高中数学人教A版精品习题选修22课时训练22 直接证明与间接证明221 Word含答案.docx
- 文档编号:385674
- 上传时间:2022-10-09
- 格式:DOCX
- 页数:28
- 大小:132.91KB
高中数学人教A版精品习题选修22课时训练22 直接证明与间接证明221 Word含答案.docx
《高中数学人教A版精品习题选修22课时训练22 直接证明与间接证明221 Word含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学人教A版精品习题选修22课时训练22 直接证明与间接证明221 Word含答案.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学人教A版精品习题选修22课时训练22直接证明与间接证明221Word含答案
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
[学习目标]
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题.
[知识链接]
1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?
答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理,因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想”
2.必修五中基本不等式
≥
(a>0,b>0)是怎样证明的?
答 要证
≥
,
只需证a+b≥2
,
只需证a+b-2
≥0,
只需证(
-
)2≥0,
因为(
-
)2≥0显然成立,所以原不等式成立.
[预习导引]
1.综合法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
2.分析法
分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
要点一 综合法的应用
例1 在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证:
△ABC为等边三角形.
证明 由A、B、C成等差数列,有2B=A+C.①
因为A、B、C为△ABC的内角,所以A+B+C=π.②
由①②,得B=
.③
由a、b、c成等比数列,有b2=ac.④
由余弦定理及③,
可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.
再由④,得a2+c2-ac=ac,
即(a-c)2=0,因此a=c,
从而有A=C.⑤
由②③⑤,得A=B=C=
.所以△ABC为等边三角形.
规律方法 利用综合法证明问题的步骤:
(1)分析条件选择方向:
仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法.
(2)转化条件组织过程:
把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.
(3)适当调整回顾反思:
解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法的选取.
跟踪演练1 已知a,b是正数,且a+b=1,求证:
+
≥4.
证明 法一 ∵a,b是正数且a+b=1,
∴a+b≥2
,∴
≤
,∴
+
=
=
≥4.
法二 ∵a,b是正数,∴a+b≥2
>0,
+
≥2
>0,
∴(a+b)
≥4.
又a+b=1,∴
+
≥4.
法三
+
=
+
=1+
+
+1≥2+2
=4.当且仅当a=b时,取“=”号.
要点二 分析法的应用
例2 设a,b为实数,求证:
≥
(a+b).
证明 当a+b≤0时,∵
≥0,
∴
≥
(a+b)成立.
当a+b>0时,用分析法证明如下:
要证
≥
(a+b),
只需证(
)2≥
2,
即证a2+b2≥
(a2+b2+2ab),即证a2+b2≥2ab.
∵a2+b2≥2ab对一切实数恒成立,
∴
≥
(a+b)成立.综上所述,不等式得证.
规律方法 用分析法证明不等式时应注意
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;
(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语.
跟踪演练2 已知a,b是正实数,求证:
+
≥
+
.
证明 要证
+
≥
+
,
只要证a
+b
≥
·(
+
).
即证(a+b-
)(
+
)≥
(
+
),
因为a,b是正实数,
即证a+b-
≥
,
也就是要证a+b≥2
,
即(
-
)2≥0.
该式显然成立,所以
+
≥
+
.
要点三 综合法和分析法的综合应用
例3 已知a、b、c是不全相等的正数,且0 求证: logx +logx +logx 证明 要证明: logx +logx +logx 只需要证明logx 由已知0 · · >abc. 由公式 ≥ >0, ≥ >0, ≥ >0, 又∵a,b,c是不全相等的正数, ∴ · · > =abc. 即 · · >abc成立. ∴logx +logx +logx 规律方法 综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,易于寻找解题思路,在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是: 根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证. 跟踪演练3 设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,试证: + =2. 证明 由已知条件得b2=ac,① 2x=a+b,2y=b+c.② 要证 + =2,只要证ay+cx=2xy, 只要证2ay+2cx=4xy. 由①②得2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc, 4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc, 所以2ay+2cx=4xy.命题得证. 1.已知y>x>0,且x+y=1,那么( ) A.x< C.x< <2xy 答案 D 解析 ∵y>x>0,且x+y=1,∴设y= ,x= , 则 = ,2xy= ,∴x<2xy< 2.欲证 - < - 成立,只需证( ) A.( - )2<( - )2 B.( - )2<( - )2 C.( + )2<( + )2 D.( - - )2<(- )2 答案 C 解析 根据不等式性质,a>b>0时,才有a2>b2, ∴只需证: + < + , 只需证: ( + )2<( + )2. 3.求证: + + <2. 证明 因为 =logab,所以左边 =log195+2log193+3log192 =log195+log1932+log1923=log19(5×32×23)=log19360. 因为log19360 所以 + + <2. 4.已知 =1,求证: cosα-sinα=3(cosα+sinα). 证明 要证cosα-sinα=3(cosα+sinα), 只需证 =3,只需证 =3, 只需证1-tanα=3(1+tanα),只需证tanα=- , ∵ =1,∴1-tanα=2+tanα, 即2tanα=-1.∴tanα=- 显然成立, ∴结论得证. 1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是从结论出发,执果索因. 2.分析法证题时,一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语. 3.在实际证题过程中,分析法与综合法是统一运用的,把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合;没有综合也没有分析.问题仅在于,在构建命题的证明路径时,有时分析法居主导地位,综合法伴随着它;有时却恰恰相反,是综合法居主导地位,而分析法伴随着它. 一、基础达标 1.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若 > ,则a>b C.若a3>b3且ab<0,则 > D.若a2>b2且ab>0,则 < 答案 C 解析 对于A: 若c=0,则A不成立,故A错;对于B: 若c<0,则B不成立,B错;对于C: 若a3>b3且ab<0,则 ,所以 > ,故C对;对于D: 若 ,则D不成立. 2.A、B为△ABC的内角,A>B是sinA>sinB的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案 C 解析 由正弦定理 = ,又A、B为三角形的内角,∴sinA>0,sinB>0,∴sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B. 3.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题: ①若α∥β,则l⊥m;②若l⊥m,则α∥β;③若α⊥β,则l⊥m;④若l∥m,则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 答案 B 解析 若l⊥α,m⊂β,α∥β,则l⊥β,所以l⊥m,①正确; 若l⊥α,m⊂β,l⊥m,α与β可能相交,②不正确; 若l⊥α,m⊂β,α⊥β,l与m可能平行或异面,③不正确; 若l⊥α,m⊂β,l∥m,则m⊥α,所以α⊥β,④正确. 4.设a,b∈R+,且a≠b,a+b=2,则必有( ) A.1≤ab≤ B.ab<1< C.ab< <1D. 答案 B 解析 因为a≠b,故 >ab. 又因为a+b=2>2 , 故ab<1, = =2-ab>1,即 >1>ab. 5.要证明 + <2 ,可选择的方法有很多,最合理的应为________. 答案 分析法 6.设a= ,b= - ,c= - ,则a,b,c的大小关系为________. 答案 a>c>b 解析 ∵a2-c2=2-(8-4 )=4 -6= - >0,∴a>c.∵ = = >1,∴c>b. 7.设a≥b>0,求证: 3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 证明 法一 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0,从而(3a2-2b2)(a-b)≥0, 所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 法二 要证3a3+2b3≥3a2b+2ab2,只需证3a2(a-b)-2b2(a-b)≥0, 只需证(3a2-2b2)(a-b)≥0,∵a≥b>0.∴a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0, ∴上式成立. 二、能力提升 8.设0 x,b=1+x,c= 中最大的一个是( ) A.aB.b C.cD.不能确定 答案 C 解析 ∵b-c=(1+x)- = =- <0, ∴b x=a,∴a 9.已知a,b为非零实数,则使不等式: + ≤-2成立的一个充分不必要条件是( ) A.ab>0B.ab<0 C.a>0,b<0D.a>0,b>0 答案 C 解析 ∵ 与 同号,由 + ≤-2,知 <0, <0, 即ab<0.又若ab<0,则 <0, <0. ∴ + =- ≤ -2 =-2, 综上,ab<0是 + ≤-2成立的充要条件, ∴a>0,b<0是 + ≤-2成立的一个充分而不必要条件. 10.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学人教A版精品习题选修22课时训练22 直接证明与间接证明221 Word含答案 高中 学人 精品 习题 选修 22 课时 训练 直接 证明 间接 221 Word 答案