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点线面位置关系导学案
空间点、线、面之间的位置关系
《一》点、线、面之间的位置关系
1.平面的基本知识
(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念,即为不加定义的原始概念.
(2)平面的基本特征是无限延展性:
平面是理想的,绝对的平(平面是处处平直的面);
平面没有大小、没有厚薄和宽窄,是不可度量的.
(3)平面的画法及表示
画法:
立体几何中通常用平行四边形来表示平面,有时也用圆或三角形等图形来表示平面.
为了增强立体感,如果一个平面被另一个平面遮挡住,常把它遮挡的部分用虚线画出来.
(4)平面的基本性质:
公理1:
如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
公理2:
过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行.
定理5:
空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
2.点、直线、平面的位置关系
(1)点、线、面的表示:
点(元素):
大写字母A、B、C、D……;
直线(点的集合):
小写英文字母
或者两个大写英文字母;
平面(点的集合):
用希腊字母表示
;用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.
(2)点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号:
元素与集合关系:
;集合与集合关系:
3.空间两条直线的位置关系
(4)异面直线所成的角:
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围:
.
4.直线和平面的位置关系
(1)直线在平面内(无数个公共点);a
α
(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);a∩α=A;(3)直线和平面平行(没有公共点).a∥α
5.两个平面的位置关系有两种
(1)两平面相交(有一条公共直线);
(2)两平面平行(没有公共点).
考点1:
点、线面基本知识
例1:
下列语句是对平面的描述:
①平面是绝对平的且是无限延展的;②一个平面将无限的空间分成两部分;
③平面可以看作空间的点的集合,它是一个无限集;④四边形确定一个平面.
其中正确的序号是.
变式:
(教材习题改编)下列命题是真命题的是()
A.空间中不同三点确定一个平面;B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C.一条直线和一个定点能确定一个平面;D.梯形一定是平面图形
考点2、点线面位置关系
例2、已知点P在直线l上,而直线l在平面α内,用符号表示为( ).
A.P⊂l⊂αB.P∈l∈αC.P⊂l∈αD.P∈l⊂α
变式:
1.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( ).
A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N
2.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.
3.已知平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,P∈β,P∉l且MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ等于___.
考点3:
异面直线所成角
例3:
(2012四川)、如上图,在正方体
中,
、
分别是
、
的中点,则异面直线
与
所成角的大小是____________。
变式:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.
考点4、共点、共线问题
例4、在空间四边形ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=2∶3,DH∶HA=2∶3.
(1)求证:
G、E、F、H四点共面;
(2)求证:
EF、GH、BD交于一点;
(3)若EF与GH相交于O,证明:
B、D、O三点共线.
变式:
已知在空间四边形ABCD(如右图所示)中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点且CG=
BC,CH=
DC,求证:
(1)E,F,H,G四点共面;
(2)直线FH,EG,AC共点.
练习:
1.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()
A.0B.1C.0或1D.1或3
2、已知下列四个命题:
①平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点;
②经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面;
③经过两条相交直线,有且只有一个平面;
④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.
其中正确命题的个数是()
A.1B.2C.3D.4
3.给出下列三个命题:
①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点中有三点共线,则此四点必共面;③空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.
其中正确命题的序号是________.
4.下列命题不正确的是________.
①如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行;②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等,那么这两条直线平行;③两条异面直线所成的角为锐角或直角;
④直线a与b异面,b与c也异面,则直线a与c必异面.
5.已知a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b( )
A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
6.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( ).
A.2对B.3对C.6对D.12对
7.已知异面直线a与b满足a⊂α,b⊂β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是( ).
A.c与a,b都相交B.c至少与a,b中的一条相交
C.c至多与a,b中的一条相交D.c至少与a,b中的一条平行
8.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.
以上结论中正确的为( ).
A.①②B.③④C.②③D.①③
9.(2012·菏泽高一检测)如图,若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________.
10.在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( ).
A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上
11.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
12、已知在棱长都是a的四面体A-BCD中,E,F分别为AD,BC的中点,
求异面直线AF和CE所成的角的余弦值;
13、在四面体ABCD中,E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点,且EF∩GH=P,求证:
B、D、P三点共线.
14.(创新拓展)在空间四边形ABCD中,H、G分别是AD、CD的中点,E,F
分别是边AB,BC上的点,且
=
=
.
求证:
直线EH、BD、FG相交于一点.
证明 连接EF、GH(如图所示).
∵H、G分别是AD、CD的中点,
∴GH∥AC,且GH=
AC.
∵
=
=
,
∴EF∥AC,且EF=
AC.
∴GH∥EF,且GH≠EF.
∴EH与FG相交,设交点为P.
∵EH⊂平面ABD,
∴P∈平面ABD.
同理P∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD=BD,
∴P∈BD.
∴直线EH、BD、FG相交于一点.
8.在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( ).
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上,也不在直线BD上
15.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是______________
1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ).
A.异面B.相交C.不相交D.不平行
2.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( ).
A.全等B.相似C.仅有一个角相等D.全等或相似
4.下列命题不正确的是________.
①如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行;②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等,那么这两条直线平行;③两条异面直线所成的角为锐角或直角;
④直线a与b异面,b与c也异面,则直线a与c必异面.
6.如图,在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中,P是面A1C1上的一点,过点P如何画一条直线和棱AB平行?
过点P如何画一条直线和BD平行?
1.已知点P在直线l上,而直线l在平面α内,用符号表示为( ).
A.P⊂l⊂αB.P∈l∈αC.P⊂l∈αD.P∈l⊂α
2.如下四图表示两个相交平面,其中画法正确的是( ).
3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( ).
A.l⊂αB.l⊄α
C.l∩α=MD.l∩α=N
6.如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.
图1
图2
7.如图2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( ).
A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面
7.已知异面直线a与b满足a⊂α,b⊂β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是( ).
A.c与a,b都相交B.c至少与a,b中的一条相交
C.c至多与a,b中的一条相交D.c至少与a,b中的一条平行
9、在下图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有( )
第10题
A、
(1)
(2)B、
(1)(3)C、
(2)(4)D(3)(4)
考点二两直线的位置关系
设A,B,C,D是空间四个不同的点,下列命题中,不正确的是( C )
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
考点三异面直线所成的角
(1)连结FD,过E作EG∥AF交FD于G,则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角(或补角).
连结CG,在△CEG中,
EG綊
AF,
∵AF=
a,CE=
a,CG=
a,
∴EG=
a,由余弦定理得cos∠CEG=
.
《二》线面平行、面面平行的证明导学案
1、知识点梳理
(1)线面平行的判定定理:
.
(2)线面平行的性质定理:
.
1、(自主练习)
1.(2009广东)给出下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中正确的是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
2.已知直线a,b,平面
,则以下三个命题:
①若a∥b,b
则a∥
;②若a∥b,a∥
则b∥
;③若a∥
b∥
则a∥b.
其中真命题的个数是.
3.设m,l表示直线,α表示平面,若m⊂α,则l∥α是l∥m的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.(教材习题改编)已知不重合的直线a,b和平面α,
①若a∥α,b⊂α,则a∥b;②若a∥α,b∥α,则a∥b;
③若a∥b,b⊂α,则a∥α;④若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α,
上面命题中正确的是________(填序号).
5.下列命题中,正确命题的个数是.
①若直线l上有无数个点不在平面
内,则l∥
;②若直线l与平面
平行,则l与平面
内的任意一条直线都平行;
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l与平面
平行,则l与平面
内的任意一条直线都没有公共点.
6.下列命题错误的是()
A.平面和平面相交,它们只有有限个公共点
B.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
C.经过两条相交直线,有且只有一个平面
D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合
2、例题分析(练习)
例1、如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,点E是PD的中点.
求证:
PB//平面AEC;
变式练习:
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,D是AC的中点。
求证:
AB1//平面DBC1
例2.四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点,
求证:
MN∥平面PAD;
变式练习.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是CC1,AB的中点.
求证:
CN//平面AB1M.
【课堂小结】
1.平行转化方向:
面面平行⇒线面平行⇒线线平行
2.线面的平行常有以下技巧:
证明线线平行常用的方法:
①利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;
③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行性质定理进行平行转换.
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