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一次函数
一次函数
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!
学习目标:
●以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景,经历“找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
●结合实例,了解常量、变量和函数等相关概念,体会“变化与对应”的思想,了解函数的三种表示方法(列表法、解析式法和图象法),能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
●通过一定的探索活动,探索并理解正比例函数和一次函数的概念,会画它们的图象,能结合图象讨论这些函数的基本性质,能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
重点难点:
●重点:
理解函数、正比例和一次函数的概念,掌握一次函数及正比例函数的图象、性质。
●难点:
对函数概念的理解及对函数模型思想的应用
学习策略:
●通过实例了解一次函数和正比例函数概念,解析式的形式及图象的特征,并总结图象特征与关系式的联系和规律,经过思考、尝试,知道一次函数不同表达形式的相互转化,及图象的简单画法。
二、学习与应用
“凡事预则立,不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上,认真听讲,做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾——复习
学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗?
(一)在一个变化过程中,我们称数值 的量为变量;
在一个变化过程中,我们称数值 的量为常量.
(二)长方形相邻两边长分别为x、y,面积为10,则用含x的式子表示y为 ,则这个问题中,
是常量; 是变量.
(三)一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是 ,y是x的 .如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的 .
(四)已知三角形底边长为8,高为h,三角形的面积为s,则s与h的函数关系式为 ,其中自变量是 ,自变量的函数是 。
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课学习。
请在虚线部分填写预习内容,在实线部分填写课堂学习内容。
课堂笔记或者其它补充填在右栏。
详细内容请参看网校资源ID:
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知识点一:
函数的概念
在某变化的过程中有 个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有
确定的值与它对应,那么称x是 ,y是x的 .(理解函数概念把握三点:
① ,② ,③
。
判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据)
知识点二:
一次函数与正比例函数的定义
(1)一般地,形如 的形式,则称y是x的一次函数;
(2)特别地当 时,即形如 的函数,叫做正比例函数,其中k叫做 。
(3)显然,正比例函数是 ,而一次函数 (一定或不一定)是正比例函数,而正比例函数是一次函数的 情况。
知识点三:
一次函数与正比例函数的图象
正比例函数y=kx(
)的图象经过点(0, )(1, )的一条直线,一次函数y=kx十b(k,b为常数,
)的图象经过点( ,b)( ,0)的一条直线,具体的见下表:
图象
k>0
k<0
正比例函数y=kx(
)
一次函数y=kx十b
(
)
b>0
b<0
b>0
b<0
知识点四:
正比例函数、一次函数的性质
(1)正比例函数的性质:
y=kx(k为常数,
)的图象是一条经过 的直线,也可称直线 ;当k>0时,y随x的增大而 ,且直线y=kx过 、 象限,图象 ;当 时,y随x的增大而减小,且直线y=kx过 、 象限,图象 。
(2)一次函数的性质:
一次函数 也可称直线y=kx十b;与正比例函数有相同的性质即当 时,y随x的增大而增大,当
时,y随x的增大而减小.
知识点五:
一次函数表达式的确定
一次函数表达式的确定通常有下列几种情况:
(1) :
根据直线上两点坐标列出方程组确定k,b,求出一次函数表达式.
(2)根据图象求出一次函数表达式.
知识点六:
函数的三种表示方法:
列表法、图像法、解析式法
(1) ——用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式;
(2) ——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系;
(3) ——把自变量x作为点的横坐标,对应的函数值y作为点的纵坐标,在直角坐标系描出对应的点.所有这些点的集合,叫做这个函数的 。
注:
函数的三种表示方法各有优缺点,往往根据解决问题的需要而选择其中的一种或几种,给出了函数解析式,可以通过计算,列出反映两个变量的对应关系的数值表,根据所列出的表,得到表示函数关系的有序数对,便可描点画出图象.但用列表或图象法表示的函数, (一定或不一定)有一个解析式,如某地一天中气温随时间变化的函数,不能用解析式表示函数关系.而一次函数这三种方法都可以用,但通常用解析式法和图象法,求一次函数的解析式一般用待定系数法,画一次函数的图象只要找到直线上的 个点,就可画出。
知识点七:
确定函数解析式应具备的条件
(1)由于正比例函数y=kx(k为常数,
)中只有一个待定系数 ,故只要有 对x,y的值或 个点,就可以求得 值;
(2)一次函数y=kx十b中有两个待定系数 ,需要两个独立条件确定两个关于k,b的方程,这两个条件通常为 个点或 对x,y的值。
经典例题——自主学习
认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完成举一反三。
若有其它补充可填在右栏空白处。
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#jdlt0#205064
类型一:
自变量的取值范围
例1.
小强要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
思路点拨:
腰长x、底边长y要 0,同时还要注意两腰之和2x 底边长y.
解析:
举一反三:
【变式1】函数y=
中,自变量x的取值范围是 .
答案:
☆【变式2】一报亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的价格退回报社,在一个月内(以30天计算)有20天每天可以卖出100份,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x,每月所获利润为y(元).
(1)写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大?
最大利润是多少?
答案:
类型二:
函数图象的应用
例2.图中的图象(折线ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)汽车共行驶了 km;
(2)汽车在行驶途中停留了 h;
(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为 km/h;
(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是 .
思路点拨:
读懂图象所表达的信息,弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中 变化过程,横轴代表 ,纵轴代表 .图象上的最高点就是 的距离.汽车来回一次,共行驶了 ,整个过程用时 小时,平均速度为 (千米/时),行驶途中 之间汽车没有行驶.
解析:
总结升华:
举一反三:
☆【变式1】图中,射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系,求它们行进的速度关系。
答案:
☆【变式2】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如图所示:
根据图象解答下列问题:
(1)洗衣机的进水时间是多少分钟?
清洗时洗衣机中的水量是多少升?
(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.
①求排水时y与x之间的关系式;
②如果排水时间为2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量.
分析:
依题意解读图象可知:
从分钟在进水,分钟在清洗,此时,洗衣机内有水升,15分钟后开始.
解:
类型三:
一次函数的解析式
例3.下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1)y=-
x;
(2)y=-
;(3)y=-3-5x;
(4)y=-5x2;(5)y=6x-
(6)y=x(x-4)-x2.
思路点拨:
本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解.
解析:
总结升华:
举一反三:
【变式1】当m为何值时,函数y=-(m-2)x
+(m-4)是一次函数?
分析:
某函数是一次函数,除应符合外,还要注意条件.
解:
【变式2】已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
答案:
类型四:
函数解析式的求法
☆例4.求图象经过点(2,-1),且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式.
思路点拨:
图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为,则可设此表达式为,再将点代入,求出即可.
解析:
举一反三:
【变式1】已知弹簧的长度y(cm)在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x(kg)的一次函数,现已测得不挂重物时,弹簧的长度为6cm,挂4kg的重物时,弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的表达式.
分析:
题中并没给出一次函数的表达式,因此应先设一次函数的表达式,再由已知条件可知,.求出即可.
解:
【变式2】已知直线y=2x+1.
(1)求已知直线与y轴交点M的坐标;
(2)若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称,求k,b的值.
解:
【变式3】判断三点A(3,1),B(0,-2),C(4,2)是否在同一条直线上.
分析:
由于确定一条直线,故选取其中,求经过这的函数表达式,再把点的坐标代入表达式中,若成立,说明在此直线上;若不成立,说明不在此直线上.
解:
类型五:
一次函数的性质
☆☆例5.己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A(一6,0),交y轴于点B,且△AOB的面积为12,y随x的增大而增大,求k,b的值.
思路点拨:
设函数的图象与y轴交于点B(),则=
由△AOB的面积,可求出,又由点A在直线上,可求出并由函数的性质确定 取值.
解析:
举一反三:
【变式1】已知关于x的一次函数
.
(1)m为何值时,函数的图象经过原点?
(2)m为何值时,函数的图象经过点(0,-2)?
(3)m为何值时,函数的图象和直线y=-x平行?
(4)m为何值时,y随x的增大而减小?
答案:
三、总结与测评
要想学习成绩好,总结测评少不了!
课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法,熟练掌握技能技巧。
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(一)思想方法总结
(1)待定系数法:
指先设出式子中的末知系数,再根据条件求出末知数,从而写出这个式子的解题方法,在本章主要用于求的表达式.
(2)数形结合的思想:
指把数量与图形结合起来进行综合分析、研究、解决问题的一种思想方法,数形结合是发展思维的重要渠道,函数图形可直观形象地表示出两个变量的相依关系,便于观察两个变量的变化趋势.要把函数图象所体现的意义与方程、方程组、不等式联系起来.
(3)函数思想:
函数反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量的关系,是解决问题的强大武器.此外,函数与方程、不等式也有着密切的联系.
(4)化归思想:
指把待解决或未解决的问题,通过转化归结到己经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决的一种思想方法,转化思想在数学中贯穿始终.
(5)分类讨论的思想:
本章对一次函数的图象和性质的研究充分体现了分类讨论的思想.
(二)应注意的问题
(1)函数概念的理解
①函数的定义中包括三个要素:
1.;
2.;
3..
②函数不是,函数的本质是,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,必须是“”.
③自变量与函数用什么字母表示无关紧要,自变量可用x表示,也可用t,u,p,…中的任何一个字母表示,函数可用y表示,也可用s,v,q,…中的任何一个表示.
④唯一性是指对x的每一个值,y都有的值与之对应,这时才说y是x的函数.如:
图甲中反映的两个变量中y是x的函数,图乙中反映的两个变量中y不是x的函数.
甲乙
(2)判断两个函数是否为同一函数.
由函数的定义考虑两个方面:
一是看;
二看.既要求函数自变量的取值范围相同,又要求相同自变量时,所对应的函数值也相同,即两个变量的对应方式相同.
(3)观察函数的图象,获取相关信息.
①最值;
②增减性;
③点的坐标实际意义.
由图象中的最高点或最低点的坐标,可说明当自变量取何值时,函数值或.
从左向右观察函数的图象升降情况,可看出函数值随自变量的值增大时的.
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- 一次 函数