六年级小升初小学数学专题课程《比和比例问题》含答案.docx
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六年级小升初小学数学专题课程《比和比例问题》含答案
16、比和比例问题
知识要点梳理
一、比例尺应用题
在比例尺应用题中,图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是:
图上距离∶实际距离=比例尺,三个相关的量中,知道任意两个量,就可以根据关系式,求出另一个量。
在计算中,要注意各种量的单位要统一。
二、按比例分配的应用题
把一个数量按照一定的比分配成几部分。
按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。
关键是要根据各部分之比,确定各部分量与总量之间的关系,即各部分占总量的几分之几,然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。
三、正、反比例应用题
正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系,关系式是:
=k(一定);反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系,关系式是:
x·y=k(一定)。
四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤
1.找出题目中两种相关联的量,并分析判断是成正比例,还是成反比例。
2.设未知数为x,并注明单位名称。
3.根据比值(一定)或积(一定)建立比例式,并解比例。
4.检验,写答语。
考点精讲分析
典例精讲
考点1按比例分配的应用题
【例1】 希望小学要种一批树共390棵,按照三个班的人数来分配。
一班有42人,二班有45人,三班有43人,三个班各应植树多少棵?
【精析】 这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42:
45:
43进行分配的问题。
要分的总数是390,总份数是42+45+43=130。
其中一班占总数的
,二班占总数的
,三班占总数的
,要求各班应植树的棵数,实际上是分别求390的
,
,
各是多少。
【答案】 解法一:
按比例分配法
42+45+43=130
390×
=126(棵)
390×
=135(棵)
390×
=129(棵)
解法二:
份数解法
390÷(42+45+43)=3(棵)
3×42=126(棵)
3×45=135(棵)
3×43=129(棵)
答:
一班应植树126棵,二班应植树135棵,三班应植树129棵。
考点2比例尺应用题
【例2】 下面是学校操场的示意图。
求这个操场的实际周长和面积。
【精析】 要求出长方形操场的实际周长和面积,必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。
【答案】 解法一:
用比例做方程解。
设操场的实际长为x厘米,宽为y厘米。
根据题意列比例方程:
4.4∶x=1∶5000 3.2∶y=1∶5000
x=4.4×5000 y=3.2×5000
x=22000y=16000
22000厘米=220米 16000厘米=160米
操场的周长:
(220+160)×2=760(米)
操场的面积:
220×160=35200(平方米)
解法二:
根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。
实际长为:
4.4÷15000=22000(厘米)=220(米)
实际宽为:
3.2÷15000=16000(厘米)=160(米)
操场的周长:
(220+160)×2=760(米)
操场的面积:
220×160=35200(平方米)
解法三:
根据图距,实距之间的倍数关系来解。
(1)图上1厘米相当于实际距离多少米?
5000厘米=50米
(2)实际长为几米?
50×4.4=220(米)
(3)实际宽为几米?
50×3.2=160(米)
(4)操场的周长:
(220+160)×2=760(米)
(5)操场的面积:
220×160=35200(平方米)
答:
操场的周长760米,面积为35200平方米。
【归纳总结】 这道题要注意单位的换算和比例尺的应用。
考点3正、反比例应用题
【例3】 同学们3小时制作了165件工艺品,照这样计算,制作220件工艺品需要多少小时?
【精析】 数量关系是“工艺品件数÷所需时间=每小时制作的工艺品件数(一定)”。
商一定,所以工艺品的件数和所需要时间是成正比例的量。
可直接列方程求解。
【答案】 设需要x小时。
165∶3=220∶x 165x=220×3 x=4
答:
需要4小时。
【归纳总结】 本题中“同学们每小时制作多少工艺品”是定量,“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。
【例4】 收获机械厂生产一批脱粒机,计划每天生产32台,30天完成,实际每天生产40台,实际需要多少天就可以完成生产任务?
【精析】 数量关系是“每天生产的台数×天数=生产的总数(一定)。
”积一定,所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。
可直接列方程求解。
【答案】 设实际需要x天就可以完成生产任务。
40x=32×30 x=24
答:
实际需要24天就可以完成生产任务。
【归纳总结】 本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量,每天生产与所需要的天数是两个相关联的量。
考点4比例应用题
【例5】 有大小两筐苹果,大筐苹果与小筐苹果单价比5∶4,其重量比是2∶3,把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果,按单价为每千克4.4元出售,若总销售价不变,大小两筐苹果原价各是多少?
【精析】 知大、小苹果总价比,又知总价100×4.4按比例分配两次。
一次是大、小数量,一次是大、小总价。
此时易求出原单价。
【答案】 (5×2)∶(4×3)=5∶6
100×
=40(千克)
100-40=60(千克)
100×4.4=440(元)
440×
=200(元)
200÷40=5(元)
(440-200)÷60=4(元)
答:
大筐苹果单价是5元,小筐苹果单价是4元。
【归纳总结】 已知单价比和重量比可求出复比。
名题精析
【例1】 (西安交大附中入学)一个圆柱和一个圆锥的体积比是3∶4,底面半径比是2∶3,圆柱与圆锥的高之比是( )∶( )。
【精析】 本题要求圆柱与圆锥高之比,反用公式体积除以底面积。
本题中没有相关的具体数据,可以将题目中的比当做具体数量来算。
这样圆柱的体积是3,底面半径是2,圆锥的体积是4,底面半径是3,再根据圆柱和圆锥的体积公式进行计算就可以。
【答案】 [3÷(π×2×2)]∶[3×4÷(π×3×3)]=9∶16
【归纳总结】 本题在列式计算时,圆周率取π先不要算,最后在约分,这样可以使计算简便,其实,这实质是活用转化。
圆周率不变,半径的平方比就是面积比。
【例2】 (西安高新某中入学)甲、乙、丙三批货物总价值2580万元,甲、乙、丙三批货物的质量比为3∶4∶6,单位质量的价格比为5∶4∶2,问这三批货物各值多少万元?
【精析】 甲货价∶乙货价∶丙货价(甲单价×甲物重)∶(乙单价×乙物重)∶(丙单价×丙物重),可求出三批货物的价值比为(5×3)∶(4×4)∶(2×6)=15∶16∶12,按比例分配。
【答案】 三批货物的价值比为(5×3)∶(4×4)∶(2×6)=15∶16∶12
2580×
=900(万元)
2580×
=960(万元)
2580×
=720(万元)
答:
甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元。
【归纳总结】 已知总数为货物总价值,应按货物价值的比例进行分酬。
货物价值=单价×质量。
毕业升学训练
一、填空题
1.在一张精密的零件图纸上,量的零件长是40毫米,这个零件的实际长度是8毫米,这幅图纸的比例尺是( )。
2.在比例尺是1∶600000的地图上,量得两地的距离是5厘米,这两地的实际距离是()。
3.一个长方形操场,长120米,宽80米,如果把它画在比例尺是1∶2000的图纸上,则长是( )厘米,宽是( )厘米。
4.甲乙两数的和是72,甲数的
相当于乙数的
,甲数是( ),乙数是( )。
5.一个三角形三个内角度数的比是7∶3∶2,这个三角形是()三角形。
二、选择题
1.在地图上量得甲、乙两地长4.5厘米,甲、乙两地实际距离是720千米,地图上的比例尺是( )。
A.1∶160000 B.1∶1600000
C.1∶16000000D.1∶160000000
2.在比例尺是1∶1000000的地图上,50千米的距离在地图上应画()厘米。
A.0.5 B.5 C.10 D.50
3.某小学男生人数与女生人数的比是6∶5,男生比女生多的人数占全校人数的( )。
A.
B.
C.
4.有一种药水重20.2千克,药和水的重量比是1∶100,其中水重( )千克。
A.0.2B.3C.20D.20.2
5.把一批图书按照3∶2∶5分配给甲、乙、丙三个班,已知甲班分得15本,这批图书一共有( )本。
A.50B.60C.40D.70
6.某班学生为失学儿童捐款640元,女生捐的钱与男生捐的钱之比是5∶3,王明根据上面的条件,得到下面四个结论,其中错误的是( )。
A.女生比男生多捐款
B.男生比女生少捐款
C.男生共捐款240元 D.男生比女生少捐款
三、解决问题
1.在比例尺是1∶12000000的铁路运行图上,量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6cm,将它画在比例尺1∶4000000地图上,甲、乙两城之间的图上距离是多少?
2.两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的质量比是2∶5,另一块合金中铜与锌的质量比是1∶3。
现将两块合金合成一块,求新合金中铜与锌的质量比。
3.甲、乙两个仓库共存粮1680吨,已知甲仓库存量的
等于乙仓库存粮的
,求甲、乙两个仓库各存粮多少吨?
4.甲种糖每千克3元,乙种糖每千克5.4元。
现在要求混合后的糖价为每千克4.8元,求甲、乙两种糖的质量比。
5.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时。
飞机去时顺风,每小时飞行750千米;返回是逆风,每小时飞行600千米。
这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞?
6.红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱,两队所积攒的钱数比是9∶5,在献爱心活动中,红队捐了48元,蓝队捐了20元,这时两队的钱数相等,红队原来积攒了多少钱?
7.一个等腰三角形底和底边上的高之比是8∶3,把它沿底边上的高剪开,拼成一个长方形后,长方形的面积是48平方厘米,那么长方形的周长是多少厘米?
冲刺提升
一、填空题
1.(成都某一中入学)一个三角形的三个内角的度数比是1∶2∶6,这个三角形是个()三角形。
2.(西安某交大附中入学)如图,线段AB上有一点C,且AC=6cm,AC∶CB=4∶3,则AB长为()cm。
3.(西安某工大附中分班)一张精密零件图纸的比例尺是5∶1。
在图纸上量得某个零件的长度是25毫米,已知这个零件的长与高之比5∶3,则该零件的实际高度是()。
4.(宝鸡高新某中入学)A地和B地之间相距1200千米,画在一副比例尺为1∶4000000的地图上,这两个城市之间的图上距离应该画( )厘米。
5.(西安某西工大附中分班)有一个机器零件长5毫米,画在设计图纸上长20厘米,这幅图的比例尺是()。
6.(西安某交大附中入学)在比例尺是1∶5000000的地图上,量得甲、乙两地之间的距离为24厘米,若一架飞机以每小时600千米的速度从甲地运往乙地,需要( )小时。
7.(西安某工大附中分班)两个圆的周长之比是3∶2,面积相差是10cm2,两个圆的面积之和是()cm2。
8.(西安某铁一中分班)一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。
已知这个圆柱与这个圆锥的体积之比是1∶6,这个圆锥的高是54厘米,这个圆柱的高是( )厘米。
9.(南昌某中入学)一幅地图的比例尺是1∶6000000,图上A地到B地的距离为20厘米,一列火车从A地出发到B地需要10小时,则该火车的速度为( )千米/时。
10.(成都某中学入学)三个分数的和是3
,它们的分母相同,分子的比为2∶2∶4,则最大的分数为( )。
11.(西安高新某中入学)如图,把一个长与宽的比为3∶2的大长方形分成如图所示的6个面积相等的小长方形,则长方形ABCD中,AB∶BC的比值等于( )。
二、选择题
1.(西安某铁一中分班)乙数比甲数少40%,甲数和乙数的比是( )。
A.2∶3 B.3∶2 C.3∶5 D.5∶3
2.(西安某铁一中分班)如果一个圆的半径是a厘米,则2∶a=a∶3,那么这个圆的面积是( )平方厘米。
A.πB.6π
C.6D、无法求出
3.(西安某交大附中入学)在比例尺是1∶4000000的地图上,量得A、B两港的距离是9cm,一艘货轮上午7时以每小时24千米的速度从A港开往B港,到达B港的时间是( )。
A.晚上10时B.早上10时
C.晚上9时D.早上9时
4.(陕西某师大附中入学)甲数的
是乙数的
,则甲数与乙数的最简整数比为( )。
A.6∶5B.8∶15C.5∶6D.15∶8
5.(西安某交大附中入学)圆柱与圆锥的底面积之比是4∶3,高的比是2∶5,它们的体积之比是( )。
A.5∶8B.8∶15C.15∶8D.8∶5
6.(西安某交大附中入学)已知5x=3y,那么x和y成( )比例;已知5∶x=y∶3,那么x和y成( )比例。
A.正,正B.正、反C.反、正D.反、反
7.(西安某铁一中分班)在比例尺是1∶5000的图纸上,画一个边长为4厘米的正方形草坪图,正方形草坪图的实际面积是( )平方米。
A.5000B.40000
C.100D.400000000
三、解决问题
1.(西安某交大附中入学)有三堆煤共重27吨,如果从第一、第二堆中各运出1.5吨到第三堆,这时第一、第二、第三堆煤的重量比是1∶3∶2,这三堆煤原来各多少吨?
2.(西安某工大附中分班)某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。
一天,通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是5∶6,中型车与小型车的辆数之比是4∶11,小型车的通行费总数比大型车多270元。
(1)这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆?
(2)这天收费总数是多少元?
大型车:
30元/辆
中型车:
15元/辆
小型车:
10元/辆
3.(西安某铁一中入学)运一批货物,运走的与剩下的比为3∶7,如果再运走30吨,那么剩下的货物只占原有货物的
,这批货物原有多少吨?
4.(江西某师大附中入学)桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子,杯深均为15厘米,各装有10厘米高的水,且下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。
小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯,过程中水没有溢出,使得甲、乙、丙三杯水的高度比变为3∶4∶5。
若不计杯子厚度,则甲杯内水的高度变为多少厘米?
底面积(平方厘米)
甲杯
60
乙杯
80
丙杯
100
5.(西安曲江某中入学)甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6∶9∶5,如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库,则甲、乙两个仓库的数量相等。
这三个仓库共存面粉多少袋?
6.(西安曲江某中入学)两个城市相距380千米,一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出,经过4小时后相遇。
已知客车和火车的速度比是11∶8,求客车的速度。
16.比和比例问题
毕业升学训练
一、1.52.30km3.644.40325.钝角
二、1.C2.B3.C4.C5.A6.B
三、1.【解析】3.6×12000000=43200000(厘米)
43200000×
=10.8(厘米)
答:
甲、乙两城之间的图上距离是10.8厘米。
2.【解析】铜与锌的质量比=(2×1):
(5×3)=2:
15
答:
新合金中铜与锌的质量比2:
15
3.【解析】甲仓库存粮:
乙仓库存粮=4:
3
乙仓库的存粮:
1680×
=720(吨)
甲仓库存粮:
1680-720=960(吨)
答:
甲、乙两个仓库存粮960吨、720吨。
4.【解析】(5.4-4.8):
(4.8-3)=0.6:
1.8=1:
3
答:
甲、乙两种糖的质量比是1:
3
5.【解析】设去时用了x小时,返时用了(6-x)小时。
750×x=600×(6-x)
x≈2.67
2.67×750=2002.5(千米)
答:
最多飞出去2002.5千米就必须往回飞。
6.【解析】设两队所攒钱数每份x元。
9x-48=5x-20
x=7
9x=9×7=63(元)
答:
红队原来积攒了63元。
7.【解析】设长方形的长为4x,宽为3x
4x×3x=48
x=2
4×2=83×2=6(8+6)×2=28(厘米)
答:
长方形的周长是28厘米。
冲刺提升
一、1.钝角2.
3.3毫米4.305.40:
16.2
7.26cm28.39.12010.
11.9:
4
二、1.D2.B3.A4.A5.D6.B7.B8.B
3、【解析】27×
=4.5(吨)
27×
=13.5(吨)
27×
=9(吨)
第一堆:
4.5+1.5=6(吨)
第二堆:
13.5+1.5=15(吨)
第三堆:
9-3=6(吨)
答:
第一堆煤原来有6吨,第二堆煤原来有15吨,第三堆原来有6吨。
2.【解析】
(1)车辆数:
大:
中:
小=10:
12:
33
大型车和小型车通行费用的比:
(30×10):
(10×33)=10:
11
一份为:
270÷(11-10)=270(元)
270×10=2700(元)
270×11=2970(元)
2700÷30=90(辆)
2970÷10=297(辆)
(90÷10)×12=108(辆)
答:
大型车有90辆,中型车有108辆,小型车有297辆。
(2)15×108=1620(元)
2700+1620+2970=7290(元)
答:
这天收费总数是7290元。
3.【解析】30÷(
)=100(吨)
答:
这批货物原有10吨。
4.【解析】10×(60+80+100)=2400(立方厘米)
底面积之比:
60:
80:
100=3:
4:
5
甲乙丙水的体积比是=(3×3):
(4×4):
(5×5)=9:
16:
25
甲杯内水的高度:
2400×
÷60=7.2(厘米)
答:
甲杯内水的高度变为7.2厘米。
5.【解析】400+400÷2=600(袋)
600÷(
-1)×(1+
)=1200×
=4000(袋)
答:
三个仓库共存面粉4000袋。
6.【解析】设客车的速度是11x千米/小时,则货车的速度是8x千米/小时。
4×11x+4×8x=380
76x=380
x=5
11×5=55(千米/小时)
答:
客车的速度是55千米/小时。
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