圆全章导学案.docx
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圆全章导学案
第三章圆
3.1圆
3.1.1圆的对称性
一、学习目标:
1、理解圆的相关概念(圆、弦);
2、理解圆的对称性
3、探索了解垂径定理,会用垂径定理进行证明或计算
二、学习重点:
圆的相关概念、对称性及垂径定理的推导与应用
难点:
垂径定理的理解与应用
三、课时安排:
1课时
四、学习方法:
实验——归纳——猜测——证明
五、学习过程
问题导入
【学生活动】
1、回顾轴对称图形与中心对称图形
2、为什么车轮都做成圆形?
车轮能否做成正方形或长方形?
3、圆形物体在生活中随处可见,你能举出一些例子吗?
任务导学
※学习任务一:
了解圆及相关概念(看课本58页)
1、圆的定义:
圆是到一的距离等于的所有点组成的图形,这个定点叫,定长叫,圆也可以看成是一个动点所形成的图形
2、弦:
连结任意两点的叫弦。
3、直径:
经过圆心的叫直径。
4、能够完全重合的两个圆叫
【同步练习】1、下列说法:
①直径是弦;②弦是直径;③过圆内一点有无数条弦,这些弦都相等;④直径是最长的弦;⑤圆上的点到圆心的距离相等;⑥过圆心的线段就是直径。
⑦半径相等的圆是等圆其中正确的有
2、圆内最长的弦长为30,则圆的半径是
3、与已知点的距离为4cm的所有点组成的平面图形是
【教师点拨】1、确定圆的要素有
2、直径是弦,但弦不一定是直径
※学习任务二:
了解圆的对称性
1、圆绕圆心旋转,都能与自身重合,圆是中心对称图形,是它的对称中心
2、圆是轴对称图形,它的对称轴是
思考;如何找到一张圆纸片的圆心?
※学习任务三:
探索了解垂径定理,会用垂径定理进行证明或计算
【学生活动】
1、观察
若将下图的圆形纸片沿CD翻折,能观察到什么?
说明什么?
2、思考
如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足为M,则图中有哪些相等的量?
为什么?
3、讨论:
4、证明:
【教师点拨】:
1、垂径定理的条件是:
结论是2、定理中的弦包括和
【同步例题】例1、如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm求⊙O得半径
解法指导
【变式例题】例2、已知:
如图,以点O为圆心的两个圆中,
大圆的弦AB交小圆于点C、D两点,
求证:
AC=DB
解法指导
【课堂延伸】
1、平分弦的直径一定垂直于弦吗?
2、如图,若AB是⊙O中的一条弦,而另一条弦CD是它的垂直平分线,则CD过圆心,即是否是这个圆的直径?
如何说明。
?
【教师点拨】1、平分弦(非直径的弦)的直径一定垂直于弦吗。
2、弦的垂直平分线一定通过圆心
【巩固练习】填空题
1、
如果⊙O直径为10cm,弦AB的长为6cm,则圆心O到弦的AB距离是
2、已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距(圆心到弦的距离)为3,则AB的长是
3、如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于D点,交⊙O于C点,且CD=1,则弦AB的长是
【提高练习】如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足P是OB的中点,求直径AB的长
目标导结
【知识点再现】:
(1)圆的相关概念;
(2)垂径定理及应用.
【方法归纳】:
1、垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题,关键是构造直角三角形——作弦心距;
2、为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;
学后反思
我学会了
我的疑问是
当堂检测
1、如图,AB是的⊙O弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=6,OD=4,则DC的长为
2、如果⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4,则的半径为
3、⊙O的直径是15cm,CD过圆心O且垂直弦AB于M,OM∶OC=3∶5,则AB的长是()
A.24cmB.12cmC.6cmD.3cm
4、.过⊙O内一点P的最长的弦长为10cm,最短的弦长为8cm,则OP的长为_________cm。
5、已知:
AB是⊙O的直径,CD是弦,CE⊥CD于C,DF⊥CD于D,求证AE=BF。
3.1.1圆的对称性
一、学习目标:
1、理解圆的相关概念(圆弧、优弧、劣弧、圆心角);
2、探索圆心角与它们所对的弧及它们所对的弦之间的关系
3、理解掌握“垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧”会用其进行证明或计算
二、学习重点:
圆心角与它们所对的弧及它们所对的弦之间的关系
难点:
圆心角与它们所对的弧及它们所对的弦之间的关系应用
三、课时安排:
1课时
四、学习方法:
观察——猜测——证明
五、学习过程
复习回顾
【学生活动】
回顾垂径定理
任务导学
※学习任务一:
了解圆的相关概念(看课本61页)
1、圆弧指的是劣弧指的是
用个字母表示;优弧指的是
用个字母表示
2、圆心角指的是
【教师点拨】半圆是弧,但弧不都是半圆
※学习任务二:
圆心角与它们所对的弧及它们所对的弦之间的关系
【学生活动】
1、思考:
①如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,且AB⊥CD,垂足为M,直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等?
如何证明?
2若连结AO,BO,则圆心角∠AOD与圆心角∠BOD会相等吗?
由此,你想到了什么?
3
如图⊙O中,若∠AOD=∠BOD,那么吗
4若在半径不同的圆中,也有③的结论吗?
⑤若图中则弦AD=BD吗?
2、讨论:
3、发言:
【教师点拨】:
1、圆心角与它们所对的弧及它们所对的弦、弦心距之间的关系
2、引导学生说出定理的几何语言表达形式
①CD是直径、AB是弦①AE=BE
②
②CD⊥AB③
2、引申定理:
定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
从而得到垂径定理的变式:
①经过圆心得到①平分弦
一条直线具有:
②平分弦所对的劣弧
②垂直于弦③平分弦所对的优弧
【同步练习】1、已知:
如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节课所学内容填空:
.
(1)假如AB=CD,那么______,______,______;
(2)假如OE=OG,那么______,______,______;
(3)假如=,那么______,______,______;
(4)假如∠AOB=∠COD,那么______,______,______.
【同步例题】例1、证明两条平行弦所夹得弧相等
如图,已知在⊙O中,弦AB与弦CD互相平行
求证
【课堂延伸】2.如图,AB、CD是⊙O的直径,弦CE∥AB.与相等吗?
为什么?
.
变式:
已知:
如上图,已知AB和CD是⊙O的两条直径,
=
,
求证:
CE∥AB.
【解法指导】
目标导结
【知识点再现】:
垂径定理的条件和结论:
①经过圆心得到①平分弦
一条直线具有:
②平分弦所对的劣弧
②垂直于弦③平分弦所对的优弧
注意:
若将条件中的②与结论中的①互换,必须添加条件,其余都可以互相交换
*【方法归纳】:
学后反思
我学会了
我的疑问是
当堂检测
1、教材63页练习1、2题
2、在⊙O中,弦AB所对的劣弧为圆的
,圆的半径为2cm,求AB的长.
3、圆的半径为13cm,两弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则AB、CD两弦之间的距离是多少?
3.1.2圆周角
一、学习目标:
1、理解圆的相关概念(圆周角);
2、探索圆周角相关性质
3、掌握圆周角相关性质会用圆周角相关性质进行证明或计算
二、学习重点:
掌握圆周角相关性质会用圆周角相关性质进行证明或计算
难点:
分类探讨圆周角相关性质
三、课时安排:
2课时
四、学习方法:
观察——猜测——证明
五、学习过程
复习回顾
【学生活动】
1、回顾圆心角的概念
2、在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、及弦心距有何关系。
任务导学
※学习任务一:
了解圆的相关概念(看课本61页)
圆周角指的是
【教师点拨】圆周角必须要满足两个条件;1、顶点在圆上
2两边都与圆相交
【同步练习】
下列哪些属圆周角
※学习任务二:
探索同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系
【学生活动】
1、画图
2、量角
3、猜想;
4、教师引导分情况证明
圆周角定理:
【同步练习】1、如图,在⊙O中∠ABC=50°,则∠AOC等于()
A、50°B、80°C、90°D、100°
2、如图,△ABC是等边三角形,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于()
A、30°B、60°C、90°D、45°
3、如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?
4.如图,∠A是圆O的圆周角,∠A=40°,求∠OBC的度数
【学法指导】:
※ 学习任务三:
探讨同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角之间的关系;直径或半圆所对的圆周角的特点
【学生活动】:
思考下列题
1.BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角还是直角?
为什么?
2.如图,圆周角∠BAC=90°,弦BC经过圆心吗?
为什么?
*
【师生归纳】圆周角定理的推论
【同步练习】1.如图,点A、B、C、D在⊙O上,若∠BAC=40°,则
(1)∠BOC=°,理由是;
(2)∠BDC=°,理由是.
2.如图,在△ABC中,OA=OB=OC,则∠ACB=°.理由是;
3.如图,AB是⊙O的直径,∠A=10°,则∠ABC=________.
4.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=____
【课堂延伸】
.如图,⊙C经过坐标原点O,并与两坐标轴分别交于A、D两点,已知∠OBA=45°,点D的坐标为(0,2),求点A的坐标及圆心C的坐标.
【解法指导】
目标导结
【知识点再现】:
1、圆周角指的是
2、同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系(圆周角定理)
3、同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角;反之,相等的圆周角所对的弧(圆周角定理的推论)
4、直径或半圆所对的圆周角是;反之,90的圆周角所对的弦是(圆周角定理的推论)
【方法归纳】:
学后反思
我学会了
我的疑问是
当堂检测
1.如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,直径AD=4,∠ABC=∠DAC.求AC的长.
2.如图,点A、B、C、D在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.
拓展延伸
3.如图,点A、B、C、D都在半圆上,且AB是半圆的直径,D是的中点,若∠BAC=20°,
则∠DAC的度数是()
A.20°B.25°C.30°D.35°
4.如图,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O的点,则∠1+∠2=°.
5.如图,△ABC的3个顶点都在⊙O上,D是AC的中点,BD交AC于点E,△CDE与△BDC相似吗?
为什么?
3.1.3过不在同一直线上的三点作圆
一、学习目标:
1.(了解)(1)知道不在同一条直线上的三点确定一个圆.
(2)三角形的外心.
2.(掌握)(1)会用尺规作过不在同一直线上的三个点的圆;
(2)掌握三角形的外接圆、圆的内接三角形的概念.
二、重、难点:
过不共线的三点圆的圆心的确定.
三、课时安排:
1课时
四、学习方法实践操作
五、学习过程
复习引入
【学生活动】
1.怎样作线段的垂直平分线?
2.三角形两边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离是否相等?
3.位置和大小确定一个圆.决定圆的大小的是圆的,决定圆的位置的是.
4.几点可以确定一条直线?
既然一条直线可以由点来确定,那么一个圆需用几点来确定呢?
今天这节课就来研究这个问题.
任务导学
※学习任务一:
知道不在同一条直线上的三点确定一个圆.
【学生活动】1.阅读课文,然后分两组用尺规作图:
(1)组:
经过一个已知点A画圆;(2)组:
经过两个已知点A、B画圆.
归纳:
过一个点的圆有个,圆心在过两个点的圆有个,圆心在
2、你能过三个已知点画圆.吗?
若能请说明如何确定圆心与半径的。
【教师点拨】分类探讨
【师生归纳】过一个点的圆有个,过两个点的圆有个,过同一直线上的三个点的圆有个。
过不在同一直线上的三个点的圆有且只有个
.定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
【同步练习】经过△ABC的3个顶点做一个圆。
※*学习任务二:
知道什么是三角形的外心.掌握三角形的外接圆、圆的内接三角形的概念.
【学生活动】
1、阅读教材69页
三角形的外心指的是
2、三角形的外接圆指的是
3、圆的内接三角形指的是
【同步练习】
1、分组作图找出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心
讨论每种图形的外心的位置情况
结论:
2、教材69页练习题2
【课堂延伸】.经过不在同一直线上的四点能作圆吗?
【教师点拨】.
目标导结
【知识点再现】:
1、确定圆的条件是
2、不在同一直线上的三个点确定一个圆.圆心在
3、经过三角形个顶点的圆叫做这个三角形的,外接圆的圆心叫这个三角形的,这个三角形叫做这个圆的
【方法归纳】:
学后反思
我学会了
我的疑问是
当堂检测
判断正误
(1)经过三点一定可以作圆
(2)三角形的外心是这个三角形两边垂直平分线的交点
(3)三角形的外心到三边的距离相等
(4)经过不在同一直线上的四点一定能作圆。
3、2点、直线与圆的位置关系,圆的切线
3.2.1点、直线与圆的位置关系
一、学习目标:
1、了解点与圆、直线与圆的位置关系
2、会判断点与圆、直线与圆的位置关系
二、重、难点:
直线与圆的位置关系
三、课时安排:
1课时
四、学习方法:
分类探讨
五、学习过程
复习引入
【学生活动】
1、确定圆的要素是;
2、圆上的各点到圆心的距离都等于圆的
3、请说说点与直线有几种位置关系
4、点与圆的位置关系有几种?
直线与圆的位置关系呢?
任务导学
※学习任务一:
知道点与圆的位置关系,会判断点与圆的位置关系
【学生活动】自学,阅读教材71页至72页,填空
1、点与圆的位置有
点与圆的位置关系由决定
2如图所示,⊙O的半径为r,点p到圆心的距离为d,若点在圆内则;若点在圆上则;若点在圆外则
若d<r则,点在圆:
若d=r则点在圆;若d>r则则点在圆:
【师生归纳】
【知识应用】
例题1、已知圆的半径等于5cm,点到圆心的距离分别是
(1)8cm
(2)4cm(3)5cm,请分别说出点与圆的位置关系
【同步练习】
如上图,在Rt△ABC中,,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,D、E分别为边AB、AC的中点,以B为圆心,3cm为半径画圆,那么点A、C、E、D与⊙B有怎样的位置关系?
【教师点拨】
※学习任务二:
知道直线与圆的位置关系,会判断直线与圆的位置关系
【学生活动】
阅读教材72页至73页填空
1、直线与圆的位置有
直线与圆的位置关系由决定
2.若圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则
当d<r时,直线与圆恰好有个公共点,这时直线与圆,这条直线叫做圆的
当d=r时,直线与圆只有有个公共点,这时直线与圆,这条直线叫做圆的
当d>r时,直线与圆有个公共点,这时直线与圆,这条直线叫做圆的
【知识巩固】
自学教材73页例题1、
例题2、在Rt△ABC中,,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,中,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系?
为什么
(1)r=2cm
(2)r=2.4cm(3)r=3cm
【同步练习】
教材73页练习1、2题
【知识应用】如图,在旧城改造中,处是需爆破拆除的高楼,在处正南方向40m的处是一所学校,正东方向30m的处是商业广场,为使学校,商业广场及道路免遭破坏,试用你所学的知识求爆破影响面的半径应控制的范围
【教师点拨】.
目标导结
【知识点再现】
1、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系
图形
数量(d与r)的大小关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
2、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
d与r的数量关系
公共点的名称
直线的名称
【方法归纳】:
学后反思
我学会了
我的疑问是
当堂检测
1、已知三角形的三边长分别为3、4、5,则它的边与半径为1的圆的公共点的个数为
A.0,1,2,3B.0,1,2,4C0,1,2,3,4D0,1,2,4,5
2、如图,在Rt△ABC中,,∠C=90°,∠B=30°BC=4cm,中,以C为圆心,2cm长为半径的圆与AB位置关系是
A相离B相切C相交D相切或相交
3、已知⊙O的半径R=
cm,点O到直线l的距离为d,如果直线l与⊙O有公共点,那么
Ad=
Bd>
Cd<
Dd≥
4.已知圆的半径为6.5,圆心到直线l的距离为4.5cm,那么直线l和圆的公共点的个数为
A0B1C2D不能确定
5、已知⊙O的半径为3cm,直线l上有一点P,若OP=3cm,则直线l与⊙O的位置关系是
A相交B相离C相切D相交或相切
6.已知直线l与⊙O相切,若圆心O到直线l的距离是5,则⊙O的半径是
7.⊙O的半径为R,圆心O到直线l的距离为d,若d,R是方程的两个实数根,则直线l和圆的位置关系是
3.2.2圆的切线的判定、性质和画法
第一课时切线的判定
一、学习目标:
1、掌握切线的判定定理
2、应用切线的判定定理证明某直线是圆的切线
二、重点:
掌握切线的判定定理
难点:
圆的切线证明问题中,辅助线的添加方法.
三、课时安排:
1课时
四、学习方法:
实践操作
五、学习过程
复习引入
【学生活动】
1、直线与圆的几种位置关系分别是
2、什么是圆的切线?
3、已知:
圆O的半径为OA=5,直线AB上有一个点M,若OM=5,那么直线AB与圆O的位置关系是什么?
任务导学
※学习任务一:
理解并掌握圆的切线的判定定理
【学生探究】
1、操作:
已知圆上有一点A,过点A作直线L与OA垂直
2.思考
(1)圆心O到直线L的垂线段是;
(2)圆心O到直线L的距离是;直线L与圆O的位置关系是
【教师点拨】
1、切线的判定定理:
(1)经过半径外端
(2)并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
请同学们思考一下,该判定定理的两个条件缺少一个可以吗?
上图中L是不是圆的切线?
2、判断切线的方法有3种,
(1)定义:
有且只有一个公共点。
(不好操作)
(2)比较数量d=r。
(要计算)
(3)切线判定定理。
(证垂直半径外端)
【同步训练】
下列四个命题:
与圆有公共点的直线是圆的切线;垂直于圆的半径的直线是圆的切线;圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;过直径的端点且垂直于此直径的直线是圆的切线,其中真命题有:
※学习任务二:
能正确应用圆的切线的判定定理进行相关证明
【知识应用】
例题1、如图,AD是圆O的直径,直线BC经过点D,并且AB=AC,
∠BAD=∠CAD
求证:
直线BC是圆O的切线
【同步训练】
已知:
直线AB经过圆O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.
求证:
直线AB是圆O的切线
【例2】如图2,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E.求证:
OB与⊙D相切.
【解法指导】
【延伸拓展】
已知:
AB是⊙O的直径C是⊙O上的一点,∠CAE=∠B,
问
(1)直线AE和⊙O有怎样的位置关系?
(2)如果AB不是直径,其它条件不变,上述结论还成立吗?
【教师点拨】.
目标导结
【知识点再现】1、切线的判定定理是经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线
2、判断切线的方法有3种,分别是
【方法归纳】:
①已明确直线和圆有公共点,辅助线的作法是连结圆心和公共点,即得“半径”,再证“直线与半径垂直”.
②不明确直线和圆有公共点,辅助线的作法是过圆心作直线的垂线,再证“圆心到直线的距离等于半径”.
学后反思
我学会了
我的疑问是
当堂检测
1、如图已知点A是⊙O外一点,点B是⊙O上一点,AO的延长线交⊙O于点C,连结BC,若∠C=25°,要使AB与⊙O相切,则:
∠A=
2已知:
AB是⊙O的直径,D是圆上一点,∠AOD=120°,点B是OC的中点,连接CD求证:
CD切⊙O于点D
3.如图,AB是⊙O的直径,∠A=30°延长OB到D,使BD=OB
(1)△OCB是否是等边三角形?
说明你的理由
(2)求证:
DC是⊙O的切线
3.2.2圆的切线的判定、性质和画法
第二课时切线的性质
一、学习目标:
1、掌握切线的性质定理
2、能过圆上一点作切线
3、应用切线的性质定理进行相关计算和证明
二、重点:
掌握、应用切线的性质定理
难点:
切线的判定与性质的综合应用
三、课时安排:
1课时
四、学习方法:
合作探究
五、学习过程
复习引入
【学生活动】
1、如何判断圆的切线
2、圆的切线有什么性质?
任务导学
※学习任务一:
理解并掌握圆的切线的性质定理
【学生探究】
如图,直线L是圆O的切线,切点为A,若圆的半径为3cm,圆心O到切线L的垂线段的长为
【教师点拨】圆的切线的性质定理:
圆的切线
其中,条件是,结论是
【例题巩固】
例题1、自学教材76页例题3、例题4
【同步训练】教材77页练习题1
【解法指导】
【延伸拓展】如图,已知圆外一点P到圆心O的距离为10cm,⊙O的半径为8cm,若过P点作⊙O的切线,A为切点,求PA的长
※学习任务二:
会过圆上一点作圆的切线
例题:
如图
(1),过圆O上一点A画圆O的切线;
如图
(2),过圆O一点P画圆O的切线;
(1)
(2)
※学习任务三:
能综合应用切线的判定定理和性质定理进行计算和证明
【例题巩固】如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB中点,AE平分
∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过两A、E俩点,交AD于点G,交AB于点F
(1)求证:
BC与⊙O相切
(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数
【教师点拨】.
目标导结
【知识点再现】切线的性质定理是
【方法归纳】:
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