三角形全等20个经典试题图形变换.docx
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三角形全等20个经典试题图形变换
三角形全等20个经典试题(图形变换)
.1.四边形ABCD是正方形(提示:
正方形四边相等,四个角都是90°
(1)如图1,点G是BC边上任意一点(不与点B、C重合),连接AG
作BF丄AG于点F,DELAG于点E.求证:
△ABF^ADAE
(2)直接写出
(1)中,线段EF与AF、BF的等量关系
(3)①如图2,若点G是CD边上任意一点(不与点C、D重合),连接AG
作BFLAG于点F,DELAG于点E,则图中全等三角形是线
段EF与AF、BF的等量关系是
②如图3,若点G是CD延长线上任意一点,连接AG作BFLAG于点F,DE丄AG于点E,线段EF与AF、BF的等量关系是
(4)若点G是BC延长线上任意一点,连接AQ作BFLAG于点F,DELAG于点E,请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系.
2小明、小敏两人一起做数学作业,小敏把题读到如图
(1)所示,CDLAB,BE丄AC时,还没把题读完,就说:
这题一定是求证/B=ZC,也太容易了.”也的证法是:
由CDLAB,BELAC,得/ADChAEB=90,公共角/DAChBAE所以△DAC^AEAB由全等三角形的对应角相等得/B=ZC.
小明说:
小敏你错了,你未弄清本题的条件和结论,即使有CDLABBEXAC,公共角/DAChBAE你的推理也是错误的.看我画的图
(2),显然△DAC与厶EAB是不全等的.再说本题不是要证明/B=hC,而是要证明BE=CD”
(1)根据小敏所读的题,判断hB=hC”寸吗?
她的推理对吗?
若不对,请做出正确的推理.
(2)根据小明说的,要证明BE=CD必然是小敏丢了题中条件,请你把小敏丢的条件找回来,并根据找出的条件,你做出判断BE=CD勺正确推理.
3请阅读下列材料:
问题:
如图1,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点BCE在同一条直线上,M是线段AF的中点,连接DMMG探究线段DM与MG数量与位置有何关系.
小聪同学的思路是:
延长DM交GF于H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系
(2)将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转,使正方形CEFG寸角线CF恰好与正方形ABCD勺边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)如图3,将正方形CEFG^点C顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,写出你的猜想.
4在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:
如图1,已知△ABC/ACB=90,/ABC=45,分别以ABBC为边向外#△ABD与△BCE且DA=DBEB=EC/ADB"BEC=90,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:
过点D作DGLAB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:
我做过一道类似的题目,不同的是/ABC=30,/ADB"BEC=60
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若"ABC=30,"ADB"BEC=60,原问题中的其他条件不变,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,若"ADB"BEC="ABC原问题中的其他条件不变,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
请写出你的猜想并加以证明。
5阅读下列材料:
问题:
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFGK"ABC"BEF=60,
点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PGPC,探究PG与PC的位置关系
小颖同学的思路是:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得
到解决.
请你参考小颖同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系;
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG勺对角线BF恰好与菱形ABCD勺边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
6把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置:
在同一平面内
将直角顶点叠合
(1)图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形,BC、D在同一条直线上,
连接EC•请找出图中的全等三角形(结论中不含未标识的字母),并说明理由;
(2)图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形,ACD在同一条直线上,连接BD连接EC并延长与BD交于点F.请找出线段BD和EC的位置关系,并说明理由;
(3)请你:
1画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形;
2写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系;
3
上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗?
7如图1,在厶ABC中,/ACB=90,AC=BC直线MN经过点C,且ADLMN于D,
BE±MN于E.
(1)①写出图1中的一对全等三角形;②写出图1中线段DEADBE所具有的等量关系;(不必说明理由)
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,请说明DE=AD-BE勺理由;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DEADBE又具有怎样的等量关系?
请直接写出这个等量关系(不必说明理由).
8女口图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,/ABC=90,AB=4BC=6/DEF=90,DE=EF=4
(1)移动△DEF使边DE与AB重合(如图1),再将△DEF沿AB所在直线向左平移,使点F落在AC±(如图2),求BE的长;
(2)将图2中的△DEF绕点A顺时针旋转,使点F落在BC上,连接A(如图3)•请
找出图中的全等三角形,并说明它们全等的理由.(不再添加辅助线,不再标注
其它字母)
9复习全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:
如下图①,已知在△ABC
中,AB=ACP是厶ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ使得/QAP=
/BAC连接BQCP,则BQ=CP”
(1)小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了厶ACP从而证得BQ=CP请你帮小亮完成证明.
(2)
之后,小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的条件不变,BQ=CP仍然成立吗?
若成立,请你就图②给出证明•若不成立,请说明理由.
10如图1,(ABC与厶ADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC、DE分别是底边
求证:
BD=CE
(2)拓展探究
如图2,AACB和厶DCE均为等腰直角三角形,/ACBKDCE=90,点A、DE在同一直线上,CM%ADCE中DE边上的高,连接BE.
①求/AEB的度数;
11如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE
(1)如图1,若/CAB=/CBA=/CDE=/CED=50
1求证:
AD=BE
2
求/AEB的度数.
12如图,点A,B,C在同一直线上,△ABD,△BCE都是等边三角形.
(1)求证:
AE=CD
(2)若MN分别是AE,CD的中点,试判断厶BMN的形状,并证明你的结论.
13
如图,点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合),分别以ACBC为一腰在AB的同侧作
等腰△ACD和△BCECA=CDCB=CE/ACD与ZBCE都是锐角,且/ACD=/BCE
连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP
(1)求证:
△ACE^ADCB
(2)请你判断厶DPM勺形状有何关系并说明理由;
(3)求证:
ZAPCZBPC
14如图,在等边厶ABC中,线段AM为BC边上的中线,动点D在直线AMh时,以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE连结BEo
(1)延长BE交射线AM于点F,请把图形补充完整,并求/BFM的度数
(2)当动点D在射线AM上,且在BC下方时,设直线BE与直线AM的交点为F,ZB的大小是否发生变化?
若不变,请在备用图中画岀图形,并直接写岀/BFM的度数,若变化,请写岀变化规律。
15如图,在△ABC^ADCBhAB=DCAC=DBAC与DB交于点M
(1)求证:
△ABC^ADCB;
(2)过点C作CN/BD过点B作BN//ACCN与BN交于点N,试判断线段BN与CNF
数量关系,并证明你的结论.
16如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
(1)/PB/=ZPCQ30°
(2)PA=PQ
17数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中
点..AEF=90,且EF交正方形外角ZDCG的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M连接ME则AM=EC易
证△AME4、ECF,所以AE二EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF"仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF'仍然成立•你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
图1图2图3
18在四边形ABCD中,AB=BCBF是/ABC的平分线,AF//DC连接ACCF,
求证:
CA是/DCF的平分线。
19如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
(1)/PBAfZPCQ30°
(2)PA=PQ
D
C
D
C
20如图
(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
(1)连接GD求证:
△ABE
(2)连接FC,观察
并猜测/FCN的度数,并说明理由;
图
(1)
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