届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编95 双曲线及其性质.docx
- 文档编号:3853944
- 上传时间:2022-11-25
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:79.85KB
届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编95 双曲线及其性质.docx
《届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编95 双曲线及其性质.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编95 双曲线及其性质.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编95双曲线及其性质
§9.5 双曲线及其性质
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.双曲线的定义及其标准方程
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质
了解
2017课标全国Ⅲ,5;2017天津,5;
2016课标全国Ⅰ,5;2016天津,6;
2015天津,6
选择题
填空题
★★★
2.双曲线的几何性质
了解
2017课标全国Ⅰ,15;2017北京,9;
2017山东,14;2016课标全国Ⅱ,11;
2016浙江,7;2015课标Ⅰ,5
选择题
填空题
★★★
3.直线与双曲线的位置关系
了解
2015四川,5;2014福建,19
选择题
解答题
★★☆
分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为5分,属中档题.
五年高考
考点一 双曲线的定义及其标准方程
1.(2017课标全国Ⅲ,5,5分)已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
答案 B
2.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
答案 B
3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3)B.(-1,)
C.(0,3)D.(0,)
答案 A
4.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
答案 D
教师用书专用(5—12)
5.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
答案 D
6.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
A.B.2C.D.
答案 D
7.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )
A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1
答案 C
8.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:
-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
答案 C
9.(2015福建,3,5分)若双曲线E:
-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
A.11B.9C.5D.3
答案 B
10.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:
y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
答案 A
11.(2013广东,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
答案 B
12.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:
-=1过点P且离心率为.
(1)求C1的方程;
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
解析
(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).
由题意知解得a2=1,b2=2,
故C1的方程为x2-=1.
(2)由
(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.
由P(,)在C2上,得+=1,
解得=3,因此C2的方程为+=1.
显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,
因此
由x1=my1+,x2=my2+,得
因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),
由题意知·=0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤
将①,②,③,④代入⑤式整理得
2m2-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1.因此直线l的方程为
x-y-=0或x+y-=0.
考点二 双曲线的几何性质
1.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:
-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A.B.C.D.2
答案 A
2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:
+y2=1(m>1)与双曲线C2:
-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1
C.m 答案 A 3.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 A 4.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 . 答案 5.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m= . 答案 2 6.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y=±x 7.(2015浙江,9,6分)双曲线-y2=1的焦距是 ,渐近线方程是 . 答案 2;y=±x 教师用书专用(8—22) 8.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( ) A.对任意的a,b,e1>e2 B.当a>b时,e1>e2;当a C.对任意的a,b,e1 D.当a>b时,e1 答案 D 9.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞) 答案 A 10.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±y=0B.x±y=0 C.x±2y=0D.2x±y=0 答案 A 11.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C: x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.B.3C.mD.3m 答案 A 12.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( ) A.B.C.D. 答案 A 13.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A.B.C.D.3 答案 B 14.(2014广东,4,5分)若实数k满足0 A.焦距相等B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等D.离心率相等 答案 A 15.(2013课标全国Ⅰ,4,5分)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 答案 C 16.(2013湖北,5,5分)已知0<θ<,则双曲线C1: -=1与C2: -=1的( ) A.实轴长相等B.虚轴长相等 C.焦距相等D.离心率相等 答案 D 17.(2013福建,3,5分)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.B.C.D. 答案 C 18.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1: -=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2: x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 . 答案 19.(2015北京,10,5分)已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a= . 答案 20.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C: -=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 . 答案 21.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 22.(2013陕西,11,5分)双曲线-=1的离心率为,则m等于 . 答案 9 考点三 直线与双曲线的位置关系 1.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( ) A.B.2C.6D.4 答案 D 2.(2014福建,19,13分)已知双曲线E: -=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1: y=2x,l2: y=-2x. (1)求双曲线E的离心率; (2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究: 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E? 若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由. 解析 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2, 故c=a, 从而双曲线E的离心率e==. (2)解法一: 由 (1)知,双曲线E的方程为-=1. 设直线l与x轴相交于点C. 当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a, 又因为△OAB的面积为8, 所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2, 此时双曲线E的方程为-=1. 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1. 以下证明: 当直线l不与x轴垂直时,双曲线E: -=1也满足条件. 设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2, 则C.记A(x1,y1),B(x2,y2). 由得y1=,同理得y2=. 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得, ·=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4). 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. 因为4-k2<0, 所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16), 又因为m2=4(k2-4), 所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点. 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1. 解法二: 由 (1)知,双曲线E的方程为-=1. 设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意得- 由得y1=,同理得y2=. 设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0). 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8, 得|t|·=8, 所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2). 由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. 因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0, 即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0, 即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2=4, 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1. 解法三: 当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得k>2或k<-2. 由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0, 因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=, 又因为△OAB的面积为8, 所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=, 所以·=8,化简得x1x2=4. 所以=4,即m2=4(k2-4). 由 (1)得双曲线E的方程为-=1, 由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0, 因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4, 所以双曲线E的方程为-=1. 当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l: x=2,又易知l: x=2与双曲线E: -=1有且只有一个公共点. 综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1. 教师用书专用(3) 3.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C: -y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点). (1)求双曲线C的方程; (2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l: -y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N. 证明: 当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值. 解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c=, 直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B. 又直线OA的方程为y=x,则A,kAB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3, 故双曲线C的方程为-y2=1. (2)由 (1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0), 即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M; 直线l与直线x=的交点为N, 则= = =·. 因为P(x0,y0)是C上一点,所以-=1,代入上式得 =·=·=, 所求定值为==. 三年模拟 A组 2016—2018年模拟·基础题组 考点一 双曲线的定义及其标准方程 1.(2018宁夏育才中学月考,5)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于 ( ) A.1B.17 C.1或17D.以上答案均不对 答案 B 2.(2018广东广州华南师大附中检测,5)设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是( ) A.长轴在x轴上的椭圆 B.长轴在y轴上的椭圆 C.实轴在x轴上的双曲线 D.实轴在y轴上的双曲线 答案 D 3.(2017广东汕头模拟,14)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l: y=2x+10,且该双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 . 答案 -=1 4.(人教A选2—1,二,2-3-1,3,变式)若关于x,y的方程(m2-4m-5)x2+(m2+5m-6)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是 . 答案 (1,5) 考点二 双曲线的几何性质 5.(2018广东茂名模拟,5)已知双曲线-=1的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±xB.y=±x C.y=±xD.y=±x 答案 B 6.(2017安徽安庆二模,6)已知F1、F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点,BF1交y轴于点C,若AC⊥BF1,则双曲线的离心率为( ) A.B.C.2D.2 答案 B 7.(2017河北唐山调研,5)设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为( ) A.1B.2C.D. 答案 A 考点三 直线与双曲线的位置关系 8.(2018山东济南模拟,8)已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是( ) A.B.[-,] C.D.(-,) 答案 A 9.(2017山西临汾一中月考,7)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A,O为坐标原点,若△OAF的面积为a2,则双曲线C的离心率为( ) A.B.C.D. 答案 A 10.(2017湖南长沙月考,7)已知F1,F2是双曲线E: -=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M,N,已知△MF2N是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( ) A.B.2 C.1+D.2+ 答案 C B组 2016—2018年模拟·提升题组 (满分: 30分 时间: 30分钟) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.(2018福建莆田九中月考,10)已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值是( ) A.B.C.D. 答案 B 2.(2018安徽淮南联考,6)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为 ( ) A.4+B.4(1+)C.2(+)D.+3 答案 B 3.(2018山东青岛模拟,8)已知点P是双曲线C: -=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是( ) A.B.C.2D. 答案 D 4.(2017福建龙岩二模,11)已知离心率为的双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B 5.(2016广东茂名二模,11)已知双曲线: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则双曲线的离心率为( ) A.B.C.2D.+1 答案 D 二、填空题(共5分) 6.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为 . 答案 C组 2016—2018年模拟·方法题组 方法1 求双曲线的标准方程的方法 1.(2018福建莆田月考,7)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),则此双曲线的标准方程为( ) A.-y2=1B.x2-=1 C.-y2=1D.x2-=1 答案 B 2.(2018河北衡水联考,8)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=x的垂线,垂足为M,若S△OMF=4(O为坐标原点),则双曲线-=1(a>0,b>0)的标准方程为( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 C 3.(2016安徽亳州二模,5)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与该双曲线相交于M、N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( ) A.-=1B.-=1 C.-=1D.-=1 答案 B 4.(2017河南部分名校联考,15)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a>0,b>0)过点P(1,1),其一条渐近线的方程为y=x,则该双曲线的方程为 . 答案 2x2-y2=1 方法2 双曲线的几何性质的应用策略 5.(2018广东茂名模拟,9)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左,右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( ) A.B.4C.D. 答案 A 6.(2017河北石家庄二模,11)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若△PQF2的周长为12,则ab取得最大值时双曲线的离心率为( ) A.B.C.D. 答案 C 7.(2017河南新乡调研,12)已知双曲线Γ: -=1(a>0,b>0),过双曲线Γ的右焦点,且倾斜角为的直线与双曲线Γ交于A,B两点,O是坐标原点,若∠AOB=∠OAB,则双曲线Γ的离心率为( ) A.B. C.D. 答案 A 方法3 解决直线与双曲线位置关系问题的方法 8.(2018上海崇明一模,8)直线x=2与双曲线-y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编95 双曲线及其性质 届高三 理科 数学 年高 三年 模拟 分类 汇编 95 双曲线 及其 性质