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对数与对数运算导学案
§2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程(重点).
知识点1 对 数
1.对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念:
(2)底数a的范围是a>0,且a≠1.
2.常用对数与自然对数
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4.( )
(2)对数式log32与log23的意义一样.( )
(3)对数的运算实质是求幂指数.( )
提示
(1)× 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以
(1)错;
(2)× log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数,所以
(2)错;
(3)√ 由对数的定义可知(3)正确.
知识点2 对数的基本性质
(1)负数和零没有对数.
(2)loga1=0(a>0,且a≠1).
(3)logaa=1(a>0,且a≠1).
【预习评价】
若log3
=1,则x=________;若log3(2x-1)=0,则x=________.
解析 若log3
=1,则
=3,即2x-3=9,x=6;若log3(2x-1)=0,则2x-1=1,即x=1.
答案 6 1
题型一 对数的定义
【例1】
(1)在对数式y=log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是________;
(2)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
①54=625;②log216=4;③10-2=0.01;④log
125=6.
(1)解析 由题意可知
解得2 答案 (2,3)∪(3,4) (2)解 ①由54=625,得log5625=4. ②由log216=4,得24=16. ③由10-2=0.01,得lg0.01=-2. ④由log 125=6,得( )6=125. 规律方法 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式: 将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)对数式化为指数式: 将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)43=64; (2)lna=b;(3) =n;(4)lg1000=3. 解 (1)因为43=64,所以log464=3; (2)因为lna=b,所以eb=a; (3)因为 =n,所以log n=m; (4)因为lg1000=3,所以103=1000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值. ①log981=________.②log0.41=________.③lne2=________. (2)求下列各式中x的值. ①log64x=- ;②logx8=6; ③lg100=x;④-lne2=x. (1)解析 ①设log981=x,所以9x=81=92,故x=2,即log981=2;②设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40,故x=0,即log0.41=0;③设lne2=x,所以ex=e2,故x=2,即lne2=2. 答案 ①2 ②0 ③2 (2)解 ①由log64x=- 得x=64- =43×(- )=4-2= ; ②由logx8=6,得x6=8,又x>0,即x=8 =23× = ; ③由lg100=x,得10x=100=102,即x=2; ④由-lne2=x,得lne2=-x,所以e-x=e2, 所以-x=2,即x=-2. 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想. 在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数字母的值,要注意利用方程思想求解. (2)基本方法. ①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算. 【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值. (1)log2x=- ; (2)logx25=2; (3)log5x2=2. 解 (1)由log2x=- ,得2- =x, ∴x= . (2)由logx25=2,得x2=25. ∵x>0,且x≠1,∴x=5. (3)由log5x2=2,得x2=52, ∴x=±5.∵52=25>0,(-5)2=25>0, ∴x=5或x=-5. 题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71-log75; (2)100 ; (3)alogab·logbc(a,b为不等于1的正数,c>0). 解 (1)原式=7×7-log75= = . (2)原式=100 lg9×100-lg2=10lg9× =9× =9× = . (3)原式=(alogab)logbc=blogbc=c. 规律方法 对数恒等式alogaN=N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可. (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解. 【训练3】 (1)设3log3(2x+1)=27,则x=________. (2)若logπ(log3(lnx))=0,则x=________. 解析 (1)3log3(2x+1)=2x+1=27,解得x=13. (2)由logπ(log3(lnx))=0可知log3(lnx)=1,所以lnx=3,解得x=e3. 答案 (1)13 (2)e3 课堂达标 1.有下列说法: (1)只有正数有对数; (2)任何一个指数式都可以化成对数式;(3)以5为底25的对数等于±2;(4)3log3(-5)=-5成立.其中正确的个数为( ) A.0B.1 C.2D.3 解析 (1)正确; (2),(3),(4)不正确. 答案 B 2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为( ) A.a> 且a≠1B.0 C.a>0且a≠1D.a< 解析 由题意知
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