;a∩β=P时, ②错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a, ∴由直线a与点P确定唯一平面α, 又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P, ∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,过顶点A1与正方体其他顶点的连线与 直线BC1成60°角的条数为( ) A.1B.2 C.3D.4 答案 B 解析 有2条: A1B和A1C1. 二、填空题(每小题5分,共15分) 5.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面. 答案 1或4 解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;否则确定四个平面. 6.下列命题中不正确的是________.(填序号) ①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 答案 ①② 解析 没有公共点的两直线平行或异面,故①错;命题②错,此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线a和b异面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明如下: 若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故cD∥\b;命题④也正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理2可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样,a,b,c共确定两个平面. 7.(xx·大纲全国)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______. 答案 解析 取A1B1的中点F,连接EF,AF. ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中, EF∥B1C1,B1C1∥BC, ∴EF∥BC,∴∠AEF即为异面直线 AE与BC所成的角. 设正方体的棱长为a, 则AF= = a,EF=a. ∵EF⊥平面ABB1A1,∴EF⊥AF, ∴AE= = a. ∴cos∠AEF= = = . 三、解答题(共22分) 8.(10分)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD =∠FAB=90°,BC綊 AD,BE綊 FA,G、H分别为FA、FD的 中点. (1)证明: 四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面? 为什么? (1)证明 由已知FG=GA,FH=HD, 可得GH綊 AD.又BC綊 AD,∴GH綊BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)解 方法一 由BE綊 AF,G为FA的中点知, BE綊FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG. 由 (1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面. 方法二 如图所示,延长FE,DC分别与AB交于点M,M′, ∵BE綊 AF,∴B为MA的中点. ∵BC綊 AD,∴B为M′A的中点, ∴M与M′重合,即FE与DC交于点M(M′),∴C、D、F、E四点共面. 9.(12分)如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延长 线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交于K, 求证: M、N、K三点共线. 证明 ∵M∈PQ,直线PQ面PQR,M∈BC,直线BC面BCD, ∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点, 即M在面PQR与面BCD的交线l上. 同理可证N、K也在l上.∴M、N、K三点共线. B组 专项能力提升 (时间: 25分钟,满分: 43分) 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B, C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( ) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 答案 D 解析 ∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ. 又α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据公理3可知,M在γ与β的交线上. 同理可知,点C也在γ与β的交线上. 2.已知空间中有三条线段AB、BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( ) A.AB∥CD B.AB与CD异面 C.AB与CD相交 D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 答案 D 解析 若三条线段共面,如果AB、BC、CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D. 3.以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面; ③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. 二、填空题(每小题5分,共15分) 4.在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号) 答案 ②④ 解析 图①中,直线GH∥MN; 图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN, 因此直线GH与MN异面; 图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面; 图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN, 因此GH与MN异面. 所以图②、④中GH与MN异面. 5.如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、 EC的中点,在这个正四面体中, ①GH与EF平行; ②BD与MN为异面直线; ③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN. 6.(xx·四川)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、 CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________. 答案 90° 解析 如图,取CN的中点K,连接MK,则MK为△CDN的中位线, 所以MK∥DN. 所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角. 连接A1C1,AM.设正方体棱长为4, 则A1K= = , MK= DN= = , A1M= =6, ∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90°. 三、解答题 7.(13分)如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中 心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证: D1、H、O三点共线. 证明 连接BD,B1D1, 则BD∩AC=O, ∵BB1綊DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D, B1D平面BB1D1D, 则H∈平面BB1D1D, ∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线.
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