勾股定理讲义汇总.docx
- 文档编号:382250
- 上传时间:2022-10-09
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:110.15KB
勾股定理讲义汇总.docx
《勾股定理讲义汇总.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《勾股定理讲义汇总.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
勾股定理讲义汇总
姓名:
勾股定理培优班习题
一、基础知识点:
1.勾股定理
内容:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
表示方法:
如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222abc+=2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:
方法一:
4EFGHSSS∆+=正方形正方形ABCD,2
214(
2
abbac⨯+-=,化简可证.
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面
积的和为221
422Sabcabc=⨯+=+大正方形面积为222(2Sabaabb=+=++
所以222abc+=
方法三:
1((2
Sabab=+⋅+梯形,2112S222ADEABE
SSabc∆∆=+=⋅+梯形,化简得证3.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC∆中,90C∠=︒
则c
b
a②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量
关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a,b,c满足222abc+=,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角
形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22ab+与较长边的平方2c作比较,若它们相等时,
以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;
②若222abc+<,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若222abc+>,时,以a,b,c为三边
的三角形是锐角三角形;③定理中a,b,c及222abc+=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足
222acb+=,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边6.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222abc+=中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数:
221,2,1nnn-+(2,n≥n为正整数;2
221,22,221nn
nnn++++(n为正整数2222,2,mnmnmn-+(,mn>m,
n为正整数
b
a
c
b
a
ca
c
a
bab
c
b
a
E
DC
B
A
7.勾股定理的应用
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8.勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
9.勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:
A
B
C
DB
AA
D
BC
10、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
题型一:
利用勾股定理解决实际问题
训练2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
题型二、与勾股定理有关的图形问题
训练3.如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是_________.
题型三、关于翻折问题
训练5、如图,把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC与AD
相交于点
F.若AB=4,BC=6,求△FAC的周长和面积.
训练6、如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知cmCE6=,
cmAB16=,求BF的长.
题型四、关于最短性问题
训练8、如图1,长方体的长为12cm,宽为6cm,高为5cm,一只蚂蚁沿侧面从A点向B点爬行,问:
爬到B点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少?
训练9、如图壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
训练10、如图,一个高18m,周长5m的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为减小坡度,要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端,问登梯至少多长?
(建议:
拿张白纸动手操作,你一定会发现其中的奥妙
E
B
A
题型五、关于勾股定理判定三角形形状
训练11、已知,△ABC中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,试说明△ABC是等腰三角形。
题型六、关于旋转中的勾股定理的运用:
训练13、如图,△ABC是直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,若AP=3,求PP′的长。
配套练习
一、填空题
1、若三角形的三边之比是7:
24:
25,则这个三角形是三角形。
2、△ABC中,∠A是∠B的2倍,∠C比∠A+∠B还大12°,则这个三角形是三角形。
3、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,则斜边上的高是。
4、在Rt△ABC中,∠C=900,(1若a=6,b=8,则c=;(2若c=13,b=12,则a=;
(3若a=21,c=28,则b=;
5、小华和小红都从同一点O出发,小华向北走了9米到A点,小红向东走了12米到了B点,则6、若一块直角三角板,两直角边分别为12cm和5cm,不移动三角板,能画出的线段最长是cm________。
7、在Rt△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,AC=6,AB=10,则BD=。
8、在等腰直角三角形中,斜边长为50cm,则它的面积为9、在直角三角形中,三边长分别为5、12,则第三边长为
10、等腰三角形腰和底边的比是3:
2,若底边长为6,则底边上的高为二、选择题
1、下列三角形中,一定是直角三角形的有(A、1个B、2个C、3个D、4个
①有两个内角互余的三角形;②三边长为m2
-n2、nm2、m2+n2(m>n>0的三角形;③三边的比为3:
4:
5的三角形;④三个内角的比是1:
2:
3的三角形;
2、有长度为9cm,12cm,15cm,36cm,39cm的五根木棒,能搭成(首尾顺次相连直角三角形的个数为(
A、1个B、2个C、3个D、4个
3、若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比可以为(
A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7
4、三角形的三边长为(a+b2=c2
+2ab,则这个三角形是(
A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.
5、一直角三角形的斜边比一直角边大4,另一直角边长为8,则斜边长为(A、6B、8C、10D、12
6、直角三角形的周长为12cm,斜边长为5cm,则其面积为(A、12cm2B、10cm2C、8cm2D、6cm2
7、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是(
A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、以上答案都不对
AC
P
APC
B
二、综合发展:
1.如图,一个高4m、宽3m的大门,需要在对角线的顶点间加固一个木条,求木条的长.
2、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
3.一个三角形三条边的长分别为cm15,cm20,cm25,这个三角形最长边上的高是多
少?
4.如图,要修建一个育苗棚,棚高h=3m,棚宽a=4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?
A
E
B
三、解答题
1、有一边长为4米的水池的池中央,竖着一根竹竿,竹竿高出水面1m,一阵风吹来,竹竿倒向一边,竹竿的顶端恰好靠在池边,顶端与水面相平。
求这里的水深是多少米?
2、小明要外出旅游,他带的行李箱长cm40,宽cm30,高cm60,一把cm70长的雨伞能否装进这个行李箱?
3、如图:
有一圆柱,它的高等于cm8,底面直径等于cm4(3=π在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A相对的B点处的食物,求蚂蚁需要爬行的最短路程。
4、如图,是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的,若图中大小正方形的面积分别为62.5和4,求直角三角形两直角边的长。
5、如图,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。
提高训练
1、若一个三角形的边长分别是12、16和20,则这个三角形最长边上的高长是_______。
2、如图是一个长方体盒子,它的长、宽、高分别为3dm、2dm、2dm,A和B是这个盒子两个相
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 勾股定理 讲义 汇总