学年高中数学人教A版必修四 章末综合测评2 Word版含答案.docx
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学年高中数学人教A版必修四章末综合测评2Word版含答案
章末综合测评
(二) 平面向量
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量
=(-4,-3),则向量
=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4)D.(1,4)
【解析】 法一:
设C(x,y),
则
=(x,y-1)=(-4,-3),
所以
从而
=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A.
法二:
=(3,2)-(0,1)=(3,1),
=
-
=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
故选A.
【答案】 A
2.(2015·福建高考)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】 c=a+kb=(1+k,2+k),又b⊥c,所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-
.
【答案】 A
3.(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则
·
=( )
A.-
a2B.-
a2
C.
a2D.
a2
【解析】 由已知条件得
·
=
·
=
a·acos30°=
a2,故选D.
【答案】 D
4.(2015·陕西高考)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )
A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
【解析】 根据a·b=|a||b|cosθ,又cosθ≤1,知|a·b|≤|a||b|,A恒成立.当向量a和b方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,B不恒成立.根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=(a+b)2,C恒成立.根据向量的运算性质得(a+b)·(a-b)=a2-b2,D恒成立.
【答案】 B
5.(2015·重庆高考)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵a⊥(2a+b),∴a·(2a+b)=0,
∴2|a|2+a·b=0,
即2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0.
∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0,
∴cos〈a,b〉=-
,∴〈a,b〉=
π.
【答案】 C
6.(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足
=2a,
=2a+b,则下列结论正确的是( )
A.|b|=1B.a⊥b
C.a·b=1D.(4a+b)⊥
【解析】 在△ABC中,由
=
-
=2a+b-2a=b,得|b|=2.又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,所以(4a+b)·
=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥
,故选D.
【答案】 D
7.(2016·锦州高一检测)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=
,则|b|=( )
A.0B.2
C.5D.25
【解析】 因为a=(2,1),则有|a|=
,又a·b=10,
又由|a+b|=
,
∴|a|2+2a·b+|b|2=50,
即5+2×10+|b|2=50,
所以|b|=5.
【答案】 C
8.已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线,设
=a,
=b,则
等于( )
图1
【导学号:
00680065】
A.
a+
b
B.
a+
b
C.
a-
b
D.-
a+
b
【解析】
=2
=2
=
+
=
a+
b.
【答案】 B
9.(2016·景德镇期末)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b的夹角为( )
A.150°B.120°
C.60°D.30°
【解析】 设向量a、b夹角为θ,
|c|2=|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cosθ,
则cosθ=-
,
又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.故选B.
【答案】 B
10.(2016·西城高一检测)在矩形ABCD中,AB=
,BC=1,E是CD上一点,且
·
=1,则
·
的值为( )
A.3B.2
C.
D.
【解析】 设
与
的夹角为θ,则
与
的夹角为
-θ,
又
∥
,故有
与
夹角为
-θ,如图:
∵
·
=|
|·|
|·cosθ=
|
|·cosθ=1,
∴|
|·cosθ=
,
∴
·
=|
|cos
=|
|sinθ=1,
∴
·
=
·(
+
)=
·
+
·
=1+1=2.
【答案】 B
11.(2016·济南高一检测)已知向量
=(2,2),
=(4,1),在x轴上有一点P,使
·
有最小值,则P点坐标为( )
A.(-3,0)B.(3,0)
C.(2,0)D.(4,0)
【解析】 设P(x,0),则有
·
=(x-2,0-2)·(x-4,0-1)
=(x-2)(x-4)+2
=x2-6x+10
=(x-3)2+1,
当x=3时,(
·
)min=1,
此时P点坐标为(3,0).
【答案】 B
12.(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若
·
=1,
·
=-
,则λ+μ=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图:
∠BAD=120°,|
|=|
|=2.
·
=(
+
)(
+
)
=(
+μ
)(
+λ
)
=(
+μ
)(
+λ
)
=λ
2+μ
2+(λμ+1)
·
=4(λ+μ)+(λμ+1)×4×cos120°
=4(λ+μ)-2(λμ+1)=1,
即2λμ-4(λ+μ)+3=0,①
由
·
=(
+
)(
+
)=(λ-1)·(μ-1)·
·
=-2(λ-1)(μ-1)=-
,
所以有λμ=λ+μ-
,代入①得
2
-4(λ+μ)+3=0,
解得λ+μ=
.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.(2014·湖北高考)若向量
=(1,-3),|
|=|
|,
·
=0,则|
|=________.
【解析】 因为
=(1,-3),
又|
|=
=|
|,
又
·
=0,
所以∠AOB=90°,所以△AOB为等腰直角三角形,且|
|=
|
|=2
.
【答案】 2
14.(2015·江苏高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.
【解析】 ∵ma+nb=(2m+n,m-2n)
=(9,-8),
∴
∴
∴m-n=2-5=-3.
【答案】 -3
15.(2015·湖北高考)已知向量
⊥
,|
|=3,则
·
=________.
【解析】 因为
⊥
,所以
·
=
·(
-
)=
·
-
=0,所以
·
=
=|
|2=9,即
·
=9.
【答案】 9
16.(2015·北京高考)在△ABC中,点M,N满足
=2
,
=
.若
=x
+y
,则x=________;y=________.
【解析】 ∵
=2
,∴
=
.
∵
=
,∴
=
(
+
),
∴
=
-
=
(
+
)-
=
-
.
又
=x
+y
,∴x=
,y=-
.
【答案】
-
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)不共线向量a,b的夹角为小于120°的角,且|a|=1,|b|=2,已知向量c=a+2b,求|c|的取值范围.
【解】 |c|2=|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=17+8cosθ(其中θ为a与b的夹角).
因为0°<θ<120°,
所以-
所以 <|c|<5, 所以|c|的取值范围为( ,5). 18.(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设 =(2,-1), =(3,0), =(m,3). (1)当m=8时,将 用 和 表示; (2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件. 【解】 (1)m=8时, =(8,3), 设 =λ1 +λ2 , ∴(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0) =(2λ1+3λ2,-λ1), ∴ 解得 ∴ =-3 + . (2)若A,B,C三点能构成三角形, 则有 与 不共线, 又 = - =(3,0)-(2,-1)=(1,1), = - =(m,3)-(2,-1)=(m-2,4), 则有1×4-(m-2)×1≠0, ∴m≠6. 19.(本小题满分12分)设i,j是平面直角坐标系中x轴和y轴正方向上的单位向量, =4i-2j, =7i+4j, =3i+6j,求四边形ABCD的面积. 【解】 因为 · =(4i-2j)·(3i+6j)=3×4-2×6=0, 所以 ⊥ , 又因为 =7i+4j=4i-2j+3i+6j = + , 所以四边形ABCD为平行四边形, 又 ⊥ ,所以四边形ABCD为矩形. 所以S四边形ABCD=| |×| |= × =30. 20.(本小题满分12分)设e1,e2是正交单位向量,如果 =2e1+me2, =ne1-e2, =5e1-e2,若A,B,C三点在一条直线上,且m=2n,求m,n的值. 【解】 以O为原点,e1,e2的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy, 则 =(2,m), =(n,-1), =(5,-1), 所以 =(3,-1-m), =(5-n,0), 又因为A,B,C三点在一条直线上,所以 ∥ , 所以3×0-(-1-m)·(5-n)=0,与m=2n构成方程组 解得 或 21.(本小题满分12分)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若|a-b|= ,求证: a⊥b; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. 【解】 (1)证明: 由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b. (2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1), 所以 由①得,cosα=cos(π-β), 由0<β<π,得0<π-β<π. 又0<α<π,故α=π-β. 代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ= ,而α>β,所以α= ,β= . 22.(本小题满分12分)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,|ka+b|= |a-kb|(k>0,k
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