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积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
第十五章积分方程
积分方程论是泛函分析的一个重要分支,它是研究数学其他学科(例如偏微分方程边值问题)和各种物理问题的一个重要数学工具。
本章叙述线性积分方程,重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法;并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程;此外,还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核,并举例说明近似解法;最后考察了一个非线性积分方程。
§1积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程
一.积分方程一般概念
1.积分方程的定义与分类
[线形积分方程]在积分号下包含未知函数y(x)的方程
(1)
称为积分方程。
式中α(x),F(x)和K(x,ξ)是已知函数,λ,a,b是常数,变量x和ξ可取区间(a,b)内的一切值;K(x,ξ)称为积分方程的核,F(x)称为自由项,λ称为方程的参数。
如果K(x,ξ)关于x,ξ是对称函数,就称方程
(1)是具有对称核的积分方程;如果方程中的未知函数是一次的,就称为线性积分方程,方程
(1)就是线性积分方程的一般形式;如果F(x)≡0,就称方程
(1)为齐次积分方程,否则称为非齐次积分方程。
[一维弗雷德霍姆积分方程(Fr方程)]
第一类Fr方程
第二类Fr方程
第三类Fr方程
[n维弗雷德霍姆积分方程]
称为n维弗雷德霍姆积分方程,式中D是n维空间中的区域,P,P1∈D,它们的坐标分别是(x1,x2,,xn)和
α(P)=α(x1,x2,,xn),F(P)=F(x1,x2,xn)和K(P,P1)=K(x1,x2,,xn,
是已知函数,f(P)是未知函数。
关于Fr方程的解法,一维和n(>1)维的情况完全类似,因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr方程。
[沃尔泰拉积分方程]如果积分上限b改成变动上限,上面三类Fr方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。
由于第三类Fr方程当α(x)在(a,b)内是正函数时,可以化成
它是含有未知函数
以
为积分方程的核的第二类Fr方程。
所以本章重点研究一维第二类Fr方程。
2.积分方程与微分方程之间的关系
某些积分方程可化为微分方程,也可从微分方程推导出积分方程。
先来考虑二阶线性微分方程的初值问题:
(2)
若从方程
(2)中解出
,然后在区间(a,x)上对x求积分两次,利用初始条件,经过简单的计算不难得出*,
令
和
上式就可写为如下的形式:
(3)
这是一个第二类沃尔泰拉方程,核K是x的线性函数。
例1初值问题
(4)
变为积分方程
(5)
反之,应用积分号下求导法则,微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程
(2)。
在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。
在例1中,对(5)式求导,得出
(6)
再求导一次得出原微分方程(4),并从方程(6)和(5)给出初始条件
y(0)=1,
对于边值问题,方法类似,先考虑一个简单的例子。
例2从问题
出发,积分两次,导出关系式
从此立刻可知条件y(0)=0成立。
从第二端点条件y(a)=0决定C:
所以有关系式
(7)
令
则方程(7)变为
(8)
这是第二类Fr方程。
要从这个积分方程回到微分方程,只需对方程(8)求导两次,就得到
在积分方程(7)中,令x=0和x=a,可以直接推出边值条件y(0)=y(a)=0。
注意:
在这个例中,
1°
在x=ξ处不连续,并当x增加而过ξ时有一跳跃-1。
2°K是x的一个线性函数,即满足
,且K在端点x=0,x=a处等于零。
3°K(x,ξ)=K(ξ,x),即核是对称的。
如果利用类似的方法,对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题:
则除A=0外,可得在x=ξ不连续的一个核。
二、格林函数及其物理意义
[格林函数]在区间[a,b]上,考虑微分方程
Ly+Φ(x)=0
的边值问题,式中L是微分算子:
齐次边界条件为在端点x=a,x=b处,满足
,其中α,β为常数。
为了得出这个问题解的形式,首先构造函数G,使对一给定数ξ,
并且满足条件:
(i)函数G1和G2在它们的定义区间上满足LG=0,即当x<ξ时,LG1=0。
当x>ξ时,LG2=0。
(ii)函数G满足边界条件,即G1满足在x=a的边界条件,G2满足在x=b的边界条件。
(iii)函数G在x=ξ连续,即G1(ξ)=G2(ξ)。
(iv)G的导数以x=ξ为一不连续点,其跳跃是
,即
可以证明,若以ξ为参数的这个函数G存在,则原问题的解有如下的形式:
(2)
例如G(x,ξ)可取
(3)
式中A是由关系式
决定的一个常数,u(x)是Ly=0满足在x=a处所给定的齐次边值条件的一个解,v(x)是在x=b处满足边值条件的一个解。
则G(x,ξ)显然满足条件(i)~(iv)。
此外,还可证明,对由(3)定义的G(x,ξ),由关系式
(2)确定的函数y满足微分方程
(1)并且满足u(x)在x=a与v(x)在x=b所规定的相同的齐次边界条件。
满足条件(i)~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly和边界条件相联系的格林函数。
在许多物理问题中,这个函数具有简单的物理意义,将在下一段中说明。
[线性积分方程的一个典型实例]考虑一条长为l的有弹性的弦,假定在平衡位置时,弦的位置在Ox轴的线段Ol上。
在点x施加单位力,于是弦的每一点得到一个离差,在点ξ处所产生的离差以G(x,ξ)表示(图15.1)。
函数G(x,ξ)为两点(x和ξ)函数,在点x施加外力,在点ξ计量离差,称G为影响函数。
如果弦的两端固定在x轴上A,B两点,弦的张力为T0,则在点x外处施加的单位力作用下,弦成图15.1所示的形状。
根据虎克(Hooke)定律与力的平衡条件,在点ξ处有
这就是弦的影响函数。
从能量守恒定律可导出G(x,ξ)的互易原理:
在点x处施加外力在点ξ处产生的离差等于在点ξ处施加大小相同的力在点x处产生的离差,即
G(x,ξ)=G(ξ,x)
如果在弦上施加的力F是连续分布的,并设线性强度是p(ξ),则作用于弦上点ξ和ξ+∆ξ之间的一小弦段的力就接近于p(ξ)∆ξ。
把引起弦变形的这些力元素相加,便得弦的形状
1°设在某个力的作用下,弦成已知形状y=y(x),求定力分布强度p(ξ),就得到含未知函数p(ξ)的第一类Fr积分方程
(1)
2°设作用力随时间t改变,且在点ξ的强度是
p(ξ)sinωt(ω>0)
则弦的运动是由方程
y=y(x)sinωt
描写的周期运动。
设ρ(ξ)为弦在点ξ的线性密度,则在时刻t,点ξ与ξ+∆ξ之间的小弦段除受力p(ξ)sinωt∆ξ的作用外,还受惯性力
sinωt∆ξ
的作用,则等式
(1)可化为如下的形式:
(2)
式中
K(x,ξ)=G(x,ξ)ρ(ξ),λ=ω2
如果函数p(ξ)给定,那么F(x)也就给定,这样积分方程
(2)就是确定函数y(x)的Fr方程。
注意,由于F(x)的定义,有
F(0)=F(l)=0
若密度ρ(ξ)=ρ是常数,而F(x)有二阶的连续导数,则方程
(2)的解为
即
(3)
式中
把(3)式微分两次就得到
另一方面,可以证明这个微分方程的任一在x=0及x=l处等于0的解是积分方程
(2)的解。
三、具有可分离核(退化核)的Fr方程
[可分离核(退化核)]若核K(x,ξ)可分解为如下的形式:
则称K(x,ξ)为可分离核或称为退化核。
不妨假定n个函数fk(x)(k=1,2,,n)在有关区间上是线性无关的。
例如,如果核是关于x和ξ的任一多项式,那么这个核就是退化核,核sin(x+ξ)也是退化核。
[具有可分离核的第二类Fr方程解法]具有可分离核的第二类Fr方程
(1)
即
(2)
的解法如下,首先设
(k=1,2,,n)
则
于是给定积分方程
(1)的一切解应取这个形式。
因此问题归结为求出常数c1,c2,,cn。
再用gi乘
(2)式两边且积分,令
,
(i=1,2,,n,j=1,2,,n)
则c1,c2,,cn满足方程组
(i=1,2,,n)
即
(3)
矩阵形式为
(I-λA)c=b
式中I为n阶单位矩阵,A=(aij),c=(c1,c2,,cn)τ,b=(b1,b2,,bn)τ。
这个方程组存在唯一解的充分必要条件是:
方程的系数行列式
∆=det(I-λA)≠0
如果F(x)≡0,则bi=0(i=1,2,n),那末方程(3)为齐次方程组。
因此,当∆≠0时,y(x)≡0是积分方程
(1)的平凡解(零解),且是唯一解。
当∆=0时,至少有一个ci可以任意指定,其余的cj可以求出,于是积分方程
(1)存在无穷多个解。
使∆=0的λ值称为特征值。
齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函数。
如果对于λ的一个给定的特征值,可以从常数c1,c2,,cn中任意指定r个,那么可得到r个线性无关的对应特征函数。
如果F(x)不恒为零,但与g1(x),g2(x),,gn(x)正交,即bi=0(i=1,2,n)。
那末方程组(3)仍为齐次的,以上的讨论也适用,除非这里积分方程的解也包含函数F(x)。
这样平凡值c1=c2==cn=0导出解y=F(x)。
对应于λ的特征值的解是F与特征函数的任意倍数之和。
最后,如果(3)式右边的bi至少有一个不为零,当行列式∆≠0时,方程组(3)存在唯一的非平凡解,于是可得到积分方程
(1)的唯一的非平凡解,当∆=0时,则方程(3)或者是不相容的,这时积分方程
(1)没有解;或者n个方程中至少有两个是相同的,这时积分方程
(1)有无穷多个解。
例解积分方程
(1)
解可把这个方程改写为
y(x)=λ(c1-3c2x)+F(x)
(2)
式中
,
决定c1,c2的方程组是
(3)
其系数行列式为
则积分方程
(1)存在唯一解的条件是λ≠±2。
由(3)解出c1,c2并代入
(2)得到
(1)的解。
特别,若F(x)=0,λ≠±2,则唯一解是平凡解y(x)=0。
数λ=±2为问题的特征值。
若λ=2,则方程组(3)为
这两个方程是不相容的,除非函数F(x)满足条件
这时两个方程相同。
若λ=-2,则方程组(3)为
这两个方程也是不相容的,除非函数F(x)满足条件
这时两个方程也是相同的。
现在具体讨论积分方程
(1)的解。
1°先考虑齐次方程(即F(x)=0)的情形。
若λ≠±2,则唯一解是平凡解y(x)=0。
当λ=2时,代数方程组只给出一个条件c1=3c2。
这时,解是
y(x)=c1(1-x)
式中c1=3λc2=6c2是任意常数,1-x是对应于特征值λ=2的特征函数。
当λ=-2时,解是
y(x)=c2(1-3x)
式中c2=λc1=-2c1是任意常数,1-3x是对应于λ=-2的特征函数。
方程
(2)表明原积分方程
(1)的任一解表示为如下形式:
y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)
式中
,
。
于是推出原积分方程
(1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与F(x)的和来表达。
2°在非齐次的情形(即F(x)不恒等于零)下,若λ≠±2,则积分方程
(1)存在唯一解。
当λ=2时,积分方程
(1)没有解,除非在区间[0,1]上F(x)正交于λ=2所对应的特征函数1-x*,即
在此条件下,再利用c1-3c2=
给出积分方程
(1)的解。
式中c1=6c2是任意常数,因此,这时存在无穷多个解。
类似地,当λ=-
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